1、数学工具 傅里叶级数及傅里叶变换,傅里叶级数 傅里叶积分和傅里叶变换,傅里叶级数（傅氏级数）,周期为T的任一周期函数 ，若满足下列狄里赫莱条件： 在一个周期内只有有限个不连续点； 在一个周期内只有有限个极大值和极小值； 积分 存在，则 可展开为如下的傅氏级数：,周期函数的傅氏级数是由正弦和余弦项组成的三角级数。,式中，,式中 称为角频率,周期函数 的傅氏级数写为复数形式（或指数形式）为：,式中，,注意，对于非周期函数，不能直接用傅氏级数展开式。,傅里叶积分和傅里叶变换,（2-7）,（2-6）,对于非周期函数 ，可将它视为周期T趋于无穷大，角频率 趋于零的周期函数。 设两个相邻的谐波频率之差为
2、，则,令 则非周期函数的傅氏级数可表示为：,当 时， ，将式（2-7）代入式（2-6）可得：,非周期函数的傅氏积分,式中，若令,则，,数学工具 拉普拉氏变换及其应用,1、拉氏变换的定义 2、常用时间函数的拉氏变换 3、拉氏变换的基本性质 4、拉氏反变换 5、用拉氏变换法求解微分方程,（Laplace）,变换是数学中经常采用的技巧，比如，在初等数学中的对数变换，已知,对x取对数变换，即令 ，则有为,利用对数变换，我们可以将正数的乘、除运算变为对数的加、减运算。 例：,对数变换,复变量和复变函数复变量：其中： 和 为实变量， 为虚单位，有复变函数：自变量s为复变量； 的函数值一般也是复数,拉普拉氏
3、变换简称拉氏变换，它是一种函数变换，可以将时域内的实变函数变换为一个以s变量的复变函数。,拉氏变换,设 是分段连续的时间函数，当t0时，有，若无穷积分 收敛，则可得到一个以s为变量的新函数，记为 ，即：上式称为Laplace变换的定义式，简记为：其中：,一、拉氏变换的定义,，为复变量,为需要变换的函数，称为原函数；为变换后所得的函数，称为 的拉普拉氏变换，或称为象函数；Laplace变换为单值变换，即 和 有一一对应的关系。,二、常用时间函数的拉氏变换(1) 指数函数(2) 阶跃函数(3) 斜坡函数(4) 正弦函数(5) 脉冲函数,的拉氏变换 。,可求得， 的拉氏变换为：,例1、求指数函数,注
4、意：为使积分收敛，这里假设(a-s)的实部小于零,当,解：由拉氏变换的定义式有：,变量置换法,时，有,易知：,同理可得指数函数,注意：为使积分收敛，这里假设(s+a)的实部大于零，但求出F(s)后，除F(s)的极点外，在整个s平面上均成立复变函数的解析连续性,的拉氏变换,例2、 求阶跃函数,注意：A=1，称为单位阶跃函数，记为1(t)，且有,f(t),A,0,t,的拉氏变换。,解：由拉氏变换定义式有：,例3、斜坡函数的拉氏变换,f(t),t,0,A,1,注意：A=1，称其为单位斜坡函数。,斜坡函数的拉氏变换为：,求斜坡函数的拉氏变换,于是：,由,可得,例4、正弦、余弦函数显然，直接求取并不明智
5、。由尤拉定理有：,脉冲函数：,f(t),0,t,脉冲函数的拉氏变换为：,注意：A=1，称其为单位脉冲函数，记为,表2-3 常用函数的Laplace变换对照表,1、性线定理,（1）比例性,（2）叠加性,三、拉氏变换的基本定理,2、微分定理原函数的导数的拉氏变换为： 一阶导：式中，f(0)是f(t)在t=0时刻的初始值。 二阶导：n阶导：,当,即零初始条件下，有：,3、积分定理f(t)先积分再取拉氏变换，由积分定理有：,式中， 在0时刻的初始值。, 初始条件为零时，有：,时域内的平移相当于复域中乘以一个衰减指数,时域函数平移：,0,4、延迟定理 （时域平移定理）,5. 衰减定理（复域平移定理）与
6、相乘 取拉氏变换，由衰减定理有：例6、f(t)与衰减指数相乘后时行拉氏变换，相当于复域内向左平移，即将F(s)中的所有s用(s+a)替代,假定f(t)和df(t)/dt都可以进行拉氏变换， 存在，并且F(s)的无右半s平面的极点，则有：,注意：若 时，f(t)极限 不存在，也就不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。时域函数的终值（稳态值），可由象函数求出。,6、终值定理,假定 f(t) 和 df(t)/dt 可以进行拉氏变换， 存在，则有：,用象函数可求出原函数在0+时刻的初始值。,7、初值定理,8、卷积定理,即，两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。,例（1）f
7、(t)的拉氏变换为 ，应用终值定理求f(t)的终值。（2）已知 ，应用初值定理求 的值。,解：（1）由终值定理有：,（2）由初值定理有：,由微分定理有：,定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为 拉氏反变换的定义式为：式中，C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。,四、拉氏反变换,对于连续的时间函数来说，它与它的拉普拉斯变换之间保持一一对应关系。,一一对应,f(t) F(s),直接按定义式求原函数太过复杂！ 求取拉普拉斯反变换的基本方法是，将复杂的F(s)展开成很多简单项之和，分别求取简单项的拉普拉斯反变换，再叠加得到f(t)。,我们遇到的F(s)通常是有理分式。若
8、F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将它展开成部分分式之和。这些部分分式的拉氏变换通常可以在表中查到。也就是：,设,下面分三种情况讨论： （1）A(s)=0全部为单根，此时 可以表示：,其中： 为n个不互不相等的单根；为待定系数 ，由留数定理可确定各项系数 。,留数定理：,称为极点 所对应的留数，,方程两边取拉氏反变换，可得：,若,例8、,由留数定理可得：,两边取拉氏反变换可得：,则可将 展开以下形式：,（2）A(s)=0有r阶重根若：,其中，单根所对应的留数求法同上，重根所对应的留数为：,重根所对应的留数为：,两边取拉氏反变换，查拉氏变换表可得：,例9、 求 的反变换。,解：,由留数定理
9、可得：,*例10最后一项用到频域平移性质。,（3）A(s)=0有共轭复数根若A(s)有共轭复数极点 ，其余为单根，则F(s)可展开为：,利用实部和虚部相等联立求解，可得A1、A2的值，当然也可用待定系数法求A1、A2的值。,其中，单根所对应的留数求法同上，A1、A2可按下式求得：,拉氏反变换中，会用到如下变换对：,上述变换对中，分母的根均为共轭复数根的形式，其对应的拉氏反变换均为正弦、余弦的形式。,例：求,的原函数。,解：易知,，F(s)可展开为：,五、用拉氏变换法求解线性微分方程,方法： （1）对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，将线性微分方程变为以 s为变量的代数方程，然后整理代数方程，得到有关输出变量拉氏变换的表达式； （2）进行拉氏反变换，可以得到线性微分方程的解。,例11 求解,查拉氏变换对照表,
