1、常微分方程 2.1 1. xydxdy 2 ,并求满足初始条件： x=0,y=1 的特解 . 解：对原式进行变量分离得 。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：eexxycyxxcycyx d xdyy22,11,0,ln,21 2,0)1(.2 2 dyxdxy 并求满足初始条件： x=0,y=1 的特解 . 解：对原式进行变量分离得： 。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xycyxyxcycyxydydxx y1ln11,11,001ln1,11ln0,11123 yxydxdy xy321 解：原式可化为： xxyxxyxyxyyxyccccxdxx
2、dyyyxydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln1ln21ln1ln2111,0111）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln,ln,lnln0110000)1()1(4xycyxxycyxxycyyxxdyyydxxxxyxyx d yyy d xx故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln1lnln1ln1,0ln0)ln(l n:931:8.c oslns i nln07lns g na rc s i nlns g na rc s i n1s g n11,)1(,6ln)1l n(21111,11,0)()(:5
3、3322222222222cdxdydxdyxycyuduudxxxyudxxydyxyy dxdyyxxcdyyyyydxdycxytgx dxc tgy dyc tgx dytgy dxcxxxycxxudxxxduxdxdudxduxudxdyuxyuxyydxdyxcxar c tgudxxduuuudxduxudxduxudxdyuxyuxyxyxydxdydxxydyxyeeeeeeeexyuuxyxuuxyxyyxxx两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：也是方程的解。另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量
4、得：则原方程化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：cxyxar c tgcxar c tgtdxdtdxdtdxdtdxdytyxdxdycdxdydxdyttyxeeeeexyxyyx)(,11111,.11222)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，122)( 1yxdxdy 解 cxyxa r c tgyxcxa r c tg ttdxdttttdxdtdxdtdxdytyx)(1111222，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则令变量分离，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组UUdXdUXUXYYXYXdXdYYyXx
5、yxyxyxyxyxdxdyU2122222,31,3131,31;012,0121212.132.7)5(72177217)7(,71,1,525,14)5(22cxyxcxtdxdttttdxdtdxdtdxdytyxyxyxdxdyyxt代回变量两边积分变量分离原方程化为：则解：令15 18)14()1( 22 xyyxdxdy 原方程的解。，是，两边积分得分离变量，所以求导得，则关于令解：方程化为cxyxa r c tgdxduuudxdudxdudxdyxuyxyxxyyyxxdxdy6)383232(941494141412)14(181816122222216225262 2 y
6、xxy xydxdy 解： ，则原方程化为，令 uyxxy xydxdyxxyy xydxdy 32322332322232 2)(32( 2)(1263263 22222xuxuxxuxudxdu ，这是齐次方程，令cxxyxycxyxycxxyxycxzzdxxdzdzzzzzxyxyzzzzzzzdxdzxdxdzxzzzdxdzxzdxduzxu15337333533735372233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(1261263的解为时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。或）方程的解。即是（或，得
7、当，所以，则17. yyyx xxyxdxdy 32323 32解：原方程化为123 132;)123( )132( 2222222222 yx yxdxdyyxy yxxdxdy令 )1.(123 132;, 22 uv uvdvduvxuy 则 方程组 ，）；令，的解为（ 11110123 0132 uYvZuv uv 则有 zyzydzdyyzyz23321023 032 ）化为，从而方程（ 令)2.(23 2223 32 2 ，所以，则有 ttdzdtzttdzdtztdzdtztdzdyzyt 当是原方程的解或的解。得，是方程时，即 22222 2)2(1022 xyxytt 当cx
8、yxydzzdtttt 5222222 )2(122 23022 两边积分的时，分离变量得 另外 cxyxyxyxy 522222222 )2(2 原方程的解为，包含在其通解中，故，或 ，这也就是方程的解。，两边积分得分离变量得，则原方程化为令解）（并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程cyxxydxxduuuuuxuuuuxyxyxdxdyyxx dydxyxyuxyxyfdxdyyx4ln142241)22(1dxduuxy(2) 0.x,c2故原方程的解 为 原也包含在此通解中。0y,c2即,c2两边 同 时积 分得：dxx12udu变 量分离得：),(2ux1dxdu则
9、方程化 为u,xy令1dxdyyx时 ，方程化 为0sxy是原方程的解， 当0y或0x当:(1)解程。故此方程 为 此方程 为变u)(uf(u)x11)(f(u)xu1)y (f(u)dxduf(u),1dxduy1得：ydxdudxdyx所以,dxdydxdyxy求 导导 得x关 于u,xy证 明：因 为22).2()1(.1)(18.222222222222224223322222222xyxyxyxyxuuuuyx19. 已知 f(x) x xfxdtxf0)(,0,1)( 的一般表达式试求函数. 解：设 f(x)=y, 则原方程化为 xydtxf0 1)(两边求导得 12 yyy cx
10、yycxdyydxdxdyy 2 1;121;1; 233 所以两边积分得代入把 cxy 2 1 x ydtxf01)( xyccxccxcxdtctx21,02)2(;22 10 所以得20.求具有性质 x(t+s)=)()(1 )()( sxtx sxtx 的函数 x(t),已知 x(0)存在。 解：令 t=s=0 x(0)=)0(1 )0()0( xxx =)0()0(1 )0(2 xxx若 x(0) 0 得 x2 =-1矛盾。 所以 x(0)=0. x(t)= )(1)(0()()(1 )(1)(lim)()(lim 22 txxtxtxt txtxt txttx ) )(1)(0()
11、( 2 txxdt tdx dtxtx tdx )0()(1 )(2 两边积分得 arctg x(t)=x(0)t+c 所以 x(t)=tgx(0)t+c 当 t=0 时 x(0)=0 故 c=0 所以 x(t)=tgx(0)t 习题 2.2 求下列方程的解 1 dxdy = xy sin 解： y=e dx ( xsin e dx cdx ) =ex -21 e x ( xx cossin )+c =c ex -21 ( xx cossin )是原方程的解。 2 dtdx +3x=et2 解：原方程可化为： dtdx =-3x+et2 所以： x=edt3 ( et2 e dt3 cdt )
12、 =e t3 (51 et5 +c) =c e t3 +51 et2 是原方程的解。 3 dtds =-s tcos +21 t2sin 解： s=e tdtcos ( t2sin21 e dtdt3 c ) =e tsin ( cdttet ts incossin ) = e tsin ( cete tt sinsinsin ) = 1sinsin tce t 是原方程的解。 4 dxdy nxxeynx ， n 为常数 . 解：原方程可化为： dxdy nxxeynx )( cdxexeey dxxnnxdxxn )( cex xn 是原方程的解 . 5 dxdy + 1212 yx x=
13、0 解：原方程可化为： dxdy =- 1212 yx x dxxxey 212 ( cdxe dxx x 221 ) )21(ln 2 xe )( 1ln 2 cdxe xx = )1( 12 xcex 是原方程的解 . 6 dxdy234xyxx 解： dxdy234xyxx =23yx+xy 令 xy u 则 uxy dxdy =u dxdux 因此： dxduxu =2ux21udxdudxduu 2 cxu 331 cxxu 33 （ *） 将 xy u 带入 （ *）中 得： 343 3 cxxy 是原方程的解 . 3332()21()227. ( 1 )12( 1 )12( )
14、, ( ) ( 1 )1( 1 )( ( ) )1( 1 )dxP x dxxP x dxdy yxdx xdy yxdx xP x Q x xxe e xe Q x dx cx P(x)dx232解：方程的通解为：y=e=(x+1) ( *(x+1) dx+c)=(x+1) ( (x+23221( 1 )()211, ( )( ( ) )dyyxcdy ydx x ydxxydy y yQ y yyeyQ y dy c 2243P(y)dyP( y) dy P( y) dy1)dx+c) =(x+1)即：2y= c(x +1) +(x +1) 为方程的通解。8. =x+y解：则P (y) =
15、e方程的通解为：x=e e2331*)22y dy cyycyy=y(=即 x= +c y是 方程的通解 ，且y=0 也是方程的解。()( ) ( )19. ,1) , ( )( ( ) )01adxP x dxaxP x dx P x dxaady ay xadx x xaxP x Q xxxe e xe e Q x dx caa为常数解：（方程的通解为： y=1 x+1=x ( dx+c) xx当 时，方程的通解为y=x+ln/x/+c 当 时，方程01aaaa的通解为y=cx+xln/x/-1当 ，时，方程的通解为x1y=cx + - 1-3331()( ) ( )310.11( ) ,
16、 ( )1( ( ) )( * )dxP x dxxP x dx P x dxdyx y xdxdyyxdx xP x Q x xxeexe e Q x dx cx x dx ccxcx 33解：方程的通解为： y=1=xx=4x方程的通解为： y=4 223333233232332311.2( )2( )( ) 2 , ( ) 2( ( ) )( ( 2 )p x x dxxp x p xxdyx y x ydxx y x ydxx y xy dxx y xdxyzdzx z xdxP x x Q x xe dx e ee dx e dx Q x dx cex 23-2xdy解：两边除以yd
17、ydy令方程的通解为：z= =e222)11 ) 1 , 0xxdx ccey c e y 22=x故方程的通解为： (x 且 也是方程的解。22212111( ) ( )222l n 112. ( l n 2)4 2 4l n 2l n 2l n 22 l n2 l n( ) , ( )( ( ) )l n 1( ( ) ) (P x dx P x dxdx dxxxcxy x y dx x dy xdy x yydx x xydy x yy dx x xdy x ydx x xyzdz xzdx x xxP x Q xxxz e e Q x dx cxz e e dx c xx 解：两边除
18、以令方程的通解为：222ln( ) )l n 14 2 4l n 1: ( ) 1 ,4 2 4xdx cxxcxxcxyx 方程的通解为 且y =0也 是解。 13 222 ( 2 )2122xydy y x dxdy y x ydx xy x y 这是 n=-1 时的伯努利方程。 两边同除以 1y， 2 12dy yy dx x 令 2yz 2dz dyydx dx 22211dz y zdx x x P(x)=2x Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式 22()dx dxxxz e e dx c = 2x xc 22y x x c 14 23ydy e xdx x 两边同乘以 ye
19、22( ) 3yyy dy e xee dx x 令 yez ydz dyedx dx 222233dz z xz z zdx x x x 这是 n=2 时的伯努利方程。 两边同除以 2z 221 3 1dzz dx xz x令 1 Tz 21dT dzdx z dx231dT Tdx x xP（ x） = 3x Q(x)=21x由一阶线性方程的求解公式 3321()dx dxxxT e e dx cx = 321()2x x c = 1312 x cx 131( ) 12z x cx 131( ) 12ye x cx 2312 yyx e ce x 2312 yx x e c 15 331d
20、ydx xy x y 33dx yx y xdy 这是 n=3 时的伯努利方程。 两边同除以 3x 3321 dx y yx dy x令 2xz 32dz dxxdy dy322 2dz y ydy x = 322yz y P(y)=-2y Q(y)= 32y 由一阶线性方程的求解公式 223( 2 )yd y yd yz e y e d y c = 223( 2 )yye y e dy c = 22 1 yy ce 222( 1 ) 1yx y ce 2 2 222( 1 )y y yx e y ce e 2 2 2 2 2(1 )ye x x y cx 16 y= xe +0 ()xyt
21、dt()xdy e y xdx xdy yedx P(x)=1 Q(x)= xe 由一阶线性方程的求解公式 11()dx dxxy e e e dx c = ()x x xe e e dx c = ()xe x c 0( ) ( )xx x xe x c e e x c d x c=1 y= ()xe x c 17 设函数 (t)于 t 上连续， (0)存在且满足关系式 (t+s)= (t)(s) 试求此函数。 令 t=s=0 得 (0+0)= (0) (0) 即 (0)= 2(0) 故 (0) 0 或 (0) 1 （ 1） 当 (0) 0 时 ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 )t t t
22、 即 () 0t (t , ) (2) 当 (0) 1 时 0( ) ( )() li mtt t tt t =0( ) ( ) ( )limtt t tt =0( )( ( ) 1)limtttt =0( 0 ) ( 0 ) ()limtt tt = (0) ( )t 于是 (0) ( )d tdt 变量分离得 (0)d dt 积分 (0)tce 由于 (0) 1 ，即 t=0 时 1 1= 0ce c=1 故 (0)() tte 20.试证： （ 1）一阶非齐线性方程（ 2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（ 2.3）之解； （ 2）若 ()y yx 是（ 2.3）的非零解，而 (
23、)y yx: 是（ 2.28）的解，则方程（ 2.28）的通解可表为 ( ) ( )y cy x y x: ，其中 c 为任意常数 . （ 3）方程（ 2.3）任一解的常数倍 或任两解之和（或差）仍是方程（ 2.3）的解 . 证明： ( ) ( )dy P x y Q xdx （ 2.28） ()dy P x ydx （ 2.3） （ 1） 设 1y ， 2y 是（ 2.28）的任意两个解 则 11( ) ( )dy P x y Q xdx （ 1） 2 2( ) ( )dy P x y Q xdx （ 2） （ 1） -（ 2）得 1212( ) ( )d y y P x y ydx 即 1
24、2y y y是满足方程（ 2.3） 所以，命题成立。 （ 2） 由题意得： () ()dy x P x ydx （ 3） () ( ) ( ) ( )d y x P x y x Q xdx : : （ 4） 1）先证 y cy y: 是（ 2.28）的一个解。 于是 34c 得 ( ) ( ) ( )c d y d y c P x y P x y Q xd x d x : : () ( ) ( ) ( )d c y y P x c y y Q xdx : : 故 y cy y: 是（ 2.28）的一个解。 2）现证方程（ 4）的任一解都可写成 cy y: 的形式 设 1y 是 (2.28)的一
25、个解 则 11( ) ( )dy P x y Q xdx （ 4 ） 于是 （ 4 ） -（ 4）得 1 1() ( )( )d y y P x y ydx : : 从而 ()1 P x dxy y ce cy : 即 1y y cy: 所以，命题成立。 （ 3） 设 3y ， 4y 是（ 2.3）的任意两个解 则 33()dy P x ydx （ 5） 4 4()dy P x ydx （ 6） 于是（ 5） c 得 33()cdy cP x ydx 即 33() ( )( )d cy P x cydx 其中 c 为任意常数 也就是 3y cy 满足方程（ 2.3） （ 5） （ 6）得 3
26、434( ) ( )dy dy P x y P x yd x d x 即 3434() ( ) ( )d y y P x y ydx 也就是 34y y y满足方程（ 2.3） 所以命题成立。 21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。 （ 5） 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方； （ 6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项； 解： 设 ( , )pxy 为曲线上的任一点，则过 p 点曲线的切线方程为 ( )Y y y X x 从而此切线与两坐标轴的交点坐标为 ( , 0 ), (0 , )yx y xyy即 横截距为 yx y， 纵截距为
27、 y xy 。 由题意得： （ 5） 2y xy x 方程变形为 2dyx y xdx 1dy yxdx x 于是 11()( ( ) )d x d xxxy e x e d x c l n l n( ( ) )xxe x e dx c 1( ( ) )x x x d x c 1( ( ) )x x dx cx g ()x x c 2x cx 所以，方程的通解为 2y x cx 。 （ 6） 2xyy xy 方程变形为 22dy y xxdx 1122dy ydx x 于是 11()221( ( ) )2d x d xxxy e e d x c 11ln ln221( ( ) )2xxe e
28、d x c 11 22 1( ( ) )2x x d x c 11221( ( ) )2x x dx c g 1122()x x c 12x cx 所以，方程的通解为 12y x cx 。 22求解下列方程。 （ 1） 0)1( 2 xyyx 解： 111122 xyxxyy)11( 121 22 cexey dxx xdxx x = /1/111/1/2122212 cdxxxx = /1/1/ 232212 cxdxx =c xx /1/ 2 （ 2） 3s in c o s s in 0y x x y x 2s ins in c o s c o sdy y xdx x x x P(x)=
29、 1sin cosxx Q(x)= 2sincosxx 由一阶线性方程的求解公式 112s i n c o s s i n c o ss i n()c o sd x d xx x x xxy e e d x cx = sin ( sin )cos x xdx cx = sin ( cos )cos x xcx = sintgxc x 习题 2.3 1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。 1. 0)2()( 2 dyyxdxyx 解： 1yM， xN =1 . 则xNyM 所以此方程是恰当方程。 凑微分， 0)(22 xd yyd xyd ydxx 得 ： Cyxyx 2331 2 0)4
30、()3( 2 dyxydxxy 解： 1yM， 1xN . 则xNyM . 所以此方程为恰当方程。 凑微分， 043 2 yd ydxxxd yyd x 得 Cyxyx 23 2 3 0)(11)( 2222 dyyx xydxxyx y解： 3422)( 2)( )1)(2)(2 yx xyyx yxyyxyyM 3422)( 2)( )(2)(2 yx xyyx yxxyxxxN 则yNxM . 因此此方程是恰当方程。 xyx yxu 1)( 22 （ 1） 22)(1 yx xyyu （ 2） 对（ 1）做 x 的积分，则 )(1)( 22 ydxxdxyx yu = yxy2 )(ln
31、 yx （ 3） 对（ 3）做 y 的积分，则dy ydyx yyxyyu )()( 2)()1( 22 =dy ydyx yxy )()(2 22 =22)(1 yx xy 则 11)( 21)( 2)(1)( 2222222 yyx yxyxyyx xyyyx xydy yd yydyyy ln)11()( yx xyxyyx yxyyxyyyxyx yu lnlnlnln222 故此方程的通解为 Cyxxyxy ln4、 0)2(3)23(2 2232 dyyyxdxxxy 解： xyyM 12， xyxN 12 . xNyM . 则此方程为恰当方程。 凑微分， 03646 2232 d
32、yyy d yxdxxdxxy 0)()()(3 3422 xdxdyxd 得 ： Cyyxx 3224 3 5.(y1sinyx-2xycosxy +1)dx+(x1 cosxy -2yxsinyx+21y)dy=0 解： M=y1sinyx-2xycosxy +1 N=x1 cosxy -2yxsinyx+21yyM=-21ysinyx-3yxcosyx-21xcosxy +3xysinxy xN =- 21y sinyx - 3yx cosyx - 21x cosxy + 3xy sinxy 所以，yM= xN ，故原方程为恰当方程 因为y1sinyxdx-2xycosxy dx+dx+
33、x1 cosxy dy-2yxsinyxdy+21ydy=0 d(-cosyx)+d (sinxy )+dx+d(-y1)=0 所以， d(sinxy -cosyx+x -y1)=0 故所求的解为 sinxy -cosyx+x -y1=C 求下列方程的解： 6 2x(y 2xe -1)dx+ 2xe dy=0 解：yM= 2x 2xe , xN =2x 2xe 所以，yM= xN ，故原方程为恰当方程 又 2xy 2xe dx-2xdx+ 2xe dy=0 所以， d(y 2xe -x2 )=0 故所求的解为 y 2xe -x2 =C 7.(ex +3y2 )dx+2xydy=0 解： ex
34、dx+3y2 dx+2xydy=0 ex x2 dx+3x2 y2 dx+2x3 ydy=0 所以， d ex ( x2 -2x+2)+d( x3 y2 )=0 即 d ex ( x2 -2x+2)+ x3 y2 =0 故方程的解为 ex ( x2 -2x+2)+ x3 y2 =C 8. 2xydx+( x2 +1)dy=0 解： 2xydx+ x2 dy+dy=0 d( x2 y)+dy=0 即 d(x2 y+y)=0 故方程的解为 x2 y+y=C 9、 dxyxxdyydx 22 解：两边同除以 22 yx 得 dxyx xdyydx 22即， dxyxarctgd 故方程的通解为 cx
35、yxtg arg10、 03 dyyxydx 解：方程可化为： ydyy xdyydx 2即， ydyyxd 故方程的通解为： cyyx 221即： cyyx 22 同时， y=0 也是方程的解。 11、 01 xdydxxyy 解：方程可化为： dxxyxdyydx 1 dxxyxyd 1 即： dxxyxyd 1 故方程的通解为： cxxy 1ln 12、 02 xdydxxy 解：方程可化为： dxx xdyydx 2dxxyd 故方程的通解为 ： xcxy 即： xcxy 13、 02 xdydxyx 解：这里 xNyxM ,2 ，xNyM xNxNyM1方程有积分因子 xe dxx
36、1 两边乘以 得：方程 02 2 dyxdxyxx 是恰当方程 故方程的通解为： cdydxxyxyxdxxyx 22 222cyxx 333 即： cyxx 23 3 14、 0c o ss i nc o s dyyxxdxyxyxx 解：这里 yxxNyxyxxM c o s,s i nc o s 因为 yxxyxxNyM s i nc o s故方程的通解为： cdydxyxyxxyyxxdxyxyxx s i nc o sc o ss i nc o s即： cyxx sin 15、 odyxxxydxxxxy c o ss i ns i nc o s 解：这里 xxxyNxxxyM c
37、o ss i n,s i nc o s xNyM 1 MxNyM方程有积分因子： ydy ee 两边乘以 得： 方程 0c o ss i ns i nc o s dyxxxyedxxxxye yy 为恰当方程 故通解为 ： cdydxxxxyeyNdxxxxye yy s i nc o ss i nc o s即： cxeyxe yy c o s1s in 16、 05324 3 x d yy d xyx d yy d xx 解：两边同乘以 yx2 得： 05324 352423 y d yxdxyxy d yxdxyx 05324 yxdyxd 故方程的通解为： cyxyx 5324 17、
38、试导出方程 0),(),( dyYXNdxYXM 具有形为 )(xy 和 )( yx的积分因子的充要条件。 解：若方程具有 )( yx 为积分因子， xNyM )()( （ )( yx 是连续可导） xNxNyMyM )( xNyMxNyM )1( 令 yxz dzdxzdzdx ， dzdy . )( yMxNdzdNdzdM ， )()( yMxNdzdNM ， NMyMxNd ， dzyxdz )( 方程有积分因子 )( yx 的充要条件是： NM yMxN是 yx 的函数， 此时，积分因子为 dzzeyx )()( . )2( 令 yxz dzdyxzdzdx ， dzdxyzdzdy
39、 )( yMxNdzdNydzdMx )()( yMxNdzdNyMx NyMxyMxNd 此时的积分因子为 dzNyMx yMxNexy )( 18. 设 ),( yxf 及yf连续 ,试证方程 0),( dxyxfdy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于 x 的积分因子 . 证 :必要性 若该方程为线性方程 ,则有 )()( xQyxPdxdy , 此方程有积分因子 dxxPex )()( , )(x 只与 x 有关 . 充分性 若该方程有只与 x 有关的积分因子 )(x . 则 0),()()( dxyxfxdyx 为恰当方程 , 从而dx xdy yxfx )(),()( ,)( )(
40、xxyf , )()()()( )()()( )( xQyxPxQyxxxQdyxxf . 其中)( )()( xxxP .于是方程可化为 0)()( dxxQyxPdy 即方程为一阶线性方程 . 20. 设 函 数 f(u) ， g(u) 连 续 、 可 微 且 f(u) g(u), ， 试 证 方 程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 有积分因子 u=(xyf(xy)-g(xy) 1 证：在方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 两边同乘以 u 得： uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 则yuyf=uf+uyyf+yfyu=)( gfxy f+ )( gfxy yfy-y
41、f222 )()(gfyxygxyyfxygfx=2)( gfxyyfgyygyf=2)( gfxyxyxyfgyxyxygf=2)( gfxyfgxygf而 xuxg =ug+ux xg +xg xu =)( gfxy g+ )( gfxy xgx - xg222 )()(gfyx xgxyxfxygfy =2)( gfxyxxyxyfxgxxyxygxf=2)( gfxyfggf故yuyf= xuxg ，所以 u 是方程得一个积分因子 21假设方程（ 2.43）中得函数 M（ x,y） N(x,y)满足关系xNyM = Nf(x)-Mg(y),其中 f(x),g(y)分别为 x 和 y 得连续函数，试证方程（ 2.43） 有积分
