1、 学院 数 计 出卷教师 王 岑 系主任签名 制卷份数 专 业 班级编号 江汉大学 20132014 学年第 二 学期 考 试 试 卷 课程编号： 410801009 课程名称： 概率论与数理统计（理） 试卷类型：A 、B 卷 考试形式：开 、闭 卷 考试时间： 120 分钟 题号 一 二 三 四 五 总分 总分人 得 分 得分 评分人 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题 3分，共 15分） 1 若事件 、 A B有B A ， 则下列命题中正确的是 ( ) () A A与B必同时发生； 发生， () B A B必发生； () C A不发生，B必不发生； () D A不发生，B必发生 2一种
2、零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 p，第二道工序的废品率为 ， 则该零件加工的成品率为 ( ) q() A 1 p q ; () B 1 pq ； () C (1 ) (1 ) p q ； () D 1 p qp q 3.设函数 0, 0 () ,0 2 2 0, 2 x x Fx x x ， 则以下结论成立的是 ( ) () A () F x 不是随机变量的分布函数； () B () F x 是随机变量的分布函数； () C () F x 是离散型随机变量的分布函数； () D () F x 是连续型随机变量的分布函数. 4. 设X (1, 4) N ， 则 的方差 (2 )
3、/ YX 5 () D Y ( ) () A 16 25 ； () B 4 25 ； () C 8 25 ； () D 2 25 . 5. 设 12 , 3 X XX 是取自总体X 的样本， 2 () ,() EX DX ，在如下 12 , 3 X XX 的线性组 合中作为 的无偏估计量中最为有效的估计量是 ( ) () A 123 ( 1 3 ) X XX ； () B 12 ( 1 2 ) X X ； () C 12 121 636 3 X XX ； () D 12 5 22 999 3 X XX 二、填空题（本大题共5小题，每小题 3分，共 15分） 1. 设 ，PB () PA a (
4、)b ，PA ，则 () B c () PAB . 2. 设随机变量X 的分布律为 0123 0.1 0.3 0.4 0.2 X P () ， F x 为其分 布函数，则 (2) F . 得分 评分人 1 3. 一批机器零件共有 100 件，其中有 5 件次品，从中抽取 20 件，每次抽 1 件，设X 表示其 中包含的次品数， 如果抽取后放回， 则X 的分布律为 . 4. 设随机变量X 的数学期望 () EX 及方差 2 () DX ，由切比雪夫(Chebyshev)不等式 可估计 | 10 PX | 5. Z 检验和 检验都是关于 t 的假设检验. 当 已知时，用Z 检验； 当 未知时，用
5、检验. t三、计算题（本大题共7小题，每题10分，共70分） 1. 一学生接连参加同一课程的两次考试. 第一次及格的概率为 p，若 第一次及格则第二次及格的概率也为 p；若第一次不及格则第二次及 格的概率为 2 p . （1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他 取得该资格的概率. （2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率. 得分 评分人 2. 设随机变量X 在区间（0，1）服从均匀分布，求 2ln YX 的概率密度. 2 3. 设随机变量(,) X Y 的概率密度为 (6 ), 0 2,2 4 (,) 0, kxyx y fxy 其他 . （1）确定常数 ；（2）求 . k 4
6、 PX Y 4. 当随机变量 , X Y 的协方差 (,) () ()()0 Cov X Y E XY E X E Y 时， 称X 和Y 不相关. 设 二维随机变量(,) X Y 的分布律为 X Y 1 0 1 j P 1 1 81 81 80 1 80 1 81 1 81 81 8i P （1）在表中求边缘分布律，并判断 , X Y 是否相互独立. （2）判断 , X Y 是否相关. 5. 某种小汽车氧化氮的排放量的数学期望为 0.9g/km，标准差为 1.9g/km，某汽车公司有这 种小汽车 100 辆，以X 表示这些车辆氧化氮排放量的算术平均. 利用中心极限定理，求当 为何值时， L X
7、 L 的概率不超过 0 .01 . （ ） (2.33) 0.9 93 4 X 具有概率密度 2 1 ,0 () 0, 0 x xe x fx x ， 其中 0 12 , n 为未知参数，X 6. 设总体 XX 是来自X 的样本， 12 , n xx x 是相应的样本观察值. （1）求 的最大似然估计量. （2）试判断求得的估计量是否是无偏估计量. 7. 某种导线，正常生产时其电阻的标准差为 0.005 ，今在生产的一批导线中取样品 9 根， 测得 ，设总体为正态分布，参数均未知. 问在显著性水平 0.007 s 0.05 下能否认为这 批导线的标准差正常？ ( ) 22 0.025 .180
8、, ( 0.975 (8) 2 8) 17.534 江汉大学 20132014 学年第 二 学期 试卷评分参考答案（A卷） 课程编号： 410801009 课程名称： 概率论与数理统计（理） 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题 3分，共 15分） C D A B A 二、填空题（本大题共5小题，每小题 3分，共 15分） 1.cb 2. 0.8 3. 20 20 (0.05) (0.95) , 0,1, , 20 kkk PX k C k 4. 0.99 5. 均值 ，方差 2 ，方差 2 三、计算题（本大题共7小题，每题10分，共70分） 1解：（1）设事件 为“该生取得资格”；事件 为
9、“该生第一次及格”，事件 C A B为“该 生第二次及格”，则 . 显然 ( PC) ( ) () ( ) PA B PA P PA B () B , A A构成样本空间 S的 一个划分. 由题意，有 (),()1,(|),(|) 2 p PA p PA p PBA p PBA ，故由全概率公式 有 2 2 () (|)() (|)() ( ) 22 1 p pp PB PBAP PBAPA p A p ； 2 ( ) (|)() PA B PBAPA p ，故 22 2 3 () 22 ppp PC p p p . 6分 （2） 2 2 (),() 2 p p PA B p PB ，故 2
10、2 () 2 (|) () ( ) /2 1 PA B p p PAB PB p p p . 注：（1）中也可用()( )()( 1 2 p PA B PA PA B p p ) 直接求解. 1 0分 X 的概率密度为 1, 0 1 () 0, x fx 其他 ，分别记 , X Y 的分布函数为 () , () XY F xFy . 2解： 先求 () Y F y ，因01 时， ，故当 X 0 Y 0 y 时, ()0 Y Fy , 从而 . 3分 ()0 Y fy 当 时, . 0 y /2 /2 () 2 l n 1 ( ) yy Y X FyPYy P XyPXe Fe /2 /2 /
11、2 1 ,0 1 () () ( ) ( ) 2 2 0, y yy YYX ey fyFy fe e 其他 . 1 0分 注：也可使用定理直接求解. 3解：（1）由 (,) 1 f x y dxdy ，得 42 4 24 2 20 2 1 ( 6 ) (1 2 2 2 ) (1 0 ) | 8 dy k x y dx k y dy k y y k ，所以 1 8 k . 5分 （2） 44 20 4 1 4 ( , ) ( 6 8 y xy P X Y f x y dxdy dy x y dx ) 4 2 2 11 2(4 ) (4 ) 82 yy d y 2 3 . 1 0分 4. 解：（
12、1）先求出边缘分布律如下： X 1 0 1 i P 3 82 83 8Y 1 0 1 j P 3 82 83 8易见 ，故 0 ,0 00 0 PX Y PX PY , X Y 不是相互独立的. 5分 （2） , X Y 有相同的分布律，且有 33 () ()(1 ) 1 0 88 EX EY . 33 11 111 () (1 )( 1 ) ( 1 )11( 1 ) 11 888 iji j ij EX Y xyp 1 0 8 ) ， 即有 ()()( E XY E X E Y ，故 , X Y 是不相关的. 10分 5解：设一 表示第 i辆小汽车氧化氮的排放量，则 ( 1, 2, ,100
13、) i Xi 100 1 1 100 i i X X . 由已知条件 得 2 ( ) 0.9, ( ) 1.9 ii EX DX 2 1.9 ()0 . 9 ,() 100 EX DX . 各辆汽车氧化氮的排放量相互独立， 故可认为有 2 1.9 (0.9, ) 100 XN 近似地 . 4分 需要计算的是满足 0.01 PX L 的最小值 . 由中心极限定理 L 0.9 0.9 0 . 0 0.19 0.19 XL PX L P 1 L . 为满足 0.9 1( 0 . 0 0.19 L 1 的最小值，即 0.9 ( 0.99 (2.33) 0.19 L ，即 0.9 2.33 0.19 L
14、 ，故 ，应取 g/km . 1.3427 L 1.3427 L 10 分 6解： （1）当 时，似然函数 0 i x 1, 2, , i n 1 2 1 1 () n i i x n i n i Lx e ， 1 1 ln ( ) 2 ln ln n i i x n i i Lnx e ，令 1 2 ln ( ) 2 0 n i i x dL n d ，解 得 的最大似然估计量 为 2 X 6分 2 . （ ）因为 1 12 () () 22 2 n i i Xn EE X nn ，所以最大似然估计量是无偏估计量. 1 0分 解：本题要求在显著性水平 下检验假设 0 00 1 : 0.005, : HH 0.05 7 . 用 2 检验，取检验统计量为 2 2 s 2 0 (1 ) n . 今 9 n ， 22 ， 0.05 0.007 s ，拒绝域 为 或 分 算可得 22 0.975 (8) 22 代入数据计 0.025 (8) . 6 22 2 80 . 0 0 7 15.68 17.534 ，在拒绝域外，故接受假 22 0 (1 ) 0.005 ns 设 0 H ，可以认为这 10分 批导线的标准差正常.
