1、中国科学院大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学分析解答：Eufisky (Xiongge)考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。1. (15分)计算极限limx!0(ex + e2x + + enxn)1x.解:limx!0(ex + e2x + + enxn)1x= limx!0exp1x ln(ex + e2x + + enxn)= limx!0exp1x ln(1 + (ex 1) +(e2x 1)+ + (enx 1)n)= limx!0exp(ex 1) +(e2x
2、1)+ + (enx 1)nx= limx!0expx + 2x + + nxnx= e(n+1)/2.2. (15分)求定积分I = 10log(1 +px)dx.解:令t = px,则有I = 10log(1 +px)dx = 2 10tlog(1 + t)dt= 10log(1 + t)dt2 =t2 log(1 + t)10 10t21 + tdt= log2 10(t 1)dt + 1011 + tdt= log2 12 + log2= 12.3. (15分)求二重极限limx!y!x + yx2 xy + y2.解:解法一.x + yx2 xy + y21x + 1yxy +yx
3、11x + 1yxy +yx11x +1y.考试科目：数学分析第1页共5页解法二.(忘忧草)x + yx2 xy + y22jx + yjx2 + y2 2jxj+jyjx2 + y2 2( 1jxj +1jyj).因此所求二重极限等于0. 4. (15分) f(x)是a,b上的连续正函数,求证存在x 2 (a,b),使得 xaf (x)dx = bxf (x)dx = 12 baf (x)dx.证明:令g(t) = taf (x)dx 12 baf (x)dx,则g(x)在a,b上连续,而g(a) = 12 baf (x)dx, g(b) = 12 baf (x)dx.故g(a), g(b)
4、必不同号,由零点定理可知存在x 2 (a,b),使得g(t) = xaf (x)dx 12 baf (x)dx = 0,即xaf (x)dx = 12 baf (x)dx,此时有bxf (x)dx = baf (x)dx xaf (x)dx = 12 baf (x)dx.5. (15分)求以下曲面所围立体的体积:S1 : x2a2 +y2b2 +z2c2 = 1,S2 : x2a2 +y2b2 =z2c2 (z 0).一开始看到这题,感觉不好算,觉得时间紧迫,果断搁置.后面才回来解决的.解:当z2c2 1 z2c2 ,即z c/p2时,我们有V1 =1dV = c0dzD1dxdy = ccp
5、2pabc2 z2 pab(1 z2c2)dz= pab ccp2(2z2c2 1)dz = pabc3(1 +p2)当z2c2 1 z2c2 ,即z c/p2时,我们有V2 =2dV = c0dzD2dxdy = cp20pab(1 z2c2)pabc2 z2dz= pab cp20(1 2z2c2)dz =p23 pabc因此V = V1 + V2 = pabc3(2p2 1).考试科目：数学分析第2页共5页6. (15分) f(x)是a,b上的连续函数,且f(x)单调递增.求证: batf (t)dt a + b2 baf (t)dt.证明:由于 batf (t)dt a + b2 ba
6、f (t)dt = ba(t a + b2)f (t)dt= a+b2a(t a + b2)f (t)dt + ba+b2(t a + b2)f (t)dt= a+b2a(t a + b2)f (t)dt aa+b2(a + b2 x)f (a + b x)dt (x = a + b t)= a+b2a(t a + b2)f (t) f (a + b t)dt.而当t 2(a, a+b2)时,有t a + b2 0.由零点定理可知存在x 2 (a,b),使得g(x) = f(x) b + x = 0,即f(x) = b x.(b)当a = 0,则有b 0.由Lagrange中值定理可知存在a
7、2 (a,x),使得f (a) = f (x) f (a)x a = b xx .存在b 2 (x,b),使得f (b) = f (b) f (x)b x = xb x.此时有f(a)f(b) = 1.9. (15分)求椭圆x2 + 4y2 = 4上到直线2x + 3y = 6距离最短的点,并求其最短距离.第一感觉,高中数学联赛题.解:利用平面解析几何的方法可以更直观地解决.将直线l1 : 2x + 3y = 6向下平移至与椭圆相切,记此时直线为l2,则两平行直线l1与l2的距离即为所求最短距离d.椭圆x2 + 4y2 = 4上一点(x,y)的切线斜率为k = FxFy= x4y = 23 )
8、 y = 38x.由x,y 0解得x = 85,y = 35.故直线l2与椭圆的切点为A(85, 35),从而有l2 : y = 23x + 53 , 2x + 3y 5 = 0.故所求最短距离d = j( 5) ( 6)jp22 + 32 = 1p13 =p1313 .10. (15分)半径为R的球面S的球心在单位球面x2 + y2 + z2 = 1上,求球面S在单位球内面积的最大值,并求出此时的R.解:记S的球心为A(a,b,c),且a2 + b2 + c2 = 1,则球面S的方程为(x a)2 + (y b)2 + (z c)2 = R2,即x2 + y2 + z2 2ax 2by 2c
9、z = R2 1,0 0)x2 + y2 + z2 = R2 ) z =R2 x2 y2.则所求面积为S =SdS =D1 + z2x + z2ydxdy=DRR2 x2 y2 dxdy = 2p0dq R1 R240RrR2 r2 dr= 2p(R2 R32).由均值不等式可知S = 2p(R2 R32)= 4p R2 R2 (2 R)4p(R2 +R2 + (2 R)3)3= 32p27 .当且仅当R2 =2 R ) R = 43时取得最大值. 当时没想到去用曲面积分求球冠的表面积,函数写成了x2 cosx这种,想了一个多小时也求不出最大值,气死我了.事实上,当时做完Dirichlet判别法那题后再算,还是没结果！时间不多了,赶紧将答题纸和试卷装入信封,贴上密封条等待交卷走人！考试科目：数学分析第5页共5页
