1、,矩阵的转置,2,本节主要内容,1. 矩阵的转置算法,2. 改进的快速转置算法,3,稀疏矩阵的压缩存储,对于元素分布都有一定的规律，我们都将其压缩存储到一维数组中，并找到每个矩阵元素在数组中的对应关系。,稀疏矩阵：,若非零元很少，而且分布没有一定的规律，如何来存储呢？,非零元较零元少，且分布没有一定规律。,稀疏因子:,假设 m 行 n 列的矩阵含 t 个非零元素，则称,通常认为 0.05 的矩阵为稀疏矩阵。,非零元素个数,总元素个数,稀疏因子,4,稀疏矩阵的压缩存储,1、三元组顺序表,2、行逻辑链接的顺序表,3、十字链表,5,稀疏矩阵的压缩存储,1、三元组顺序表,可由三元组表(1,2,12),
2、(1,3,9),(3,1,-3), (3,6,14),(4,3,24),(5,2,18), (6,1,15),(6,4,-7)和矩阵 维数（6,7）唯一确定,6,稀疏矩阵的压缩存储,1、三元组顺序表,#define MAXSIZE 12500typedef struct int i, j; /该非零元的行标和列标ElemType e; / 该非零元的值 Triple; / 三元组类型,typedef struct Triple dataMAXSIZE + 1; / data0未用int mu, nu, tu; / 矩阵的行数、列数及非零元个数 TSMatrix; / 稀疏矩阵类型,7,稀疏矩阵
3、的压缩存储,例如：,struct TSMatrix M;,M.mu=6; M.nu=7; M.tu=8;,M.data4,M.data5,M.data6,M.data7,M.data8,M.data0,M.data1,M.data2,M.data3,8,稀疏矩阵的压缩存储,2、行逻辑链接的顺序表,为了便于对矩阵中任意一行非零元素进行操作，对三元组顺序表结构进行修改，增加一个量来记录每一行非零元在三元组表中的位置，这种“带行链接信息”的三元组表称为行逻辑链接的顺序表。,typedef struct Triple dataMAXSIZE + 1; int rposMAXRC + 1; / 各行第一
4、个非零元的位置表int mu, nu, tu; RLSMatrix; / 行逻辑链接顺序表类型,9,稀疏矩阵的压缩存储,例如：,M.data4,M.data5,M.data6,M.data7,M.data8,M.data0,M.data1,M.data2,M.data3,struct RLSMatrix M;,M.mu=6;M.nu=7;M.tu=8;,10,矩阵的转置,如何实现？,如果矩阵未采用压缩存储方式，采用二维数组作为存储结构：,那么，转置算法为：行，列元素相交换。,for (col=1; col=列数; +col)for (row=1; row=行数; +row)Tcolrow =
5、Mrowcol;,时间复杂度为：(行数*列数),11,矩阵的转置,#define MAXSIZE 12500typedef struct int i, j; /该非零元的行标和列标ElemType e; / 该非零元的值 Triple; / 三元组类型,typedef struct Triple dataMAXSIZE + 1; / data0未用int mu, nu, tu; / 矩阵的行数、列数及非零元个数 TSMatrix; / 稀疏矩阵类型,若矩阵采用压缩存储-三元组顺序表作为存储结构，如何实现矩阵的转置？,12,矩阵的转置,M.data4,M.data5,M.data6,M.data
6、7,M.data8,M.data0,M.data1,M.data2,M.data3,M.mu=6; M.nu=7; M.tu=8;,struct TSMatrix M;,13,矩阵的转置,i和j相交换实现转置，这样实现是否正确？,14,矩阵的转置,为了便于实现矩阵的各类算法，通常采用三元组顺序表对矩阵进行存储时，都将元素按照i值（行值）排列为非递减序列。,因此，矩阵的转置（假设矩阵M转置为矩阵T）：,1、将矩阵M的行值赋给矩阵T的列值，M的列值赋给T的行值； 2、将M的每个元素三元组中的i值给T的每个元素三元组中的j值；M的每个元素三元组中的j值给T的每个元素三元组中的i值。 3、应让T的三元
7、组元素按照i值（行值）重新排序。,通常有两种方法：,1、压缩转置算法：,核心思想：按照T.data中三元组的次序依次在M.data中找到相应的三元组进行转置。,2、压缩快速转置算法：,核心思想：按照M.data中三元组的次序进行转置，并将转置后的三元组置入T中恰当的位置上。,15,压缩转置算法,1、压缩转置算法：,核心思想：按照T.data中三元组的次序依次在M.data中找到相应的三元组进行转置。,M.mu=6;M.nu=7;M.tu=8,T.mu=7;,T.nu=6;,T.tu=8;,q=1,按照从1到M.nu，反复查看M矩阵的三元组表中j值，按照递增的顺序重置入T中。,col=1,M.d
8、atap.j=col;,1,3,-3,q=2,1,6,15,q=3,col=2,2,1,12,2,5,18,3,1,9,3,4,24,4,6,-7,6,3,14,16,压缩转置算法,Status TransPoseSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix /TranposeSMatrix,算 法 描 述：,17,压缩转置算法,压缩转置算法时间复杂度：,O(nu*tu),-即与M的列数及非零元的个数的乘积成正比。,当非零元数量tu和mu*nu同数量级时，算法的时间复杂度就为,O(mu*nu*nu),可见，比不压缩存储的矩阵转置的时间复杂度O(mu*nu)还要高。虽然，节省了存储空
9、间，但时间复杂度提高了。,压缩转置算法仅适于非零元很少（tumu*nu）的情况下。,18,压缩快速转置算法,2、压缩快速转置算法：,核心思想：按照M.data中三元组的次序进行转置，并将转置后的三元组置入T中恰当的位置上。,如果不用多次扫描M三元组表，而是在一次扫描中就将每个元素置入T中该元素所应该在的位置上，就可以大大提高时间复杂度了。,关键问题在于如何确定每个元素在T中的位置。,p=1,M,T,2,1,12,p=2,3,1,9,p=3,1,3,-3,19,压缩快速转置算法,为了确定这些位置，在转置前，应先求得M的每一列中非零元的个数，进而求得每一列的第一个非零元在T中应在的位置。,需要附设
10、两个数组：,numcol:表示矩阵M中第col列中非零元的个数。,cpotcol:指示M中第col列的第一个非零元在T.data 中的恰当位置。,显然两者的关系为：,cpot11 cpotcol cpotcol-1 + numcol-1,20,压缩快速转置算法,for(col=1;col=M.nu;+col) numcol=0;,0,0,0,0,0,0,0,for(t=1;t=M.tu;+t)+numM.datat.j;,1,1,1,2,2,2,1,1,cpot11; for(col=2;col=M.nu;+col)cpotcol cpotcol-1 + numcol-1,1,3,5,7,8,
11、8,9,21,压缩快速转置算法,M,T,for(p=1;p=M.tu;+p) col=M.datap.j; q=cpotcol; M的p位置数据拷贝到T的q位置上； +cpotcol; ,p=1,col=2,q=3,2,1,12,1,3,5,7,8,8,9,4,p=2,col=3,q=5,3,9,1,6,p=3,col=1,q=1,1,3,-3,2,p=4,col=6,q=8,6,3,14,9,p=5,col=3,q=6,3,4,24,22,压缩快速转置算法,Status FastTransposeSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix / FastTransposeSMat
12、rix,col =M.data p . j ; q =cpot col ; T.dataq.i = M.datap. j;T.dataq.j = M.datap. i;T.dataq.e = M.datap.e;+ + cpotcol ;,23,压缩快速转置算法,算法的效率分析：,时间上：,算法中主要的基本操作为：,该算法的时间复杂度(2*nu)+(2*tu)=O(nu+tu）,for(col = 1; col =M.nu; col+) 循环次数nu;,for( i = 1; i =M.tu; i +) 循环次数tu;,for(col = 2; col =M.nu; col+) 循环次数nu;,for( p=1; p =M.tu ; p + ) 循环次数tu;,最坏的情况：tu=nu*mu，时间复杂度为O(nu*mu),24,压缩快速转置算法,算法的效率分析：,空间上：,算法中增加了两个辅助数组num和cpot,长度为矩阵的列数nu。,
