1、计算流体力学电子教案,目录,第一章 绪论 第二章 扩散问题的有限体积法 第三章 对流扩散问题的有限体积法 第四章 差分格式问题 第五章 压力-速度耦合问题的有限体积法 第六章 有限体积法离散方程的解法 第七章 非稳态流动问题的有限体积法 第八章 边界条件处理,第二章 扩散问题的有限体积法,2-1一维稳态扩散问题的FVM计算格式 2-2 多维稳态扩散问题的FVM求解,预备知识：高斯公式(奥氏公式）,或：,写出一维条件下的奥氏公式,通用变量方程,瞬态扩散方程,稳态扩散方程,瞬态对流扩散方程,稳态对流扩散方程,压力速度耦合方程,非定常项 对流项 扩散项 源项,2-1 一维稳态扩散问题的FVM计算格式
2、,由通用变量方程得稳态扩散方程为：,2-1-1一维稳态扩散方程,将上式按张量运算法则展开得：,由上式得一维条件下的稳态扩散方程：,上式中, 为通用变量，可为温度、速度等变量； 为扩散系数或粘性系数，S为源项。,2-1-2 求解一维稳态扩散问题的步骤,第一步 生成离散网格 第二步 由控制方程(积分形式)形成离散方程组 第三步 求解方程组,第一步：生成离散网格,控制体的划分 （先划分控制体后定节点,节点在控制体中心）,相关的尺寸定义,（约定：大写字母代表节点，小写字母代表边界。）,第二步：由控制方程(积分形式)形成离散方程组,一维稳态扩散控制方程为：,将此控制方程在某控制体上积分:,则由奥氏公式或
3、高斯散度定理有：,式中，控制体的体积为V， 全部表面积为A，源项在控制体中的平均值为S,上式有明确的物理意义：场变量的净增扩散量（即自西侧界面流入的扩散流量减去东侧界面流出的扩散流量）等于源项产生的扩散流量。,积分方程中的下标e、w表示控制体的界面（不是节点处），意味着我们需要知道扩散系数 _和场变量 的梯度在控制体东西边界上的值。这些值可由节点处的值插值得到。若采用线性插值(近似处理)，对于均匀网格有：,同理，有：,于是，通过界面的扩散流量为,接下来处理源项，源项可能为常数，也可能为场变量的函数，对其进行线性化处理，得：,将以上三式代入积分后的控制方程（即下式）中,将上式按场变量的节点值进行
4、整理，得：,令,得离散方程：,对于每一个节点（控制体）都可建立一个离散方程，所有节点的离散方程构成一个方程组。,由上式形成的方程组是三元一次的线性方程组，该方程的特点是具有三条对角线，故称为三对角线性方程。 目前可暂用matlab中Ab语句求解（高斯消元法）。下面用两个例题说明有限体积法如何求一维稳态扩散问题。,第三步：解方程组,例2.1用有限体积法求解无热源一维稳态导热问题 图示绝热棒长0.5m，截面积A=10-2m2 ，左右端温度保持为TA=100C， TB=500C 。棒材料导热系数k=1000W/(m K) 。求绝热棒在稳定状态下的温度分布。,解：本问题的控制微分方程为,可将此式与（2
5、-1）式比较,可采用三步求解方法。,第一步：生成离散网格（先控制体后节点）,生成5个单元,（本问题有解析解）,第二步：构造离散方程,对求解域中的2、3、4节点应用离散方程(2-8),因,故有：,式中：,由此得到3个方程,对于2号控制体,对于3号控制体,对于4号控制体,5个未知数，3个方程。可见不引入边界条件是没法求解的,对求解域中的边界节点1、5的离散方程需作特殊处理。方法仍然是对微分方程在边界控制体内积分。微分方程为：,上式在左边界控制体上积分，得：,即,在上述过程中有一假定：认为A点的温度梯度dT/dx与A点和1点的温度线性相关,将（2-12）式按节点温度整理得：,将上式与（2-8）式对照
6、,可知，边界条件可以转化成源项进入控制容积积分方程。即左边界的离散方程可以写成：,式中,同理可对右边界控制体进行处理，得,式中,式中,根据以上过程可以得到左右边界控制体的离散方程：,右端控制体,左端控制体,TA=100C， TB=500C,第三步 解线性方程组,本问题的解析解为：T=800x+100,例2.2用有限体积法求解有内热源一维稳态导热问题 图示厚度为L=2cm的无限大平板，导热系数k=0.5W/(m K) ，板内有均匀内热源q=1000kW/m3,表面温度A、B分别保持为TA=100C， TB=200C 。求板内x向的温度分布。,解：由于板在y、z方向为无限大，因此可作为一维问题处理
7、，即只考虑x方向。相对于无源问题，控制方程中增加了源项。即,第一步：生成离散网格（先控制体后节点）,生成5个单元,第二步：构造离散方程 方法一：可以直接套用公式(2-8) ，但边界节点需特殊处理。,式中,注：,方法二：也可通过对控制方程的积分推导出离散方程，同例2.1的过程，以下用方法求离散方程。,由于,有,厚度L=2cm，导热系数k=0.5W/(m K) ，板内均匀内热源q=1000kW/m3,表面温度A、B分别保持为TA=100C， TB=200C 。求板内x向的温度分布。,由 得控制体2、3、4、1、5的离散方程为,（打一4个字母的英文单词）,2-2 多维稳态扩散问题的FVM求解,2-2
8、-1二维稳态扩散问题的有限体积法,第一步：生成离散网格,由通用变量方程得稳态扩散方程为：,将上式按张量运算法则展开得：,由上式得二维条件下的稳态扩散方程：,下面，对上式在控制体上进行积分,第二步：构造离散方程,控制微分方程在控制体上积分：,应用高斯散度定理：,式中：S为控制体表面，、为S上任一微小表面的外法线与xyz轴的夹角积分上式得：,用线性插值方法，可将上式第一四项中的偏导数表示为：,将以上四项的表达式代入积分方程，得：,并对源项进行线性化处理，即：,整理得：,写成通用形式,通用离散方程:,式中：,第三步：求解离散方程组,以下以一个例子说明二维稳态扩散问题的有限体积法求解,例2.3如图所示
9、二维受热平板，板厚1cm，材料热传导系数k=1000W/(m.K) ，西侧边界有稳定热流输入，热流强度q=500kW/m2。东侧和南侧边界绝热，北侧边界保持常值温度TN=100C。求板内温度分布。（注意本题中q的量纲与例2-2中的q不同）,解：划分网格如图，x=y=0.1m 。控制微分方程为：,离散方程：,上式中：,以上离散方程式可以处理6、7控制体。 对于边界控制体不能直接处理。,对于控制体6、7有：,对于边界控制体，可由控制积分方 程得到离散方程。,以下以第4控制体为例，说明离散方程的建立过程。 先介绍传热问题中的一个定律。,傅立叶定律：热传导的速率与温度梯度以及垂直于热流方向的表面积成正
10、比。,式中 dQ 热传导速率，W或J/s；dA 等温表面的面积，m2； 温度梯度，/m或K/m；l 导热系数，W/(m)或W/(mK)。负号表示热流方向与温度梯度的方向相反。,数学表达式:,由上式得:,（可见热流强度q的单位为W/m2 。）,在研究区域内无热源，S=0，故有：,由傅立叶定律,又:,整理得离散方程：,同理得其它边界控制体的离散方程（对于绝热边界 q=0）。这些方程构成了一个线性方程组。解之，得 板内温度分布。,从计算结果可以看出温度分布有什么特点？,%本程序用于绘制李人宪有限体积法p26例2.3等温线 x=0.05 0.05 0.05 0.05 0.15 0.15 0.15 0.
11、15 0.25 0.25 0.25 0.25; y=0.05 0.15 0.25 0.35 0.05 0.15 0.25 0.35 0.05 0.15 0.25 0.35; T=260 242.2 205.6 146.3 222.7 211.1 178.1 129.7 212.1 196.5 166.2 124; lx=0:0.01:0.3;ly=0:0.01:0.4; X,Y=meshgrid(lx,ly); Z=griddata(x,y,T,X,Y); cs,h=contour(X,Y,Z,110:10:270,b-); clabel(cs,h,manual);,matlab程序,2-2-2三维稳态扩散问题的有限体积法,三维稳态扩散问题的微分控制方程：,在三维控制体内对方程积分，,应用高斯公式，有：,对偏导项进行近似处理，如,（只有对内部控制体才如此）,式中：,由此可得离散方程：,本章内容结束本章习题：P34 2-1，2-2，2-5,
