1、二次函数综合题（一题八问）如图，已知抛物线 y= x2+bx+4 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，若已知 A点的坐标为 A（2，0） （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点 C 的坐标，连接 AC、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式；（3）试判断AOC 与COB 是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由（5）在抛物线的对称轴上是否存在点 M，使BCM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的 M 点坐标；若不存在，请说明理由（6）在抛物线的对称轴上是否存在点
2、 P，使 PA+PC 最小？若存在，求出符合条件的 P 点坐标；若不存在，请说明理由（7）在第一象限内的抛物线上是否存在点 N，使得BCN 的面积最大？若存在，求出符合条件的 N 点坐标；若不存在，请说明理由（8）若点 D 在抛物线上，点 E 在对称轴上，以 O、B 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标。解：（1）抛物线 y= x2+bx+4 的图象经过点 A（2，0） ， （2） 2+b（ 2）+4=0 ，解得：b= ，抛物线解析式为 y= x2+ x+4，又 y= x2+ x+4= （x3） 2+ ，对称轴方程为：x=3 （2）在 y= x2+ x+4 中，令 x=0，
3、得 y=4，C （0，4） ；令 y=0，即 x2+ x+4=0，整理得 x26x16=0，解得：x=8 或 x=2，A（ 2， 0） ，B（8，0） 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，把 B（8，0） ，C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得 k= ，b=4 ，直线 BC 的解析式为：y= x+4（3）可判定AOC COB 成立理由如下：在AOC 与COB 中，OA=2，OC=4，OB=8 ， ，又AOC=BOC=90，AOCCOB（4）抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点 Q（3，t） ，则可求得：AC= = = ，AQ= = ，CQ= = i）当 AQ=CQ 时，有 = ，25+t2=t28t+16+9，解得 t=0，Q1（3 ，0） ；ii）当 AC=AQ 时，有 = ，t2=5，此方程无实数根，此时 ACQ 不能构成等腰三角形；iii）当 AC=CQ 时，有 = ，整理得：t 28t+5=0，解得：t=4 ，点 Q 坐标为：Q 2（3，4+ ） ，Q 3（3，4 ） 综上所述，存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形，点 Q 的坐标为： Q1（3，0） ，Q 2（3，4+） ，Q 3（3，4 ） (5)M(3,10),M(3,2 )19(6)P(3,2.5)(7)N(4,6)(8)D(11,-9.75),D(-5,-9.75)
