1、第十章 多目标决策,多目标决策问题及其有效解 偏爱和多目标决策问题的求解 评价函数法 目标规划 层次分析法 软件应用,10.1 多目标决策问题及其有效解,多目标决策问题引例 多目标决策问题的有效解,例1（投资决策问题）公司有50万元资金，打算向两个项目投资。已知项目1的利润为投资额的10%，但风险小；项目2的利润为投资额的20%，但风险大。由于其他原因，公司对项目1的投资不能少于10万元。试问：如何投资，才能兼顾利润和风险？,max z1= 0.1x1 +0.2x2 max z2= x1 - x2s.t.,设 x1 为项目 1 的投资额，x2 为项目 2 的投资额,常用的风险度量：VaR &
2、CVaR,例2（生产计划问题）某工厂生产 5 种产品：1号品，5号品。该厂生产 i 号品的生产能力是 ai 件/小时，每件 i 号品可获利 元。根据市场预测，下一季度 3, 4, 5 号品的最大销售量为 bi 吨，而市场对 1 和 2 号品的需求是尽可能多的。工厂下一季度的生产能力为 T 小时。试问：如何安排下一季度的生产计划，在避免开工不足的条件下，使工人加班时间尽量地少、工厂获利最大、满足市场对 1 号品和 2 号品尽可能多的需求？,设该厂下一季度生产 i 号品的时间为 xi 小时（i =1,5）,多目标最优化模型 (Multiobjective Optimization/Vector O
3、ptimization),其中,多目标决策问题的共同特点目标之间的不可公度性：指各个目标一般没有统一的衡量标准，因而很难进行比较目标之间的冲突性：大部分多目标决策问题存在着冲突。即如果采用某种方案去改进一个目标值，很可能会使另一目标值变坏,多目标线性规划,分层多目标最优化模型,第1优先层，第L优先层,与偏好有关,多目标决策问题的有效解,对于一个可行解，如果不存在“优于”它的可行解，则称其为有效解（帕累托最优解；非劣解）,设 。若不存在 使得且至少有一个是严格不等式，则称 是（VP）的 有效解,例1 的有效解,决策空间,目标空间,设 。若不存在 使得则称 是弱有效解找不到一个解，使得各目标值都比
4、 的严格小,若 ，则它是有效解的充要条件是 为,的最优解,有效解判别方法之一,对多目标线性规划,如何判断一个可行解 是否为有效解？,结论： 若 为 LP 的最优解，则必为有效解 若 不是 LP 的最优解，而是 y，则 y 即是有效解,例 已知一个多目标决策问题（Max问题）,可行解 (2, 0, 0) 是否为有效解?,构建线性规划,有效解存在定理,设 XRn. 若 f(x)=(f1(x), , fp(x) 中的各函数 fk(x) (k=1, p) 在 X 上连续，并存在 使集合是有界闭集，则（VP）存在有效解,有效解判别方法之二,对 若 wk0 ， 是 (Pw) 的最优解，则它是有效解 若wk
5、0 且至少有一个0， 是 (Pw) 的最优解，则它是弱有效解,有效解判别方法之三,10.2 偏爱和多目标决策问题的求解,偏爱与价值函数 多目标决策问题的偏爱结构 多目标决策问题的求解思路,偏爱,例 某公司准备提升一位部门经理，由人事部门对三个候选人就能力、合作精神、进取心进行评优，给出分数如下：,该公司总裁在选拔干部时，注意特长，他喜欢在某一方面比别人分数高的人，当某人一项指标高过另一人2分，他就认为前者好，因此他的看法是 ： 该公司副总裁则注意合作精神和进取心，他认为这两项评分之和高者是优秀人才，因此他的看法是：,每个人有不同的偏爱，因而产生不同的选择,价值函数,U(x1)U(x2),偏爱结
6、构,多目标决策问题的求解利用决策者偏爱结构确定价值函数，将多目标问题转化为单目标问题,线性加权法 理想点法 极大极小法 参考目标法,10.3 评价函数法,线性加权法最简单、最基本的方法（其中 )若决策者认为某可行解是一个比较好的选择，则,例 某公司有A, B, C三种产品，利用两种资源 I, II,数据如下：,理想点法理想点： 通过定义目标与理想点之间的距离，将多目标问题转化为单目标问题来求解 距离定义可采用几种方式： 距离模评价函数 p-模评价函数 极大模评价函数 几何平均评价函数,例（极大模评价函数）,权重确定方法 法 均差排序法 专家小组法 判断矩阵法,其他求解多目标规划的方法,交互规划
7、法 逐步宽容约束法 权衡比替代法 逐次线性加权和法 混合优选法多目标混合最优化模型 分目标乘除法 功效函数法 选择法 分层求解法分层模型 完全分层法，分层评价法，分层单纯形法 目标规划法,10.4 目标规划,目标规划的产生与发展 目标规划模型,目标规划的产生与发展,目标规划由美国学者查恩斯与库伯于1961年首次提出，基本思想是求尽可能接近某个目标值的解1965年，艾吉里在处理多目标问题、分析各类目标的重要性时，引入了赋予各目标一个优先因子及加权系数的概念，进一步完善了目标规划的数学模型求解目标规划的方法则由杰斯基莱恩和桑李提出并加以改进,目标规划是在线性规划的基础上，为适应企业经营管理中多目标
8、决策的需要而逐步发展起来的。目标规划是一种数学方法基本含义：在一定约束条件下，要求多个目标达到或尽可能接近于给定的对应目标值特点：既保持了线性规划易于计算的特点，又克服了线性规划只能解决单一目标优化问题的局限性,目标规划模型,目标函数目标值引入距离得到目标规划模型分层目标规划模型,不一定是理想值,距离的若干种定义,fk 关于 的正偏差fk 关于 的负偏差,由定义知,一般目标规划为,可以略去,r = 1 距离定义下的目标规划模型,r = 距离定义下的目标规划模型,max (0.1x1 +0.2x2 , x1 - x2)s.t.,例1,令目标点 f=(9,15) ，得到 r = 1 距离定义下的目
9、标规划模型,安全度，理想点(9,50),仍令目标点 f *=(9,15) ，可得 r = 距离定义下的目标规划模型,转化为线性规划模型,仍令目标点 f *=(9,15). 决策者希望，若安全度比15小，则尽量接近15；若超过15，则多少均无差别. 对利润目标 亦然. 即要求负偏差尽可能地小若决策者对各目标的偏差有不同偏重，可以适当添加权重,目标规划的形式： Min f (d+, d-) 要求尽量接近目标值，即正负偏差都要尽可能地小。则有 Min f (d+, d-)要求不超过目标值，即允许达不到目标值，但尽量不超过目标值，即正偏差尽可能地小。则有Min f (d+)要求超过目标值，超过量不限，
10、即负偏差变量要尽可能地小。则有 Min f (d-),对具体问题，可根据决策者的要求来构造适当的目标规划若决策者对各目标偏差划分不同等级，也可以对目标赋予优先因子，得到分层的目标规划,例 某厂生产A，B两种产品，具体情况如表：现管理部门提出三级目标： 第一级目标：每班产值达到750元 第二级目标：充分利用两个车间的工时 第三级目标：尽量减少加班时间试利用目标规划法在争取上述管理目标实现的条件下，拟订一个满意生产规划,设 x1, x2 分别为两种产品的产量，正偏差变量dk+表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量 dk- 表示决策值未达到目标值的部分。则分层目标规划模型为,分层多目标规划,例 某电
11、视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台电视机需占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时，预计市场每周彩色电视机的销售量是24台，每台获利80元；黑白电视机的销售量是30台，每台获利40元。该厂确定的目标是：第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时第二优先级：允许装配线加班，但每周加班时间尽量不超过10小时第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场的需要 试建立该问题的目标规划模型,设 x1, x2 分别表示彩色和黑白电视机的产量，引进正负偏差变量，得目标规划为,练习 某工厂生产 I、II 两种产品，有关数据见表。试求：获利最大的生产方案,解：设 x1, x2 分别为生产 I、II
12、的件数，则这是 一个单目标线性规划问题，不难求得最优决策方案为 x1*= 4，x2*= 3，z*= 62,在实际中，决策时需要考虑一系列其它因素，例如： （1）根据市场信息，产品 I 的销售量有下降的趋势，故考虑产品 I 的产量不大于产品 II 的产量 （2）超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就使成本增加 （3）应尽可能充分利用设备的台时，但不希望加班 （4）应尽可能达到并超过计划利润指标56元 这样在考虑产品决策时，便成为多目标决策问题。目标规划的方法是解这类决策问题的方法之一,设 x1, x2 分别为两种产品的产量，正偏差变量dk+表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量 dk- 表示决
13、策值未达到目标值的部分。则分层目标规划模型为,目标规划与线性规划相比有以下优点1.线性规划只能处理一个目标，而现实问题往往要处理多个目标。目标规划即能统筹兼顾地处理多个目标的关系，求得更切合实际要求的解2.线性规划立足于求满足所有约束条件的最优解。而在实际问题中，可能存在相互矛盾的约束条件。目标规划可以在相互矛盾的约束条件下找到满意解,3. 目标规划的最优解指的是尽可能地达到或接近一个或若干个已给定的指标值4. 线性规划的约束条件是不分主次地同等对待，而目标规划可根据实际的需要给予轻重缓急的考虑,10.5 层次分析法 （AHP, Analytic Hierarchy Process),概述 具
14、体原理与步骤 应用举例 判断矩阵的一致性 矩阵特征向量计算法,概述,层次分析法是由美国匹兹堡大学教授T.L. Saaty在70年代中期提出的。其基本思想是把一个复杂问题分解为各个组成因素，并将这些因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序 层次分析法的出现给决策者解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方便，从而使它的应用几乎涉及任何科学领域,步骤 建立层次结构模型 两两比较构造判断矩阵 层次单排序及其一致性检验 层次总排序 层次总排序的一致性检验,(1) 建立层次结构模型明确目标 建
15、立层次结构(多阶层次结构)比如：（选人才的四标准）德、勤、能、绩、（健）个人能力，组织能力 进取心，执行力；业绩增长如何，效率如何， 战略举措如何，人才培养如何。,A型,B型,C型,例：人才甄选指标体系,进而转换成层次结构模型,两两比较构造判断矩阵例如B=具体标度见下页,长相,品质,财富,长相,品质,财富,1,1,1,判断矩阵标度确定方法,标度 含 义 1 甲乙相比，具有同样重要性。 3 甲乙相比，甲比乙稍微重要。 5 甲乙相比，甲比乙明显重要。 7 甲乙相比，甲比乙显得很重要。 9 甲乙相比，甲比乙显得极重要。 2，4，6，8 表示上述两相邻判断的中值 倒数（如1/3） 表示甲与乙相比，乙比
16、甲稍重要。,例如：某单位拟从3名干部中选拔一人担任领导职务，选拔标准是: (1)健康水平、(2)业务知识、(3)写作能力、(4)口才、(5)政策水平、(6)工作作风。,调查得到判断矩阵如下：,按 行 求 积,开方根,规一化,（3）层次单排序及其一致性检验 层次单排序方法 和积法 按列规一化 (以一列为例) 按行求和 (以一行为例） 对向量规一化 (例) 方根法：按行求积求n(阶）方根规一化 存在众多方法。,阶数(n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9RI 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45,一致性检验(R.I见下页) 检验准则；若C.R=0.1,则不满
17、足一致性，就必须重新确定,（4）层次总排序（5）层次总排序的一致性检验 举例:(一般),应用举例 某厂有一笔企业留成利润，要由厂领导和职代会决定如何使用。可供选择的方案有：作为奖金发给职工；扩建职工宿舍、食堂、托儿所等福利设施；办职工业余技术学校；建图书馆、俱乐部和文体工队；引进新技术设备进行企业技术改造等。从调动职工劳动积极性，提高职工文化技术水平和改善职工物质文化生活状况来看，这些方案都各有其合理的因素。如何使工厂这笔企业留成利润更合理地使用，进一步促进企业发展，这是厂领导和职代会所面临需要分析的问题。,判断矩阵AC （相对于企业发展的总目标，各准则之间的相对重要性比较）,判断矩阵C1P （相对于调动职工劳动积极性准则，各种使用留成利润方案之间相对重要性比较）,判断矩阵C2P （相对于提高企业技术水平准则，各种方案之间相对重要性比较）,判断矩阵C3P （相对于改善职工物质及文化生活准则，各种使用企业留成利润措施方案之间相对重要性比较）,相应各判断矩阵的各层次单排序计算及一致性检验结果,CR=0.04,判断矩阵AC,判断矩阵C1P,CR=0.02,判断矩阵C2P,CR=0.03,判断矩阵C3P,CR=0,各方案相对于促进企业新发展总目标的层次总排序,层次总排序一致性检验,
