1、171线性代数(文)模拟试卷(一)参考答案一.填空题(每小题 3 分,共 12 分)1.设 , , , ,则 = .332211cbaA332211dbaBA3BA21解 = 332211321332211 dbac= .BA2.已知向量 , ,设 ,其中 是 的转置,则)1()12(TAT= .nA13解 注意到 ,故3),(T=nTn个)(= TT个)1()= .Ann13注 若先写出 ,再求 , 将花比前更多的时间.2n3.若向量组 , , 线性相关,则 = .T)0(1Tk)03(Tk)4,1(3k3解 由 , , 线性相关,则有23= = = .1,k041k04)(由此解得 .3k
2、4.若 阶矩阵 与 相似,矩阵 的特征值为 , , , ,则行列式4ABA23415EB1= .2解 因为 与 相似,所以 , 有相似的特征值,从而 有特征值 ,1, , .故 .32431E172注 本题解答中要用到以下结论:(1)若 可逆, 的特征值为 ,则 的特征值为 .A1A1(2)若 是 的特征值 ,则 的特征值为 ,其中 为任意关于)(f)(f)(xf的多项式.x(3)若 阶矩阵 有 个特征值 , , ,则 .nn12nn21二.单项选择题(每小题 3 分,共 18 分)1.矩阵 在( )时,其秩将被改变.A( ) 乘以奇异矩阵 ( ) 乘以非奇异矩阵B( ) 进行初等行变换 (
3、) 转置CD2.要使 , 都是线性方程组 的解,只要系数矩阵201OAX为( ).A( ) ( ) )1,B102( ) ( ) C02D4解 我们知道,若 , , 是齐次线性方程组 的 个线性无关12k OAXk的解向量, 的任一解为向量 , , 的线性组合,则 , , 为OAX12k12k的基础解系,且所含解向量的数目 ,其中 为矩阵 的列数.)(rnn由于 , 为 的解,知 .又因 与 是线性无关的,故 .因12 312而 ,而( )、( )、 ( )、( )四个选项中满足 的矩阵只有( )rBCDA项中的 .3.设向量组: , , 可由向量组: , , 线性表示,则( ).12r 12
4、sD( ) 当 时,向量组必线性相关Asr( ) 当 时,向量组必线性相关( ) 当 时,向量组必线性相关C( ) 当 时,向量组必线性相关D解 根据定理“若 , , 可由 , , 线性表出,并且 ,则 ,12s12t ts1, 必线性相关”,即若多数向量可以由少数向量线性表出,则这多数2s向量必线性相关,故应选( ).D4.设 是 矩阵, 是非齐次线性方程组 所对应的齐次AnmOAXbAX173线性方程组,则下列结论正确的是( ).D( ) 若 仅有零解,则 有唯一解AOXbAX( ) 若 有非零解,则 有无穷多解B( ) 若 有无穷多个解,则 仅有零解CbO( ) 若 有无穷多个解,则 有
5、非零解D解 方程组 与其对应的齐次线性方程组 的解之间有密切AX的关系.正确作答本题要求掌握以下结论:(1)非齐次线性方程组 有解的充要条件为方程组的增广矩阵的秩bAX等于系数矩阵的秩.(2)在非齐次线性方程组 有解的条件下,解惟一的充分必要条件是齐次线性方程组 只有零解.O(3)非齐次线性方程组 的任意两个解之差是齐次线性方程组 =AX的解.O由于题干及( )、( )项中均未指明 有解,即 的秩不一定等于增ABbAX广矩阵 的秩,故( )、( )两项为干扰项.由结论(3) 知( )为正确选项.D5.若矩阵 与 相似,则( ).( ) ( ) EB( ) , 有相同的特征向量 ( ) 与 均与
6、一个对角矩阵相似C解 由 与 相似,知存在可逆矩阵 ,使得 .由此可得ABPA1= = .P116.设矩阵 的秩为 , 为 阶单位矩阵,下述结论中正确nmnAr)(mE的是( ).( ) 的任意 个列向量必线性无关( ) 的任意 阶子式不等于零BA( ) 若矩阵 满足 ,则COB( ) 通过初等行变换,必可以化为 的形式D),(Em解 应选( ).由于 ,表明矩阵 的秩等于行数,即 的行向量必线性无关.根mrnAA据矩阵秩的性质:行向量的秩等于列向量的秩,因此 的列向量的秩等于 .由m于 (列数), 故一定存在 个列向量线性无关,但并不是任意 个列向量线性无关,故( )不成立.A根据矩阵秩的等
7、价定义, 表明 至少存在一个 阶子式不等于r)(零,但并不要求任意一个 阶子式均不等于零,故( )不成立.B( )也是不成立的 .若( )成立,则存在 个行变换 , , , ,使DDk1P2 k21P= ,即 A= ,说明 的后 列均为零向量,显然题PkOEm121OPm Amn目未作这种要求.( )为正确选项 .设 的 个列CTA174向量为 , , , ,则 , , , 线性无关,因此,方程组 仅有12 m12 m OXAT零解.若 , 是 维行向量满足 ,即mBi OBA,即 故 .),(21TTTA ,2,1iTi 三.(本题 6 分)设行列式 ,求第四行各元素余子式之和的值.2350
8、704D解 设 ( )为第四行各元素余子式,对应代数余子式记为iM4,1 iA4( = ),则i,321=43243421AA= =110701204372）（= 20432= .8)(14四.(本题 10 分)设 ,且满足 ,求矩阵 .4103ABA2解 由 可得 .矩阵B2E)（. 21014103E又175,012012EA故 可逆,从而 .AEB)(下面用初等行变换法求 .1=)|2(EA 10210021012r. 132123)( rr于是.12)2(1EA因此. 324510312)2(1B注 因为 ,也可以不求 而用初等行变换直接求AE1)(EA出 .方法如下:=)|2(A 4
9、1021041021332r 325323223)1( rr= .BE|即.3245五.(本题 12 分)已知 , 为 3 阶矩阵,且满足 ,其中 是 3 阶单位矩阵.ABEBA41176(1)证明: 矩阵 可逆 ,并求其逆矩阵;EA2(2)若 ,求矩阵 .01BA解 (1)由 知42,OB2从而 或 ,故 可逆,且EA8)( EB)4(81)( A2= .(1)2E48B(2)由(1)知 ,而1)(2, 210834203)4(1故 . 201208314201A注 如果只要证明 可逆,那么由EA得 .OB4AB4)(因为 可逆,知 ,故A3,02由此证出 可逆.六.(本题 10 分)设向量
10、组 , , , ,T),31(T)314,7(2T)10,2(T)26,5(4(1)求向量组的秩;(2)求向量组的一个极大无关组,并把其余向量分别用此极大无关组线性表出.解 177=),(4321 2130475210657132r 052130572432)4(7rr 013021321 rr. 013213r所以向量组的秩为 3., , 为其一个极大无关组,且 .123 32143七.(本题 12 分)问 , 为何值时,线性方程组ab.123,)(,04314321axxb有惟一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.解 对方程组的增广矩阵进行初等行变换:=A123100ab1
11、78 132100143abr. 010243 abr当 时, ,方程组有惟一解.1a4)(Ar当 , 时, ,方程组无解.b3)(2r当 , 时, ,方程组有无穷多组解,这时,得同解方程组:.12,04231xx令 ,由此得到一个特解为: .043T)0,1(0另外,原方程组的对应齐次线性方程组的同解方程组为:.2,4231xx依次令 , ; , 得到一个基础解系: ,3014 T)012,(1= .2T),(于是原方程组的通解为:.10201210 kk八.(本题 15 分)若矩阵 相似于对角阵 ,试求常数 的值,并求可逆矩阵6028aAa使 .P1解 由矩阵 的特征多项式= ,AE )2
12、(628)6(028 a179得知 的特征值为 , .A6213由于 相似于对角阵 ,而 是二重特征值,故 应有两个线性无6关的特征向量,因此矩阵 的秩必为 ,从而由AE10240846aE知 .0a当 时,由 ,OXA)(,0120486aE得到矩阵 属于特征值 的特征向量为6, .T)2,1(T)1,(2当 时,由 ,OXA,0804E得到属于特征值 的特征向量为2.T),1(3那么,令,012),(321P则.261A九.(本题 5 分)设向量 可由向量组 , , 线性表示,但不能由向量组 , ,12r 12线性表示,证明: 不能由向量组 , , 线性表示.1rr121r证 用反证法.若
13、, (1)21rr kk又已知, (2)rrlll1180将(2)代入(1),整理得.1111 )()rrr lkllk（这与 不能由向量组 , , 线性表示的假设矛盾,所以得证 不能由2r r向量组 , , 线性表示.121r181线性代数(文)模拟试卷(二)参考答案一.单项选择题(每小题 2 分,共 16 分)1.若 ,则 等于( ).33211a32331221aaC( ) ( ) ( ) ( )A6B6C4D4解 根据行列式的性质,有= = .32331221aa)(33211a23)(故选( ).C2.下列 阶行列式的值必为零的是( ).nB( )主对角元全为零A( )三角形行列式中
14、有一个主对角元为零B( )零元素的个数多余 个n( )非零元素的个数小于零元素的个数D3.已知矩阵 , , 则下列运算可行的是( ).233CC( ) ( ) ( ) ( )ABABDBA解 两矩阵 可以相乘的条件是:矩阵 的列等于矩阵 的行,依此与条件,应选( ).4.若 , 均为 阶非零矩阵,且 ,则必有( ).n 2)( ) , 为对称矩阵 ( )( ) ( )CEAEB解 因为 ,矩阵的乘法一般不满足交换22)(AB律,只有当 ( 与 可交换)时,上式成立,故选( ).5.设齐次线性方程组 有非零解 ,则 的值为( ).02zykxkA( ) ( ) ( ) ( )A2B0C1D2解
15、该齐次线性方程组有 个方程, 个未知数,则根据克莱姆法则,当系3数行列式182=D04210kk时,有非零解.故选( ).A6.若向量组 线性相关,则一定有( ).s,21 B( ) 线性相关,s( ) 线性相关B121,( ) 线性无关C,s( ) 线性无关D,解 本题要求掌握以下结论:(1)若在向量组 中,由部分向量构成的向量组线性相关,则整个n,21向量组必线性相关(部分相关整体必相关);(2)若向量组 线性无关,则任意抽取部分向量构成的向量组必,无关(整体无关部分必无关).因此,( )、( )均不能肯定 ,( )也是不一定的.故选( ).ACDB7.设 是同阶实对称矩阵,则 是( ).
16、BA( )对称矩阵 ( )非对称矩阵( )反对称矩阵 ( )以上均不对8.设 为一个可逆矩阵,则其特征值中( ).C( )有零特征值 ( )有二重特征值零AB( )无零特征值 ( )以上均不对CD解 因为 ,若 可逆,则 ,所以 均不能为零,n21A0n,21故选( ).二.填空题(每小题 3 分,共 18 分)1.行列式 .042D4解法 1 利用反对角行列式 = .naa 21nna21)(解法 2 由于此行列式只有 4 阶,也可以按某一行(列)展开后计算结果.2. , 均为 3 阶方阵, ,且 ,则 .ABBA238183解 因为 ,所以 .AB2183)21(A3.若 , 为可逆矩阵,
17、则分块矩阵 的逆矩阵为 .OBOB1解 应记住以下几个常用结论:(1)若 ,且 均可逆,则 .sAA21i 1121sAA(2)若 ,且 均可逆,则 .s 21i 12(3)若 ,且 , 均可逆,则 .CBOAX 111CBAOX(4)若 ,且 , 均可逆,则 . 11(5)若 ,且 , 可逆,则 .AO11(6)若 ,且 , 可逆,则 .OCBX 11BCAX4.设 ,则 .431120A)(Ar2解 因为 21r 132430r 564012, 23r 0056所以 的秩为 2.A5.设 , , ,则 线性 相 关.)1(1)(2)14(332,解 因为184,0143221所以 线性相关
18、.321,6.设 ,则 的所有特征值为 .EA解 设 的特征值为 ,特征向量为 ,则= , = .2A因为 = ,则 = ,即 .又 为非零向量,所以 ,220)1(012即 = .1三.(本题 6 分)计算行列式 的值.01220解 原式 = .4130264132四.(本题 6 分)设 , , ,求 .3012A412B135CCABT解 = = ,T421587 .178653CABT五.(本题 8 分)185解矩阵方程 ,其中 , .XBA10A35021B解 由 ,可得 ,而E)(,35012)|(E 31024X= .3245六.(本题 10 分)试求向量组 , , ,T)10,(
19、1T)10,(2T)01,(3,3(4, 的一个最大无关组,并写出其余向量用此最T03,2325大无关组的线性表示式.解 由( )1234 310210 153r 54103620 253r 02043262031823541r 4521r 00134 4123r 0013. 312r 00132186所以,取 , , , 为一个最大无关组,且 .1234 3215七.(本题 12 分)设方程组,223358146743432xx解此方程组,并用其导出组的基础解系表示全部解.解 .212313508467A004931127令 ,由此得到原方程组的一个特解:054x.04917令 , ; ,
20、得到导出组的一个基础解系:14x054x15, .0143291042所以,原方程组的解为 ,其中 , 为任意常数.212八.(本题 14 分)设 ,求 的特征值,特征向量 .24AA解 因为 的特征多项式为187,2421AE)7(2所以 的特征值为 ,1.73当 时,21,0142AE所以.,01102对应的特征向量 ( , 不同时为零).1C当 时,73.014524258AE所以.13对应的特征向量为 ( ).3C不 为 零九.(本题 5 分)设 是齐次线性方程组 的一个基础解系,证明: ,321,OAX12也是 的一个基础解系.32证 令 ,即01kk,0)()(3213212 .(
21、3 k因为 是 的一个基础解系,则 线性无关,所以321,OAX321,.0321k188解得 .0321k所以 线性无关,且基础解系中所含的向量的个数为 3,命题得证.,十.(本题 5 分)证明:如果 ,但 不是单位矩阵,则 必为奇异矩阵.A2 A证 用反证法.假设 可逆,且其逆矩阵为 .因为 .所以12,OE)(2即 .OEA)(1由此得 , = ,这与 不是单位矩阵矛盾!因此 不可逆,即AA,所以 必为奇异矩阵.0189线性代数(文)模拟试卷(三)参考答案一.填空题(每小题 2 分,共 20 分)1.设四阶行列式 ,则 = .102187354D34A6解 6350434A2. .fed
22、cba0b解 按第一行或第一列展开即可.3.设 .1,05231AA则 0246解 设 , ,则)(1B, .21 12351512B于是. 012460213502121BA4.三阶矩阵 按列分块为 ,且 ,则),(321A1232,AA= .2解 交换该行列式中两列的位置,则190原式= =32121,AA321,A= = .3)(5. 为三阶矩阵, 为 的伴随矩阵,已知 ,则 .* 4解 .42)(31A6.设 ,则 = .10306)(Ar3解 103421036241A,0041.3)(Ar7. 为三阶矩阵,且 ,则 = .31212列列A83解 原式= .)()()(22311 A
23、8.设 , , , ,且有T01T,2 T13T列65,1x,则 ; ; .32xx29.若向量组 , , 线性相关,则 .)3(1),(2)(3aa5解 因为向量组 , , 线性相关,则有,05723a解得 .5a19110.设 的特征值为 , , ,则 = .1240xA123x4解 矩阵 的特征多项式为.)2)1()(12402 xxI 因为 是 的特征根,所以 , 是 的1A2302两个根,把 代入得 .2x二.单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)1.设 是 的解, 是 的解,则( ).21,OX21BAXC( ) 是 的解 ( ) 是 的解A21BAX( ) 是 的解 ( )
24、是 的解CD解 根据非齐次方程组解的性质可知选(C).2.向量组 线性无关的充分条件是( ).s,21( ) 均不是零向量( ) 中有部分向量线性无关Bs,( ) 中任意一个向量均不能由其余 个向量线性表示C21 1s( )有一组数 ,使得D021skk 01k解 选项( ),( )都只是向量组线性无关的必要条件,而不是充分条件.AB选项( )是错误的 ,若将“有一组数”改为“当且仅当”时才为正确.所以选().3.设 是 阶可逆矩阵, 是 阶不可逆矩阵,则( ).nnD( ) 是可逆矩阵 ( ) 是不可逆矩阵BA( ) 是可逆矩阵 ( ) 是不可逆矩阵CAB解 由题设知 , ,所以 ,即 是不
25、可逆矩阵,应00AB选( ).但是当 可逆, 不可逆时, 是否可逆不能一概而论,例如,D若取 , ,则 可逆, 不可逆,但 是不1A10可逆的.若取 ,则 不可逆的,但 是可逆的.故0C10C是不正确的.)(,BA1924.与 相似的矩阵为( ).30AC( ) ( ) ( ) ( )B301301D301解 因为 中矩阵的特征值为 , ,所以 不能与 相似.)(A21A1( )中矩阵的特征值为 , ,但对二重根 ,因B13,所以 不能对角化, 也不能与 相似.23Er22A( )中矩阵的特征值为 , 对二重根 ,因 ,C03)(3Er所以 可对角化,故 成立.3)(5.已知 为可逆阵,则 =
26、( ).TB)1( ) ( ) ( ) ( )ABTC1DTB1解 = ,故选( ).T1T1A三.(本题 5 分)计算行列式 的值.324150解 原式 015)(01052241 1列r.4526)(6321 c四.(本题 6 分)已知 ,求 .120A)4()2(21EA解 =4()(2E )2(1193= )2)()2(1EAEA= = .120五.(本题 10 分)设向量组 , , , ,)41,()3,0(2)1470,3()02,(.求它们的秩,及其一个极大无关组,并将其余向量用该极大无05,12(5关组表示.解. 00132104257132),(54321 TT所以,所求向量
27、组的秩为 ,取 为其一个极大无关组,且1, .213215六.(本题 6 分)已知 , ,求 .210A301BTBA解 .71230TB七.(本题 6 分)设 ,求 .9437211A1*)(A解 由 和 ,又因为 的逆矩阵,可以11)(11A是194求得,1032A.)(1八.(本题 6 分)已知 线性无关,设 , ,321,321321214,判断 是线性相关的.32解 若 是线性相关的,则存在一组不全为零的数 使得321 321,k,0321kk即方程组03241k有非零解.又因为该方程组的系数矩阵,01421324A所以, 的秩为 ,方程组有非零解.所以存在一组不全为零的数 .故 3
28、21,k是线性相关的.321九.(本题 12 分)对于线性方程组,23321x讨论 取何值时,方程组无解,有唯一解和有无穷多组解.在方程组有无穷多组解时,试用其导出组的基础解系表示全部解.195解 因为系数行列式.2)1(1(1)当 时,由克莱姆法则知方程组有唯一解.2(2)当 时,对增加广矩阵作高斯消元,有,2190215_A第一个方程矛盾,故方程组无解.(3)当 时,有,021A可见 ,故方程组有无穷多组解.又由此可得与原方程组同解3)(r的方程组为 .令 ,得其特解 .21xx32Tu)0,2(0与原方程组的导出组同解的方程组为 .由此可得基础解系为321x, .Tv)0(1Tv),0(
29、2原方程组的全部解为,其中 是任意常数.100221210 kku 21,k十.(本题 8 分)设矩阵 ,问 能否对角化?若能,试求可逆阵阵 ,使得42AAP为对角阵.P1解 因为 是实对称矩阵,所以可对角化.由,0)9(2E得矩阵 的特征值为 .A,31求得 的特征向量为021196, .012102的特征向量为93.23令 ,则有 .102P901AP十一.证明题(本题 6 分)已知 可逆,试证 也可逆,且 .ABEBE ABEBAE11)()( 分析 本题因为已经给出 ,故只需验证1)(A)(即可.证 因为=)()(1BEBA ABEABE11)()( = A1)(= .故可知 是可逆,
30、且 .11)()( 注 本题若没有给出条件:已知 可逆,一般的证法如下 :因为 ,故)()( BEABE)(1而= )()()(1A= .BEABE由此知 也可逆,且 .1197线性代数(工科)模拟试卷(一)参考答案一.填空题(每小题 2 分,共 20 分)1.若 ,则 .103zyx 14533zyx解 将第三行的 3 倍加到第一行,第三行的 倍加到第二行,可得原行2列式的转置行列式.2.设 阶方阵,且 ,则 .nA为 2AA1)3(5)(1n解 .25)31( 11 nn3.方阵 为幂等矩阵,即 ,则 .BBEB,2且 1)3(AE解 由 ,由此可得:EA2且即 ,3A23则有 .)(21
31、A4.设 矩阵,且 的秩 ,而 .34是 A)(r,3012B)(ABr则 2解 因 可逆,则 .B01)(Ar5.设 阶矩阵 的各行元素之和均为零,且 的秩为 ,则线性方程组n n的通解为 .0AXTk),(解 因 的各行元素之和均为零,所以可得 是方程组AT)1,(的一个解,而 的秩为 ,故方程组 的基础解系只含有一个1n0AX解向量,即方程组 的通解为 .0XTk),(6.设 , , ,若 线性相关,则)1(1)(2ba23321满足关系式 .ba,解 .bT0213321 1987.设二次型 是正定的,则 的取3212321321, xtxxf t值为 .2t解 此二次型的矩阵为 ,则
32、 的各顺序主子式为120tAA, , 021A1202103ttA解得 .t8.已知 是 的一个基,多项式 关于这个基下的,23xx3R3x坐标是 .)01(解 .)1(0)()(233 9.在 中线性变换 ,那么 关于基R, 32131x,1(, , 下的矩阵是 .)0)01(2),(3 0解 即, 2321231 .01),(),(310.已知 阶方阵 的特征值为 (二重),则 .3A,5EA3241解 已知 阶方阵 的特征值为 (二重),可得 阶方阵 的32特征值为 ,则1,4.41412 )E二.选择题(每小题 分,共 分)31.设 为 阶非零矩阵满足 ,则 和 的秩为( ).ABnA
33、B0B必有一个等于零 都小于) )n都等于 一个小于 一个等于(CDn解 因 ,且 与 为 阶非零矩阵,可得 与 都为不可逆矩阵,0nA199即 和 的秩都小于 .ABn现说明 与 都为不可逆矩阵.用反证法.假设 是可逆的,则一定有 存在,对等式 两边左乘A1AAB0有 ,即得 ,与已知矛盾.故 是不可逆.同理可证 也是不10B可逆.2.非齐次线性方程组 中未知量的个数为 ,方程个数为 ,而bXnmX是它所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).0 D若 仅有零解时,则方程组 有唯一解)AbAX若 有非零解时,则方程组 有无穷多组解B0若 有无穷多组解时,则方程组 只有零解(Cb0若
34、有无穷多组解时,则方程组 有非零解)DX解 若 仅有零解时,能得 ,但也有可能 ,从而nr)( )(bAr方程组 无解;A例:方程组 , ,此方程组只有零解,0102x2)(Ar方程组 , ,此方程组无解.2 3)()(brr是不正确的;同样 也不正确;而 有无穷多组解时,得)(ABAX)(bAr,即方程组 有非零解.nr0AX3.设 , 均为 阶行列式,则( ).)2nC)()(BBCB DA0解 和 显然是错误的;而 ,即 也是不正确)(AAn210)(的.4.设 阶方阵 为正定矩阵,下列结论不对的是( ).n可逆 也是正定矩阵)( )(B1所有的元素全为正数C0DA解 由 为正定矩阵,可
35、知 的所有特征值均大于零,则 的行列式大于AA零所以 是正确的;从而也可得 可逆,即 也正确;又因 的特征值和)( )(1的特征值互为倒数,所以 的特征值全部大于零,故 也是正定矩阵,1200正确.)(B三.(本题 8 分)计算行列式.nD 0132110解 根据行列式数字的特点,可作第 列提出公因数 ,然后把从第 2 列jj开始的每列的-1 倍加至第 1 列,把行列式变为上三角行列式,即1001132321!101320! nnnnD!)32(n四.(本题 12 分)设向量组 , , ,T1,(T)153,(2Tp)2,13(,(4,问:Tp)10,6(1) 为何值时 ,该向量组线性无关?并在此时将向量 用向0,6(量组 线性表示;,2143(2) 为何值时 ,该向量组线性相关?并此时求它的秩和一个极大无关组.解.)|,(4321A p1203431行 初 等 变 换(1)当 时, 线性无关,并可求得:p 43214321 ,),( 列r.pp(2)当 时 , ,则 线性相关 ,向量组),(4321r 4321, ,21为其一个极大无关组.3
