1、1 / 9指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1根式（1）根式的概念根式的概念 符号表示 备注如果 ,那么 叫做 的 次方根nxaxan1nN且当 为奇数时,正数的 次方根是一个正数,负数的 次方根是一个负数na零的 次方根是零当 为偶数时,正数的 次方根有两个,它们互为相反数nn(0)n负数没有偶次方根（2） 两个重要公式 ；)0(|aan （注意 必须使 有意义） 。n)(n2有理数指数幂（1）幂的有关概念正数的正分数指数幂: 。(0,1)mnanN、 且正数的负分数指数幂: 1,nman 、 且0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与
2、根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质a ras=ar+s(a0,r、sQ)。(a r)s=ars(a0,r、sQ) 。(ab) r=arbs(a0,b0,rQ)。.3指数函数的图象与性质n 为奇数n 为偶数2 / 9y=ax a1 00 时，y1 。x0 时，01性质(3)在（- ，+ ）上是增函数（3）在（- ，+ ）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x 的图象，如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？提示：在图中作直线 x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，
3、即c1d11a1b1,cd1ab。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果 (01)xaNa且 ，那么数 x叫做以 a为底， N的对数，记作 logNax，其中叫做对数的底数， 叫做真数。（2）几种常见对数对数形式 特点 记法一般对数 底数为 a0,1且 logNa常用对数 底数为 10自然对数 底数为 e ln2、对数的性质与运算法则3 / 9（1）对数的性质（ 0,1a且 ）： 1log0a， log1a， logNa，logNa。（2）对数的重要公式：换底公式： logl(, 1,0)Nabb N均 为 大 于 零 且 不 等
4、 于； 1loglbaa。（3）对数的运算法则：如果 0,且 ， 0,MN那么 ；Naaalogl)(log ； ；)(ll Rnana 。bmogog3、对数函数的图象与性质 1a 01a图象性质 （1）定义域：（0,+ ）（2）值域：R（3）当 x=1 时，y=0 即过定点（1，0）（4）当 0x时， (,)y；当 1时， (,)（4）当 1x时， (,0)y；当 0时， （5）在（0,+ ）上为增函数 （5）在（0,+ ）上为减函数注：确定图中各函数的底数 a，b，c，d 与 1 的大小关系提示：作一直线 y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。4 / 901 时，按
5、交点的高低，从高到低依次为 y=x3，y=x 2， y=x，12yx， y=x-1；当 01，函数 f(x)=logax 在区间a,2a上的最大值与最小值之差为 则 a=( ),21(A) （B）2 （C）2 （D ）44.（A）已知 是周期为 2 的奇函数，当 时， 设()fx01x()lg.fx则（ ）63,5abf5(),cf（A） （B） （C） （D）bacbacab5.（B）设 f(x)= 则不等式 f(x)2 的解集为（ ）123,log(),xe(A)（1，2） （3，+ ） (B)（ ，+ ）10(C)（1，2） （ ，+）(D) （1，2）06 （A）设 ， ， ，则（ ）
6、lP3lQ3log()R RPRQ7(A)已知 ，则( )cab212121ogA B C Dcacbab2bac28 （B）下列函数中既是奇函数，又是区间 上单调递减的是（ ）,（A） (B) ()sinfx()1fx(C) (D)1)2xa2ln9.（A）函数 的定义域是：（）1log(3yA B C D ,),)2,23(,110.(A)已知函数 的图象有公共点 A，且点 A 的横坐标为 2，则 （ kxy与41l k）A B C D211 （B）若函数 、三、四象限，则一定的 图 象 经 过 第 二且 )10()(abaxf有（ ）A B010且 且C D且 且12(B)若函数 在区间
7、 上的最大值是最小值的 3 倍，则)(log)(xfa 2,a=（ ）A. B. C. D. 42128 / 913.(A)已知 0xya1，则有（ ）（A） （B）)(log1)(log0xya（C） （D）2214.（A）已知 ，那么 等于（ ）xf6log8f（A） （B） 8 （C）18 （D）34 215 （B）函数 ylg|x| （ ）A是偶函数，在区间(，0)上单调递增 B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0，)上单调递增 D是奇函数，在区间(0，)上单调递减 16.（A）函数 的定义域是_.3)4lg(x17 （B）函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线101
8、ya， A上，则 的最小值为 ()mxnmn18 （A）设 则 _,.0xegln()2g19 （B）若函数 f(x) = 的定义域为 R，则 a 的取值范围为_.12ax20(B)若函数 是奇函数，则 a=)(lo)(xf21.(B)已知函数 ，求函数 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调xf1lg2(xf性.参考答案：三：例题诠释，举一反三例 1. 解：（1） ， （2）9a变式：解：（1）1, （2） .4514545)(45)2(25 2331231361231361 ababbabababa (3)110例 2. 解：B变式：解： ； ),0(例 3. 解：（） （）减函数。 （）1b3
9、1k变式：解：（1）a=1.（2）略例 4. 解：（1）-1. （2）1. （3） 21.变式：解：(1) .32logl24817 （2）2. （3） 45例 5. 解：选 D。变式：解： C9 / 9例 6. 解：(1，3 31，1）变式：解：a|2-2 a2例 7. 解：（1）当 1x或 时， ()fxg；（2）当 时， ()fg；（3）当 1x且 0时， ()fx变式：解：（1）f(x)=x -4.（2）F（x）= ， F（-x）= +bx3.32bxa2xa当 a0，且 b0 时，F（x）为非奇非偶函数；当 a=0,b0 时，F（x）为奇函数；当 a0,b=0 时，F（x）为偶函数；
10、当 a=0,b=0 时，F（x）既是奇函数，又是偶函数. 四：方向预测、胜利在望15 ADDDC； 610 AADDA； 1115 CADDB.16. (-, 3)(3,4) 17. 4 18. 19.-1,0 20.21221解 x 须满足 ,01,0xxx得由所以函数 的定义域为（1，0）（0，1）.)(f因为函数 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意 x，有，所以 是奇函数.)()1log(log22 fxxxf )(f研究 在（0，1）内的单调性，任取 x1、x 2（0，1） ，且设 x10，即 在（0，1）内单调递减，)(1fff由于 是奇函数，所以 在（1，0）内单调递减.)(
