1、3.3 非正态总体参数的假设检验和非参数检验,1. 非正态总体大样本检验（ n充分大）,设 X1, X2, Xn为取自总体的一个样本,总体均值未知，考虑假设检验,若样本容量充分大，当总体方差已知时，可取统计量 ，当n充分大（ ） 时，U近似服从标准正态分布，故问题归结为u检验。,若样本容量充分大，且总体方差未知时，可取统计量 ，当n充分大（一般要求 ）时，U近似服从标准正态分布，故问题也归结为u检验。,例1. 今从总体抽得样本容量为150的样本，算得 试在水平0.05下检验假设,例2.（伯努利分布总体的参数检验） 某厂产品的不合格率通常为5%。厂方希望知道原料产地的影响是否会对产品的质量产生显
2、著影响，今随机地从一批产品中抽取100个，发现7个不合格品，试问厂方可以得出什么结论？（=0.05）,2. 指数分布总体的参数检验,设总体X服从参数为的指数分布，又设 X1, X2, Xn为取自总体的一个样本。则当 成立时，有,故指数分布总体参数检验归结为卡方检验,非参数假设检验,检验步骤和参数检验的步骤一样，较多地利用近似分布，故解决非参数问题时，通常取较大的样本容量。,非参数检验的主要思想方法,主要根据：若原假设H0成立，则当n充分大时，经验分布函数与总体分布函数不应相差太大。其余的步骤和参数检验时一样。,皮尔逊 拟合检验,设总体X为仅取r个可能值的离散随机变量，设其分布列为,设 X1,
3、X2, Xn为取自总体的一个样本， 为样本值，,表示 中取值为ai的个数，则,均为样本的函数，且,服从多项分布。,由大数定律知，当n充分大时，频数ni与理论频数npi越来越小。故ni与npi之间的差异可以反映出概率分布 是否为总体的真实分布。令,称上述统计量为皮尔逊统计量。,定理（皮尔逊定理）设总体的真实分布为 ，则有,由上述定理，当样本容量较大时，统计量 近似服从自由度为r-1的卡方分布。,从而对假设H0： 的检验转化为卡方检验。对给定的显著性水平，则拒绝域为,通过把样本值代入上述统计量，最终判断接受或拒绝原假设H0。,无双侧拒绝域！,实际上，还可以用皮尔逊统计量检验任意的一个总体是否具有某
4、个指定的分布函数 。,若我们要检验假设,可选取r-1个不相等的实数,把实数轴分成r个区间，令,记ni为样本值落入第i个区间中的个数，则如前所示，当,成立时，由皮尔逊定理，统计量,其中的 是将F0代替F所得的pi值。,在上面的讨论中，F0完全确定，它不含任何位置参数。如果要检验总体的分布类型，此时F0可能含有未知参数，上述方法不再适用。此时若要检验假设 ，由于 未知，故上述检验法不能直接使用，于是可以用估计量（极大似然估计）来代替未知参数。,此时的统计量为,当n充分大时，上述统计量近似服从自由度为r-m-1的卡方分布。其中的 是把 换成极大似然估计 后算出的 。,分布拟合检验还可用来检验随机变量
5、之间的独立性。,假设有一个二维总体(X,Y)。将X和Y的取值范围分别分成r个和q个互不相交的区间A1,A2,Ar和B1,B2,Bq。从总体抽取一个容量为n的样本(x1,y1),(xn,yn),令nij表示样本值中x落入Ai，y落入Bj的个数。,记,则有,故要检验X和Y独立，即是检验,由前易知，pi.和p.j中有r+q-2个独立未知参数。,从而，可用统计量,其中的 和 为H0成立的条件下pi.和p.j的极大似然估计。,由前面的讨论知，当n充分大时，上述统计量近似服从自由度为(r-1)(q-1)的卡方分布。,上述讨论对离散情形和连续情形均适用。,皮尔逊检验法的优点：应用范围广，不论总体是离散还是连续，一维还是多维均适用。,缺点：由于采用分组处理样本，实际上检验的只是若干特殊点的值，这就导致很可能犯第二类错误（取伪错误）。,2. Kolmogorov检验法,出发点：考虑经验分布函数 和原假设 成立时总体分布函数之间偏差的最大值。,Kolmogorov考虑如下统计量,当原假设成立时，上述统计量的值不应太大，若偏差太大，有理由怀疑假设的真实性。,由 的单调性，只需在n个点 寻找偏差的上确界。故,对于给定的显著性水平，可以通过查表确定拒绝域.,Kolmogorov检验法要求 完全确定，即不含任何待估参数。,与皮尔逊检验法相比，K检验更精确，但适用范围较小。,
