1、12008 年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分） （2008 四川）已知全集 U=1，2，3，4，5 ，集合 A=1，3，B=3，4，5，则集合 U（AB）= （ ）A3 B4，5 C3，4，5 D1 ，2，4，5【考点】交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【分析】根据交集的含义求 AB、再根据补集的含义求解【解答】解：A=1，3，B=3，4，5 AB=3；所以 CU（AB）=1，2，4，5，故选 D【点评】本题考查集合的基本运算，较简单2 （5 分） （2008 四川）复数 2i（1+i） 2=（ ）A4 B
2、4 C 4i D4i【考点】复数代数形式的混合运算菁优网版权所有【分析】先算（1+i） 2，再算乘 2i，化简即可【解答】解：2i（1+i ） 2=2i（1+2i 1）=2i2i=4i 2=4故选 A；【点评】此题考查复数的运算，乘法公式，以及注意 i2=1；是基础题3 （5 分） （2008 四川） （tanx+cotx）cos 2x=（ ）Atanx Bsinx Ccosx Dcotx【考点】同角三角函数基本关系的运用菁优网版权所有【分析】此题重点考查各三角函数的关系，切化弦，约分整理，凑出同一角的正弦和余弦的平方和，再约分化简【解答】解：=故选 D；【点评】将不同的角化为同角；将不同名的
3、函数化为同名函数，以减少函数的种类；当式中有正切、余切、正割、余割时，通常把式子化成含有正弦与余弦的式子，即所谓“切割化弦”4 （5 分） （2008 四川）直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90，再向右平移 1 个单位，所得到的直线为（ ）2A B Cy=3x 3 D【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系菁优网版权所有【分析】先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程【解答】解：直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90两直线互相垂直则该直线为 ，那么将 向右平移 1 个单位得 ，即故选 A【点评】本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题5 （5 分） （2008 四川
4、）若 02，sin cos，则 的取值范围是（ ）A （ ， ） B （ ， ） C （ ， ） D （ ， ）【考点】正切函数的单调性；三角函数线菁优网版权所有【专题】计算题【分析】通过对 sin cos 等价变形，利用辅助角公式化为正弦，利用正弦函数的性质即可得到答案【解答】解：02，sin cos，sin cos=2sin（ ）0，02， ，2sin（ ）0，0 ， 故选 C【点评】本题考查辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，将 sin cos 等价变形是难点，也是易错点，属于中档题6 （5 分） （2008 四川）从甲、乙等 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动，要求甲、乙中至
5、少有 1 人参加，则不同的挑选方法共有（ ）A70 种 B112 种 C140 种 D168 种【考点】组合及组合数公式菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据题意，分析可得，甲、乙中至少有 1 人参加的情况数目等于从 10 个同学中挑选 4 名参加公益活动挑选方法数减去从甲、乙之外的 8 个同学中挑选 4 名参加公益活动的挑选方法数，分别求出其情况数目，计算可得答案3【解答】解：从 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动有 C104 种不同挑选方法；从甲、乙之外的 8 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动有 C84 种不同挑选方法；甲、乙中至少有 1 人参加，则不同的挑选方法共有 C10
6、4C84=21070=140 种不同挑选方法，故选 C【点评】此题重点考查组合的意义和组合数公式，本题中，要注意找准切入点，从反面下手，方法较简单7 （5 分） （2008 四川）已知等比数列a n中，a 2=1，则其前 3 项的和 S3 的取值范围是（ ）A （，1 B （ ，0） （1，+） C3，+） D （，13，+）【考点】等比数列的前 n 项和菁优网版权所有【分析】首先由等比数列的通项入手表示出 S3（即 q 的代数式） ，然后根据 q 的正负性进行分类，最后利用均值不等式求出 S3 的范围【解答】解：等比数列a n中，a 2=1当公比 q0 时， ；当公比 q0 时， S3（ ，
7、13，+） 故选 D【点评】本题考查等比数列前 n 项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用8 （5 分） （2008 四川）设 M，N 是球心 O 的半径 OP 上的两点，且 NP=MN=OM，分别过 N，M，O 作垂线于 OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（ ）A3，5，6 B3，6，8 C5，7，9 D5，8，9【考点】球面距离及相关计算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先求截面圆的半径，然后求出三个圆的面积的比【解答】解：设分别过 N，M，O 作垂线于 OP 的面截球得三个圆的半径为 r1，r 2，r 3，球半径为 R，则：r12：r 22：r 32=5：8：9
8、这三个圆的面积之比为： 5，8，9故选 D【点评】此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系；考查空间想象能力，利用勾股定理的计算能力49 （5 分） （2008 四川）设直线 l平面 ，过平面 外一点 A 与 l， 都成 30角的直线有且只有（ ）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条【考点】空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有【分析】利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，即可得到结果【解答】解：如图，和 成 300 角的直线一定是以 A 为顶点的圆锥的母线所在直线，当ABC=ACB=30，直线 AC，AB 都满足条件故选 B【点评】此题重点考查线线角，线面角的关系，以及空间想象
9、能力，图形的对称性；数形结合，重视空间想象能力和图形的对称性；10 （5 分） （2008 四川）设 f（x）=sin（x+） ，其中 0，则 f（x）是偶函数的充要条件是（ ）Af（0）=1 Bf（0）=0 Cf（0）=1 Df （0）=0【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】计算题【分析】当 f（x）=sin（ x+）是偶函数时，f（0）一定是函数的最值，从而得到 x=0 必是 f（x）的极值点，即 f（0）=0，因而得到答案【解答】解：f（x）=sin （x+）是偶函数由函数 f（x）=sin （x+ ）图象特征可知 x=0 必是 f（x）的极值点，f（0）=
10、0故选 D【点评】此题重点考查正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系11 （5 分） （2008 四川）设定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x） f（x+2）=13，若f（1）=2，则 f（99）=（ ）A13 B2 C D【考点】函数的值菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】根据 f（1）=2，f（x）f（x+2）=13 先求出 f（3）= ，再由 f（3）求出 f（5） ，依次求出 f（7） 、f（9）观察规律可求出 f（x）的解析式，最终得到答案【解答】解：f（x） f（x+2）=13 且 f（1）=2 ， ， ，5 ，故选 C【点评】此题重点考查递推关系下
11、的函数求值；此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解12 （5 分） （2008 四川）已知抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点A 在 C 上且 ，则AFK 的面积为（ ）A4 B8 C16 D32【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得 K 的坐标，设A（x 0，y 0） ，过 A 点向准线作垂线 AB，则 B（ 2，y 0） ，根据 及AF=AB=x0（2）=x 0+2，进而可求得 A 点坐标，进而求得AFK 的面积【解答】解：抛物线 C：y 2=8x
12、 的焦点为 F（2，0） ，准线为 x=2K（ 2， 0）设 A（x 0，y 0） ，过 A 点向准线作垂线 AB，则 B（ 2，y 0） ，又 AF=AB=x0（ 2）=x 0+2由 BK2=AK2AB2 得 y02=（x 0+2） 2，即 8x0=（x 0+2） 2，解得 A（2，4）AFK 的面积为故选 B【点评】本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在ABK 中集中条件求出 x0 是关键；二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）13 （4 分） （2008 四川） （1+2x） 3（1x） 4 展开式中 x2 的系数为 6 6【考点】二项式定理菁优
13、网版权所有【专题】计算题【分析】利用乘法原理找展开式中的含 x2 项的系数，注意两个展开式的结合分析，即分别为第一个展开式的常数项和第二个展开式的 x2 的乘积、第一个展开式的含 x 项和第二个展开式的 x 项的乘积、第一个展开式的 x2 的项和第二个展开式的常数项的乘积之和从而求出答案【解答】解：（1+2x ） 3（1 x） 4 展开式中 x2 项为C3013（2x） 0C4212（x） 2+C3112（2x） 1C4113（ x） 1+C3212（2x） 2C4014（ x） 0所求系数为 C30C42+C312C41（1）+C 3222C4014=624+12=6故答案为：6【点评】此题
14、重点考查二项展开式中指定项的系数，以及组合思想，重在找寻这些项的来源14 （4 分） （2008 四川）已知直线 l：xy+4=0 与圆 C：（x 1） 2+（y1） 2=2，则 C 上各点到 l 的距离的最小值为 【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式菁优网版权所有【专题】数形结合【分析】如图过点 C 作出 CD 与直线 l 垂直，垂足为 D，与圆 C 交于点 A，则 AD 为所求；求 AD 的方法是：由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 l 的距离 d，利用 d 减去圆的半径 r 即为圆上的点到直线 l 的距离的最小值【解答】解：如图可知：过圆
15、心作直线 l：x y+4=0 的垂线，则 AD 长即为所求；圆 C：（x1） 2+（y 1） 2=2 的圆心为 C（1，1） ，半径为 ，点 C 到直线 l：x y+4=0 的距离为 ，AD=CDAC=2 = ，故 C 上各点到 l 的距离的最小值为 故答案为：【点评】此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离本题的突破点是数形结合，使用点 C 到直线 l 的距离距离公式715 （4 分） （2008 四川）已知正四棱柱的对角线的长为 ，且对角线与底面所成角的余弦值为 ，则该正四棱柱的体积等于 2 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】计算题；作图题；压轴题【分析】由题意画出图形，
16、求出高，底面边长，然后求出该正四棱柱的体积【解答】解：如图可知： 正四棱柱的体积等于 =2故答案为：2【点评】此题重点考查线面角，解直角三角形，以及求正四面题的体积；考查数形结合，重视在立体几何中解直角三角形，熟记有关公式16 （4 分） （2008 四川）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S410，S 515，则 a4 的最大值为 4 【考点】等差数列的前 n 项和；等差数列菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】利用等差数列的前 n 项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定 d 或 a1 的范围，a4 用 d 或 a1 表示，再用不等式的性质求得其范围【解答】解：等差数列a n的前
17、n 项和为 Sn，且 S410，S 515， ，即 ，5+3d 6+2d，d1a43+d3+1=4 故 a4 的最大值为 4，故答案为：4【点评】此题重点考查等差数列的通项公式，前 n 项和公式，以及不等式的变形求范围；8三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）17 （12 分） （2008 四川）求函数 y=74sinxcosx+4cos2x4cos4x 的最大值与最小值【考点】三角函数的最值菁优网版权所有【专题】计算题【分析】利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简 y 的解析式后，再利用配方法把 y 变为完全平方式即 y=（1sin2x ） 2+6，可设 z（u1） 2+
18、6，u=sin2x ，因为sin2x 的范围为1，1，根据 u 属于1，1时，二次函数为递减函数，利用二次函数求最值的方法求出 z 的最值即可得到 y 的最大和最小值【解答】解：y=7 4sinxcosx+4cos2x4cos4x=72sin2x+4cos2x（1cos 2x）=72sin2x+4cos2xsin2x=72sin2x+sin22x=（1sin2x ） 2+6由于函数 z=（u1） 2+6 在 1，1中的最大值为 zmax=（11） 2+6=10最小值为 zmin=（11） 2+6=6故当 sin2x=1 时 y 取得最大值 10，当 sin2x=1 时 y 取得最小值 6【点评
19、】此题重点考查三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；本题的突破点是利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键18 （12 分） （2008 四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5，购买乙种商品的概率为 0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的（）求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）记 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求 的分布列及期望【考点】相互独立事件的概率乘法公式
20、；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】计算题【分析】 （1）进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，包括两种情况：即进入商场的 1 位顾客购买甲种商品不购买乙种商品，进入商场的 1 位顾客购买乙种商品不购买甲种商品，分析后代入相互独立事件的概率乘法公式即可得到结论（2）进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不习甲商品也不购买乙商品，我们可以利用对立事件概率减法公式求解（3）由（1） 、 （2）的结论，我们列出 的分布列，计算后代入期望公式即可得到数学期望【解答】解：记 A 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲
21、种商品，9记 B 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买乙种商品，记 C 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记 D 表示事件：进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（）=0.50.4+0.50.6=0.5（）=0.50.4=0.2（） B（3 ，0.8） ，故 的分布列 P（=0）=0.2 3=0.008P（=1）=C 310.80.22=0.096P（=2）=C 320.820.2=0.384P（=3）=0.8 3=0.512所以 E=30.8=2.4【点评】此题重点考查相互独立事件的概率计算，以及求随机变量的概率分布列和数学期望；突破口：分清相互独立
22、事件的概率求法，对于“至少 ”常从反面入手常可起到简化的作用；19 （12 分） （2008 四川）如，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，BAD=FAB=90，BC ，BE（）证明：C，D，F ，E 四点共面；（）设 AB=BC=BE，求二面角 AEDB 的大小【考点】与二面角有关的立体几何综合题；棱锥的结构特征菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】 （）延长 DC 交 AB 的延长线于点 G，延长 FE 交 AB 的延长线于 G，根据比例关系可证得 G 与 G重合，准确推理，得到直线 CD、EF 相交于点 G，即 C，D，F，E 四点共面10（
23、）取 AE 中点 M，作 MNDE，垂足为 N，连接 BN，由三垂线定理知 BNED，根据二面角平面角的定义可知BMN 为二面角 AEDB 的平面角，在三角形 BMN 中求出此角即可【解答】解：（）延长 DC 交 AB 的延长线于点 G，由 BC 得延长 FE 交 AB 的延长线于 G同理可得故 ，即 G 与 G重合因此直线 CD、EF 相交于点 G，即 C，D，F ，E 四点共面（）设 AB=1，则 BC=BE=1，AD=2取 AE 中点 M，则 BMAE，又由已知得，AD 平面 ABEF故 ADBM，BM 与平面 ADE 内两相交直线 AD、AE 都垂直所以 BM平面 ADE，作 MNDE
24、，垂足为 N，连接 BN由三垂线定理知 BNED，BMN 为二面角 AEDB 的平面角故所以二面角 AEDB 的大小【点评】此题重点考查立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；突破：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格式是顺利进行求解的关键20 （12 分） （2008 四川）设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 ban2n=（b1）S n（）证明：当 b=2 时，a nn2n1是等比数列；（）求a n的通项公式11【考点】数列的应用菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】 （）当 b=2 时，由题设条件知 an+1=2an+2n由
25、此可知 an+1（n+1）2n=2an+2n（n+1） 2n=2（a nn2n1） ，所以a nn2n1是首项为 1，公比为 2 的等比数列（）当 b=2 时，由题设条件知 an=（n+1）2 n1；当 b2 时，由题意得= ，由此能够导出an的通项公式【解答】解：（）当 b=2 时，由题意知 2a12=a1，解得 a1=2，且 ban2n=（b1 ）S nban+12n+1=（b1）S n+1两式相减得 b（a n+1an） 2n=（ b1）a n+1即 an+1=ban+2n当 b=2 时，由 知 an+1=2an+2n于是 an+1（n+1）2 n=2an+2n（n+1）2 n=2（a
26、nn2n1）又 a1120=10，所以a nn2n1是首项为 1，公比为 2 的等比数列（）当 b=2 时，由（）知 ann2n1=2n1，即 an=（n+1）2 n1当 b2 时，由 得= =因此 =即所以 【点评】此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考查分类讨论思想；推移脚标两式相减是解决含有 Sn 的递推公式的重要手段，使其转化为不含 Sn的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键1221 （12 分） （2008 四川）设椭圆 ， （ab0）的左右焦点分别为 F1，F 2，离心率 ，
27、右准线为 l，M， N 是 l 上的两个动点，（）若 ，求 a，b 的值；（）证明：当|MN|取最小值时， 与 共线【考点】椭圆的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】 （）设 ，根据题意由 得，由 ，得 ，由此可以求出 a，b 的值（）|MN| 2=（y 1y2） 2=y12+y222y1y22y1y22y1y2=4y1y2=6a2当且仅当或 时，|MN|取最小值 ，由能够推导出 与共线【解答】解：由 a2b2=c2 与 ，得a2=2b2， ，l 的方程为设则由 得 13（）由 ，得 由、三式，消去 y1，y 2，并求得 a2=4故（）证明：|MN| 2=（y 1y2） 2=y12
28、+y222y1y22y1y22y1y2=4y1y2=6a2当且仅当 或 时，|MN|取最小值此时，故 与 共线【点评】此题重点考查椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量的综合应用；熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用22 （14 分） （2008 四川）已知 x=3 是函数 f（x）=aln（1+x）+x 210x 的一个极值点（）求 a；（）求函数 f（x）的单调区间；（）若直线 y=b 与函数 y=f（x）的图象有 3 个交点，求 b 的取值范围【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性菁优网
29、版权所有【专题】计算题；压轴题；数形结合法【分析】 （）先求导 ，再由 x=3 是函数 f（x）=aln（1+x）+x210x 的一个极值点即 求解（）由（）确定 f（x）=16ln（1+x）+x 210x，x（1，+）再由 f（x）0 和f（x）0 求得单调区间（）由（）知，f（x）在（ 1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+）上单调增加，且当 x=1 或 x=3 时，f（x）=0，可得 f（x）的极大值为 f（1） ，极小值为 f（3）一，再由直线 y=b 与函数 y=f（x）的图象有 3 个交点则须有 f（3）bf（1）求解，因此，b 的取值范围为（ 32ln221，16
30、ln29） 【解答】解：（）因为14所以因此 a=16（）由（）知，f（x）=16ln（1+x）+x 210x，x（ 1，+）当 x（1，1）（3，+ ）时，f（x）0当 x（1，3）时，f（x）0所以 f（x）的单调增区间是（ 1，1） ， （3，+）f （x）的单调减区间是（1，3）（）由（）知，f（x）在（ 1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+）上单调增加，且当 x=1 或 x=3 时，f（x）=0所以 f（x）的极大值为 f（1）=16ln2 9，极小值为 f（3）=32ln221因此 f（16）16 2101616ln29=f（1）f（e 21） 32+11=21f（3）所以在 f（x）的三个单调区间（ 1，1） ， （1，3） ， （3，+）直线 y=b 有 y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当 f（3） bf （1）因此，b 的取值范围为（32ln2 21，16ln2 9） 【点评】此题重点考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；，熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围
