1、一元函数微分学自测题一、填空题（每题 3 分,共 15 分）1、 = 0 .201sinlm|x极 限2、设 ，则 _.)()()( nxf 0xdfnx答 !d3、 0,lim(si)(si)xfxafabfaf设 在 处 可 导 且 则 0 00 1limli(sin)(sin)(sin)(sin)1li(i)(i(i)(i2 ssnx xx fftxfafaxfaxfffafabx 答 12b4、设 ，其中 可微，则 = )(lnfeyfdy )(ln)(l)( xfxfe。)(xd5、设 ，且 ，则)23(fy2arctn)(xf0xdy34二、单选题：（每题 4 分,共 20 分）1
2、、 若当 时， 是 高阶无穷小，则0x)(xf3 xefx220sin)1(lim(A) (B) (C) (D) 答（ A ）2、若 在 内处处可导，则0),1()2xbexfax ),(（A） ； （B） ； , 1,2ba（C） ； （D） 答（ D ）a 03、设 在 的邻域内可导，且 ，则)(xf0 2)(lim00xfx（A） 是 的极小值； （B ） 是 的极大值； 0)(xf )(f)(f（C） 在 内单调增加；（D ） 在 内单调减少。答：（ B ）)(f0U0U4、 时， 是x1sinx（A）比 高阶的无穷小量 （B）比 低阶的无穷小量 x（C）与 同阶的无穷小量 （D）无穷
3、小量，但是其阶不能确定 答：（ D ）5、 存在的充要条件是00()limxfx（A） （B ） 在 点连续 ()f()fx0（C） （D ） 在 点可导 答：（ C ）0x三、求极限（每题 8 分，共 16 分）1、 )21ln(talim2si0xexx解、 = )l(tli2si0x 3sinsi02)1(lmxex= = = 30lix206co1ix、 2)(seclimnn22 222 1lim(sec)li(sec)li li() =ennn nnnn tata解 ： t t四、求解下列各题（每题 7 分，共 28 分）1、 设由方程组 确定了 是 的函数,求 。01ytexyx
4、02tdy1 ，对于 ，两边对 求导，2dtxt t0tyteyytedt1当 时， 0t10tdxy)(2yte2)1(yt dtxtedy/)1(22)(4yytetde把 ， 及 代入： 0t1y10dt 2021edxyt2、 求曲线 的凹凸区间和拐点 2x2 2)1(y2 分32)1(“xy令 得 以及 不存在的点 3 分0“y1x列表讨论如下: x)1,()0,()1,0( ),1(“y不存在 不存在无定义 无定义 曲线的凸区间为： (或 ) )1,0,( 1,0(,曲线的凹区间为： （或 ） )曲线的拐点为： , 20()()(),()21,),4,.xyxyfxfyydf 3.
5、设 函 数 由 方 程 所 确 定 且其 中 是 可 导 函 数 求 的 值解： 2()yfxyfxy 20,4,当 时 71)( )0(1)0( yyfyf4、设函数 由方程 所确定,求函数的极值点,并求极值。)(x1223xyy解设方程确定的函数 可导，那么极值点一定在驻点获得)(两边对 求导得： 02令 ，代入原方程得0yx1223x0)1(2(由 两边对 求导3yyx01“2)(“)(62 y把 ， ， 代入上式得1x01)(2y)(y所以 为极小值点，极小值为 1x1)(y五、证明题（16 分）(1、 2、两题可任选一题做)1、 arctnln(),(0)1x证 明 ： 22rtl(
6、) ln(1)-arct01ln()-arct+l()+0(),0,),1ln(-arcxxxFxxx F 证 明 ： 利 用 函 数 单 调 性 要 证 ， 即 要 证 （ ）设 （ ） =（ ）则 （ ）又 （ ） 在 点 连 续所 以 （ ） 在 单 调 增 ， F（ ） 所 以 时 ， （ ） ()=0即 （ ） t0l)xx即 （ ）3、 设 ，且 ，证明： , （7 分）1(lim0fx 0)(“xf0x时 xf)(证明 ：设 ，F)由 存在得 在 x=0 处连续， ， （由 ）(f(fx00()()lim()lixxfff1)(lim0xf从而得 0)lim1xff从而 ， (F
7、(， 1)f 0)(“)xfF得， 在 为单调增加函数，,)(F0所以 在 为单调增加函数， (x0即： f)（或者 由中值定理 ， ） x时 ()1()0()0xffxffx(), ().fxabafba4 .设 函 数 在 上 可 导 且 在 上 有证 明 在 内 有 仅 有 一 个 值 适 合证明：证法 1 内 连 续在上 可 导在则存 在 性 ： 设 ,),(),)( baxFfxF又 ，0)(af 0bf由零点定理知，在 内至少存在一点 ，使得),(ba0)(F)(f即在 内至少存在一点 ，,xf)(0)()( )(,.21 212 Fx xx即 有 两 个 不 等 的 实 根设 方 程唯 一 性 ： 反 证则 在 上 满 足 罗 尔 定 理 条 件 即 存 在 使 即 xf(),(,)()12 120这 与 矛 盾fx(),因 此 方 程 不 可 能 有 两 个 不 等 的 实 根 即 最 多 有 一 个 实 根, .21 212)()( )(.xfxf x，即 根倘 若 方 程 有 两 个 不 等 实：存 在 性 证 法由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 知 必 存 在适 合 ,(.)()(xffxfx122121这 与 矛 盾f故 方 程 至 多 有 一 个 实 根x().
