1、 第四章 微商与微分 第一节 微商的概念及其计算 2 2 1. (1,1) ( 2, 4) 2, ( 1 , 1 ) ,(2 , 4 ) (1) 2, ( 2) 4; 21 , 44 . 1, yxA B yx yx A B yy yxyx 求抛物线 在 点和 点的切线方程和法线方程。 解：函数 的导函数为 则它在 的切线斜率分别为于是由点斜式可以求得在这两点的切线方程分别为由于法线斜率与切线斜率的乘积为 故可以求得在这两点的法线斜 12 11 , 24 1319 ,. 2242 kk yxyx 率分别为； 那么由点斜式可以求得在这两点的法线方程分别为 2 1 2. , 2 (1) 1, 1
2、( 1,0.1,0.01); (2) 1 (1) 1 (1) 2 (1 1) 2 2 ; 1.21 (1 0.1) 1.1 2 1.0201 (1 0.01) 1.01 2 Sv tg t tt t t t Svg Sv g Svg Svg 若求 在 之间的平均速度 设 在 的瞬时速度。 解： 可以求得于是有1 2 3 (1 1) (1) 1.5 1 (1 0.1) (1) 1.05 ; 0.1 (1 0.01) (1) 1.005 0.01 (2) , (1) , 1 . SS vv g SS vv g SS vv g dS Sy g tSv g t v g dt 由于 于是 在 的瞬时速度
3、为3. ln (1) 1,(2) 2 3 1 ln ; 1 (1) 1, 1; (1) ln 1 0, (1 0) 1 111 (1) 2, ; (1) ln ln 2, (2 ln 2) 2 3. 22 yx yxyx yx y x yx y y x x yx y y x x 试确定曲线 在哪些点的切线平行于下列直线： 解：函数 的导函数为 令 可得 故曲线在点 ，的切线平行于直线 ； 令 可得 故曲线在点 ， 的切线平行于 2 22 2 000 2 0003 4 . () , , () 33 (3 ) (3) (3 ) 3 6 lim lim lim 6 (3 ) (3) (3 ) 3 3
4、 lim lim lim xxx xxx xx fx ab fx x ax b x fxf x xx xxx fxf axb a a x xx 设 试确定 的值，使 在 处可导。 解：可以求得 ； 令9 6, 39 0 6 6, 9. b x ab a ab 那么必有解得： 2 2 1 5. (1) , (2,1); (2) cos , (0,1). 4 (1) , ( 2) 1; 42 1 1. 1, 3 P x yP yxP xx yyPk y kP k yxyx 求下列曲线在指定点 的切线方程和法线方程。 解： 函数 的导函数为 则在 点的切线斜率为 由于同一点的切线与 法线相垂直，于是
5、法线斜率为 因此由点斜式可以求得在 点的切线与法线分别 为 .(2) cos sin , (0) 0; 1. 0. yx yxP ky Py x 函数 的导函数为 则在 点的切线斜率为 因此由点斜式 可以求得在 点的切线为由于在同一点的法线与切线相垂直,于是在此点的法线为 3 3 3 0 3 00 0 0 33 00 0 6. (1) ( )0 () ,0 ()( ) ( ) lim ()lim x x fx x xx fx x x xx fx x fx fx x xxx 求下列函数的导函数： 解： 那么对于 有R 32 233 00 0 0 0 223 2 00 0 0 0 33lim 33
6、lim 3 ; x x x xxxx xxx x xxxxx x x x 对于 有R 00 0 0 33 00 0 32 00 0 ()( ) ( ) lim () ()lim 3lim x x x fx x fx fx x xxx x xx 233 00 223 2 00 0 0 3 00 3 33lim 3 ; 0 (0 ) ( ) 0(0 0) lim lim x xx xx xxx x xxxxx x x x fxf x x f xx 当时 有 3 00 2 2 0, (0 ) ( ) 0(0 0) lim lim 0, (0) 0. 3 0( ) 3 xx fxf x x f xx
7、f xx fx xx 因此 综上可得 . 0 0 00 0 0 00 0 1 0 (2) ( ) 1 0 ()( ) ( ) lim () 1 (1 )limx x xx fx x x fx x fx fx x xxx x 解：对于 有R 0 0 00 0 0 00lim 1; ()( ) ( ) lim 11 0lim lim 0; x x xx x x x fx x fx fx x xx 对于 有当 R 00 00 0 (0 ) ( ) 1 1(0 0) lim lim 1, (0 ) ( ) 1 1(0 0) lim lim 0, (0) .xx xx x fxf x x f xx fx
8、f x f xx f 时有 因此 不存在 综上可得 1 0( ) . 0 0 x fx x 00 1 sin 0 7. ( ) ,( ). 0 0 (1) ( ) 0(2) ( ) 0(3) ( ) 0 11 (1) sin 1 lim ( ) lim sin 0 (0). m m xx xx fx m x x mf x x mf x x mf x x mf xxfm xx 设函数 为正整数 试问： 等于何值时, 在 点连续； 等于何值时, 在 点可导； 等于何值时, 在 点连续. 解：由于 有界,故当 时,有 于是当 1 000 1 00 1( ) 0 1 sin 0 (0 ) (0) 1(
9、2) lim lim lim sin , 1 1 (0 ) (0) 1 lim lim sin 0 2( ) 0(3) 2, 0 ( m m xxx m xx fx x x fxf x xm xxx fxf x xx mf xx mxf 时在 点连续。 显然当 时有； 即当 时 在 点可导。 设当时 , 12 12 00 12 00 0 11 )s i nc o s .2 11 lim( sin ) 0, lim( cos 11 2 lim( sin ) 0,lim( cos ) 0 lim (0) 0 (0), 3 ( ) 0 mm mm xx mm xx x xm x x m xx mx
10、x xx mm x x ffm xx fxx 当时)不存在； 当 时 ，故此时有 即当 时 在 点连续。 8. (0) (0) 0, 1 () s i n 0( ) ; 0 0 (0). ()( 0 ) 1 (0) 0 ( 0) sin ( 0) (0) 0gg gx x fx x x f gxg gxx xx g 设 求 解：由于 ，可知 是无穷小量，而 是有界函数； 又因为 ，于是有 000 0 1 () s i n 0 (0 ) (0) ( ) (0) 1lim lim lim sin 0 (0 ) (0) (0) lim 0. xxx x gx fxf gxg x xxxx fxf f
11、 x 即 0 00 0 0 0000 0 0 00 00 0 9. ( ) ()() lim ( ). 2 ( ) () () ( ) ( ) lim lim ( ). ()() lim 2 x xx x fx fx x fx x fx x fx x fx fx fx x fxf x xx fx x fx x x 证明：若 存在，则证明：由于 存在，那么 于是有0000 0 0000 0 0000 00 ( ) () () ( ) 1 lim 2 ( ) () () ( ) 1 lim 2 ()( )( )() 1 lim lim 2 x x xx fx x fx fx fx x x fx x
12、 fx fx fx x xx fx x fx fx fx x xx 000 00 0 0 1 ( ) ( ) ( ). 2 ()() lim ( ). 2 x fx fx fx fx x fx x fx x 因此有 12 12 12 000 0 1 0 .() (,) ,(,) , ()( ) ( ) , (0) 1, ( , ), ( ) ( ). () 0 , () () 0 (,) , ()0 , () ( fx xx fxx fxfx fxf x f x fx fx fx xf xf x f x 设 是定义在 上的函数，且对任意 有若 证明对任意 有 证明：若 那么显然有 成立。若存在
13、 使得 那么 0 00 0) ( ) (0), (0) 1. (,) , ( ) () ()( ) () ( )1 () . (,) , ()( ) ( ) 1 ( ) lim lim ( )xx fxf f x fxxfxfxfxfx fx fx xxx x fx x fx fx fx fx xx 于是有 那么对于任意 有于是对于任意 有00 ()1 ( 0 )( 0 )( ) lim ( ) lim( ) (0) ( ). xx fx f xf fx fx xx fxf fx 0 0 11. ( ) ( ) (0) 0. 9 (0 ) (0 ) (0) lim ; 2 () ( ) ( )
14、 , ( 0 ) ( 0 ) , (0 ) (0 ) (0) lim 2 x x fx fx f fxfx f x fx fx f x f x f x fxfx f 设 是偶函数，且 存在，证明： 证明：由第 题可以知道由于函数 是偶函数，因此有 即 那么0 0 lim 0. 2 x xx 即得证。 00 0 0000 0 00 00 0 0 12. ( ) ( ) 3, ( ). ( ) 3 ()( )( )() ( ) lim lim 3. () () ( ) ( ) lim xx x fx fx f x fx fx x fx fx fx x fx xx fx fxxfx fx x 设 是
15、奇函数，且 求 解：由 知由函数 是奇函数可以知道00 0 00 0 () ( ) lim () ( ) lim 3 x x fx x fx x fx fx x x 0 0 13. () ()( ) ( ) lim () ( ) lim x x fx fx x fx fx x fx fx x x 用定义证明：可导的偶函数的导数是奇函数，可导的奇函数的导数是偶函数。 证明：设 是可导的偶函数，那么有0 0 ()( ) lim ()( ) lim ( ) () () ( ) l x x fxfxx x f xxfx x fx fx gx gx 即可导的偶函数 的导数是奇函数。设 是可导的奇函数，那么有0 0 0 0 ()( ) im () ( ) lim ()( ) lim ()( ) lim x x x x gx x gx x gx gx x x gx gxx x gxxgx x ( ) () gx gx 即可导的奇函数 的导数是偶函数。14.求下列函数的导数： 22 (1) sin 2 sin cos . yxx yxxxx 解： 2 (2) cos 3 cos sin 6 y xxx y xxxx 解：
