1、数学方法在物理学中的应用（一）物理学中的数学方法是物理思维和数学思维高度融合的产物,借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性,能达到打通关卡、快速简捷地解决问题的目的。高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用,借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。可以说任何物理试题的求解过程实质上都是一个将物理问题转化为数学问题,然后经过求解再次还原为物理结论的过程。复习中应加强基本的运算能力的培养,同时要注意三角函数的运用,对于图象的运用要重视从图象中获取信息能力的培养与训练。在解决带电粒子运动的问题时,要注意几何知识、参数方程等数学方法的应用。在解决力学问题时,要注意极值法、微
2、元法、数列法、分类讨论法等数学方法的应用。一、极值法数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等。1利用三角函数求极值yacos bsin ( + )2+22+2cos 2+2sin令 sin ，cos 2+2 2+2则有：y (sin cos cos sin )2+2 sin ( )2+2所以当 时，y 有最大值，且 ymax 2 2+2典例：在倾角 = 30的斜面上 ,放置一个重量为 200 N 的物体,物体与斜面间的动摩擦因数为 =,要使物体沿斜面匀速向上移动,所加的力至少要多大?方向如何 ?3【解析】设所加的外力 F 与
3、斜面夹角为 ,物体受力情况如图所示。由于物体做匀速直线运动,根据共点力的平衡条件,有Fcos - mgsin -f = 0N+Fsin - mgcos = 0而 f =N解得: F = sinco(mg因为 已知,故分子为定值,分母是变量为 的三角函数y=cos + = ( cos + sin ) 1+211+2 1+2 = (sin cos + cos sin ) = sin( + )1+2 1+2 其中 sin = ，cos = ，即 tan = 。11+2 1+2 1当 + = 90 时，即 = 90 - 时，y 取最大值 。 1+2F 最小值为 ,由于 = ，即 tan = ，所以 =
4、 60 。m(+ cos )1+2 33 3 带入数据得 Fmin = 100 N,此时 = 30 。3 【名师点睛】根据对物体的受力情况分析,然后根据物理规律写出相关物理量的方程,解出所求量的表达式,进而结合三角函数的公式求极值,这是利用三角函数求极值的常用方法 ,这也是数学中方程思想和函数思想在物理解题中的重要应用。2利用二次函数求极值二次函数： y ax2 bx c a(x2 x ) c a(x )2 (其中 a、 b、 c 为实常数)，ba b24a2 b24a b2a 4ac b24a当 x 时，有极值 ym (若二次项系数 a0， y 有极小值；若 a0,问:tk21(1)当 k
5、满足什么条件时,甲、乙两车间的距离有最小值,最小值为多大?(2)当 k 为何值时,甲车运动到 O 处,与乙车的距离和 t=0 时刻的距离相同?【解析】(1)t 时刻两车坐标:甲车:x=(1-kt) m,乙车:y= mtk21t 时刻两车相距 s= = m= myx2tk221()(2当 t= s 时,甲、乙两车间的距离有最小值k1最小值为 smin= m,其中 k 满足 k1。)1(2(2)当 t=0 时,甲车坐标为(1,0),乙车坐标为(0,1),此时两车距离 s0= m2当甲车运动到 O 处时,kt=1 m,乙车 y= m= mt21两式联立解得:k= 。21【名师点睛】根据物体满足的物理
6、规律建立起已知量与所求量之间的函数关系,若这个函数关系是二次函数,则可用二次函数求极值。二次函数求极值,是物理解题中经常用到的数学方法之一 ,应很好掌握。3均值不等式对于两个大于零的变量 a、 b，若其和 a b 为一定值 p，则当 a b 时，其积 ab 取得极大值 ；对p24于三个大于零的变量 a、 b、 c，若其和 a b c 为一定值 q，则当 a b c 时，其积 abc 取得极大值 。q327典例：一轻绳一端固定在 O 点,另一端拴一小球,拉起小球使轻绳水平,然后无初速度地释放,如图甲所示,小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中,小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值 ? 【解析】如
7、图乙所示,当小球运动到绳与竖直方向成 角的 C 时,重力的功率:P=mgvcos =mgvsin 乙小球从水平位置到图中 C 位置时,由机械能守恒有mgLcos = mv21解得:P = mg sin2cogl令 y=cos = =24(1sin)co22(1又因为 2cos2 +sin 2 +sin 2 =2(sin 2 +cos 2 )=2(定值)所以当且仅当 2cos2 =sin 2 时,y 有最大值由 2cos2 =1-cos 2 得 cos = 3即:当 cos = 时,功率 P 有最大值。【答案】当细绳与竖直方向的夹角余弦值为 cos = 时,重力的瞬时功率取得最大值3【名师点睛】重力的瞬时功率与物体速度及速度和重力间的夹角有关,正确找到重力的瞬时功率的表达式是解题的前提,利用不等式求极值成为解题的关键所在。
