1、1阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点 P 到两定点 A、B 的距离之比等于定比 (1)，则 P 点的轨迹，是以定比 内分和外分定线段 AB 的两个分点的nmnm连线为直径的圆这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的 PA+kPB，(k1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本
2、解法：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系 xOy 中，在 x 轴、y 轴分别有点 C(m，0)，D(0，n).点 P 是平面内一动点，且 OP=r，求 PC+kPD 的最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹(圆)，以点 O 为圆心、r 为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步)第二步：连接动点至圆心 O(将系数不为 1 的线段的固定端点与圆心相连接)，即连接OP、OD；第三步：计算出所连接的这两条线段 OP、OD 长度；第四步：计算这两条线段长度的比 k；第五步：在 OD 上取点 M，使得 OM:OP=OP:OD=k；第六步：连接 CM，与圆 O 交点即为点 P此时 C
3、M 即所求的最小值.【补充：若能直接构造相似计算的，直接计算，不能直接构造相似计算的，先把 k 提到括号外边，将其中一条线段的系数化成 ，再构造相似进行计算】k12习题【旋转隐圆】如图，在 RtABC 中，ACB=90，D 为 AC 的中点，M 为 BD 的中点，将线段AD 绕 A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点 M 为 BD 的中点），若 AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段 CM 长度的取值范围是_.1.RtABC 中，ACB=90，AC=4，BC=3，点 D 为ABC 内一动点，满足 CD=2，则AD+ BD 的最小值为_.322.如图，菱形 ABCD 的边长为 2，锐角大小为
4、60，A 与 BC 相切于点 E，在A 上任取一点 P，则 PB+ PD 的最小值为_.23.如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，B=60，圆 B 的半径为 2，P 为圆 B 上一动点，则PD+ PC 的最小值为_.214.如图，点 A，B 在O 上，OA=OB=12,OAOB，点 C 是 OA 的中点，点 D 在 OB 上，OD=10.动点 P 在O 上，则 PC+ PD 的最小值为_.215.如图，等边ABC 的边长为 6，内切圆记为O，P 是圆上动点，求 2PB+PC 的最小值.36.如图，边长为 4 的正方形，内切圆记为O，P 是圆上的动点，求 PA+PB 的最小值.27.如图，边
5、长为 4 的正方形，点 P 是正方形内部任意一点，且 BP=2，则 PD+ PC 的最小值1为_； PD+4PC 的最小值为_.28.在平面直角坐标系 xOy 中，A(2，0)，B(0,2)，C(4，0)，D(3，2)，P 是AOB 外部的第一象限内一动点，且BPA=135，则 2PD+PC 的最小值是_.9.在ABC 中，AB=9，BC=8，ABC=60，A 的半径为 6，P 是A 上的动点，连接PB、PC，则 3PC+2PB 的最小值为_.10.如图，在 RtABC 中，A=30，AC=8，以 C 为圆心，4 为半径作C(1)试判断C 与 AB 的位置关系，并说明理由；(2)点 F 是C
6、上一动点，点 D 在 AC 上且 CD=2，试说明FCDACF；(3)点 E 是 AB 上任意一点，在(2)的情况下，试求出 EF+ FA 的最小值.21411.(1)如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，求 PD+ PC 的最小值和 PD- PC 的最大值；221(2)如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD+ PC 的最小值为_，PD- PC 的最大值为_33(3)如图 3，已知菱形 ABCD 的边长为 4，B=60，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上
7、的一个动点，那么 PD+ PC 的最小值为_，PD- PC 的最大值为_.212112.问题提出：如图 1，在 RtABC 中，ACB=90，CB=4，CA=6，C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP、BP，求 AP+ BP 的最小值2(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在 CB 上取点 D，使 CD=1，则有 ，又PCD=BCP，PCDBCP ，1CBP 21BPDPD= BP，AP+ BP=AP+PD21请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ BP 的最小值为_21(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， AP+BP 的最小值为
8、_3(3)拓展延伸：已知扇形 COD 中，COD=90，OC=6，OA=3，OB=5，点 P 是弧 CD 上一点，求 2PA+PB 的最小值.5【二次函数结合阿氏圆题型】13.如图 1，抛物线 y=ax+(a+3)x+3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m，0）（0m4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PMAB 于点 M(1)求 a 的值和直线 AB 的函数表达式；(2)设PMN 的周长为 C1，AEN 的周长为 C2，若 ，求 m 的值；5621C(3)如图 2，在（2）条件下，将线段
9、OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE，旋转角为 （090），连接 EA、EB，求 EA+ EB 的最小值3问题背景：如图 1，在ABC 中，BC=4，AB=2AC问题初探：请写出任意一对满足条件的 AB 与 AC 的值：AB=_，AC=_问题再探：如图 2，在 AC 右侧作CAD=B，交 BC 的延长线于点 D，求 CD 的长问题解决：求ABC 的面积的最大值671.小明的数学探究小组进行了系列探究活动类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形探索理解：(1)如图 1，已知 A、B、C 在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点 D，连接
10、 DA、DC，使四边形 ABCD 为邻等四边形；尝试体验：(2)如图 2，邻等四边形 ABCD 中，AD=CD，ABC=120，ADC=60，AB=2，BC=1，求四边形 ABCD 的面积解决应用：(3)如图 3，邻等四边形 ABCD 中，AD=CD，ABC=75，ADC=60，BD=4小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3 条件的邻等四边形，要求尽可能节约你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形 ABCD 面积的最小值；如果不能，请说明理由2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”(1)如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”请写出你添加的一个条件(2)如图 2，等邻边四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD+BCD=90，AC、BD 为对角线，AC=AB，试探究 BC，BD 的数量关系(3)如图 3，等邻边四边形 ABCD 中，AB=AD，AC=2，BAD=2BCD=60，求等邻边四边形ABCD 面积的最小值.8
