1、2014 北京高考数学真题（理科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合 ， ，则 （ ）20Ax,12BABA B00，C D2， 1,2，2. 下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ）0,A B+1yx21yxC D2 0.5log+3. 曲线 ， 的对称中心（ ）1cos2+inxy为 参 数A在直线 上 B在直线 上2yxC在直线 上 D在直线 上1x14. 当 时，执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）7,3mn S值k=1Sk值S值k mn+1k=m,S1值,n值A7 B42 C210 D840 5.
2、 设 是公比为 的等比数列，则 是 为递增数列的（ ）naq1q“”naA充分且不必要条件 B必要且不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6. 若 满足 且 的最小值为 ，则 的值为（ ）,xy20ky zyx4kA2 B 2CD117. 在空间直角坐标系 中，已知 ， ， ， ，若Oxyz2,0A,20,C(1,2)D分别表示三棱锥 在 坐标平面上的正投影图形的面积，则（123S, BCxOyzx）AB 且 123S 12S=31SC 且D 且=28. 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀” “合格” “不合格”三种.若 A 同学每科成绩不低于 B同学，且至少有一科成绩比 B 高
3、，则称“A 同学比 B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）A2 B3 C4 D5第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9. 复数 21i10. 已知向量 、 满足 ， ，且 ,则 urb1ra2,b0Rrab11. 设双曲线 经过点 ，且与 具有相同渐近线，则 的方程为 ；渐近线方C2,214yxC程为 12. 若等差数列 满足 ， ，则当 时， 的前 项和最大na7890a710anna13. 把 件不同产品摆成一排，若产品 与产品 相
4、邻，且产品 与产品 不相邻，则不同的摆法5ABAC有 种14. 设函数 （ 是常数， ， ） 若 在区间 上具有sinfxAxA0Afx,62单调性，且 ，则 的最小正周期为 236fffx三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15. （本小题共 13 分）如图，在 中， ， ，点 在 上，且 ，ABC38ABDC=21cos7ADC（I）求 ；sinD（II）求 的长,DCBA16（本小题共 13 分）李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况（假设各场比赛相互独立）：（1） 从上述比赛随机选择一场，求李明在该场比赛中的投篮命中率超过 的概率；0.6（2） 从上
5、述比赛中随机选择一个主场和客场，求李明的投篮命中率一场超过 ，一场不超过 的概率；0.6（3） 记 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 为李明在这场x X比赛中命中次数，比较 与 的大小（只需要写出结论）EX（ ） x17.（本小题共 14 分）如图，正方形 的边长为 2， 分别为 、 的中点，在五棱锥 中，AMDE,BCAMDPABCDE为棱 的中点，平面 与棱 ， 分别交于点 、FPFPGH（）求证： ；/BG（）若 ，且 ，求直线 与平面 所成角的大小，并求线段平 面 =EBF的长.HMP HGFE DCBA18.（本小题共 13 分）已知函数 ()cosin
6、,02fxx（I）求证： ；0（II）若 在 上恒成立，求与 的最大值与 的最小值.sixab(,)2ab19.（本小题共 14 分）已知椭圆 2:4Cxy（I）求椭圆 的离心率；（II）设 为坐标原点，若点 在椭圆 上，点 在直线 上，且 ，求直线 与圆OACB2yOABA的位置关系，并证明你的结论.2xy20（本小题共 13 分）对于数对序列 ， ， ， ，记 ，1,Pab2,nab11TPab，1mx2kkk kTbTa其中 表示 和 两个数中最大的数，12,k k1kTP12k（1）对于数对序列 ， ，求 ， 的值,3P4,（2）记 为 四个数中最小值，对于由两个数对 ， 组成的数对序
7、列mabcd、 、 、 ,ab,cd和 ，试分别对 和 时两种情况比较 和 的,P,abm2TP2大小（3）在由 个数对 ， ， ， ， 组成的所有数对序列中，写出51,85,216,1,4,6一个数对序列 使 最小，并写出 的值 （只需写出结论）5TP5TP8 / 13参考答案一、 选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1C 2A 3B 4C 5D 6D 7D 8B二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9 10 11 ； 12 13 14 1213xy2x836三、解答题（共 6 小题，共 80 分）15 （ 共 13 分 ）【解析】（1） 243sin1co
8、s7ADCACii()incossin43137214BBDBADCB（2）在 中，AD，即：sinsiinBBA84337214ADB解得： 3,7D在 中，AC22cos17497ACDAC9 / 1316 （ 共 13 分 ）解 ： （ 1） 设 李 明 在 该 场 比 赛 中 投 篮 命 中 率 超 过 的 概 率 为 事 件 ，0.6A由 题 可 知 ， 李 明 在 该 场 比 赛 中 命 中 率 超 过 的 场 次 有 ：.主 场 2、 主 场 3、 主 场 5、 客 场 2、 客 场 4， 共 计 5 场所 以 李 明 在 该 场 比 赛 中 投 篮 命 中 率 超 过 的 概
9、率 0.6102PA（ 2） 设 李 明 一 场 投 篮 命 中 率 超 过 ， 一 场 命 中 率 不 超 过 的 概 率 为 事 件 ，. .6B同 理 可 知 ， 李 明 主 场 命 中 率 超 过 的 概 率 ， 客 场 命 中 率 超 过 的 概 率0.61350.625P故 12132=+5PBP（ 3） EXx17 （ 共 14 分 ）【解析】（1） 证明： /,EDAMEDP面 面/P面 ,ABFABF面 即 面PEDG面 面 /ABF（2） 如图建立空间坐标系 ，各点坐标如下：Axyz10 / 13(0,)E(,20)B(1,)C(2,0)F(,1P0,2)A设 的法向量为
10、， ,F面 0,znxyAB(,1)，即 ，令 得：0nAByz1(0,)n又 ，(1,0)Csin,2BC直线 与平面 所成角为BAF6设 ,由 则1(,z)Hxy,PtC1(,z2)t(,1)xy2,tt又 ,(21,)ABFtt面, ， ，0nH0,3tt42(,)3H42,3P|P=218 （ 共 13 分 ）解 ： （ 1） 证 明 ： cosincosin,fxxx ，0,2x ， 即 在 上 单 调 递 增 ，ffx0,211 / 13 在 上 的 最 大 值 为 ，fx0,20f所 以 f（ 2） 一 方 面 令 ， ，sinxg0,2则 ， 由 （ 1） 可 知 ， ，2co
11、ix0gx故 在 上 单 调 递 减 ， 从 而 ，g0, 2故 ， 所 以 2amax2令 ， ， 则 ，sinhxb0,coshxb当 时 ， ， 故 在 上 单 调 递 减 ， 从 而 ，1bx0,20hx所 以 恒 成 立 sin0hxb当 时 ， 在 有 唯 一 解 ， 且 ， ，1bcosx0,20x0,x0h故 在 上 单 调 递 增 ， 从 而 ，hx0, hx即 与 恒 成 立 矛 盾 ，sinsinsibxbsib综 上 ， ， 故 1min119 （ 共 14 分 ）（ 1） 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ： ， 故 ， 则 ， 故 离 心 率 ；214xy2,ab2c
12、2eca12 / 13（ 2） 由 题 可 得 ， 直 线 的 斜 率 存 在 ， 设 为 ， 则 直 线 的 方 程 为 ， ,OAkOAykxOAB当 时 ， ， 已 知 ， 此 时 直 线 方 程 为 或 ，1 0k2,00,2BB20x+2=0原 点 到 直 线 的 距 离 均 为 ， 故 满 足 直 线 与 圆 相 切 ；ABA2y当 时 ， 直 线 方 程 为 ，2 0kO1yxk联 立 得 ， ， 故 或 ，214yx2+4k22,1kA22,1k联 立 得 ， ，2yxk2,Bk由 的 对 称 性 ， 那 么 不 妨 去 点 进 行 计 算 ， 于 是 直 线 方 程 为A22
13、,1kAAB，221kkyxxk 22211+0kxky原 点 到 直 线 的 距 离 ， 此 时 与 圆 相 切 ；AB22+=11kdkk2xy综 上 所 述 ， 直 线 与 圆 相 切 2xy20 （ 共 13 分 ）解 ： （ 1） ， ；257TP21max,241max7,618TPTP（ 2） 当 时，ma13 / 13， ；1TPab2,+maxmax,cTPdbdbc， ；1+cd2 , ,dd因为 是 中最小的数，所以 ，从而 ；ab、 、 、 ax,bc22TP当 时，md， ；1TPab2,+maxmax,cTPdbdbc；2x,a,c因为 是 中最小的数，所以 ，从而 ；dabd、 、 、 x,dbc22TP综上，这两种情况下都有 22TP（3）52 分 布 为 ： (4,6)(16,11)(11,11)(11,8)(5,2)。
