1、2018 届四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学文试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足 （是虚数单位） ，则=（ ）A. 1 B. -1 C. D. 【答案】A详解：由题设有 ，选 A.点睛：本题考查复数的加、减、乘、除等四则运算，属于基础题.2. 已知集合 ， ，集合 ，则集合 的子集个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】分析： 为一元二次不等式的解集，可先计算出 ，求得 为单元素集合，其子集的个数为 2.详解：由题设有 ，故 ，所以 的子集的个数为 ，
2、选 B.点睛：本题为集合与集合的交集运算，它们往往和一元二次不等式结合在一起考查，注意如果一个有限集中元素的个数为 ，那么其子集的个数为 .3. 为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为 0001，0002，2000 的 2000 名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为 0003，则最后一个样本编号是（ ）A. 0047 B. 1663 C. 1960 D. 1963【答案】D【解析】 ,故最后一个样本编号为 ,故选 D.4. 已知实数 满足 ，则 的最小值是（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C详解：不
3、等式组对应的可行域如图所示：由当动直线 过 时，取最小值为 6，选 C.点睛：当题设条件给出的是关于 的二元一次不等式组时，我们可考虑利用线性规划来求目标函数的最值.5. 执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：题设中的算法是结合的范围计算分段函数的函数值.详解：由题设有 ，当 时， ；当 时， ，从而当 时， ，选 C.点睛：本题考察算法中的选择结构，属于基本题. 解题时注意判断的条件及其每个分支对应的函数形式.6. 如图 1，四棱锥 中， 底面 ，底面 是直角梯形，该四棱锥的俯视图如图 2 所示，则 的长是（ ）A. B.
4、C. D. 【答案】A【解析】根据俯视图可知 ,所以三角形 为直角三角形,且 为 ,由于所以 ,所以 .故选 A.7. 在区间 上随机取一个实数 ，则事件“ ”发生的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由于 ,所以 ,故概率为 ,故选 D.8. 甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（ ）A. 吉利，奇瑞 B. 吉利，传祺 C. 奇瑞，吉利 D. 奇瑞，传祺【答案】A【解析】分析：因为丁的猜测只
5、对了一个，所以我们从“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个判断着手就可以方便地解决问题.详解：因为丁的猜测只对了一个，所以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的.否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾， “丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利，选 A.点睛：本题为逻辑问题，此类问题在解决时注意结合题设条件寻找关键判断.9. 双曲线 的离心率是 ，过右焦点 作渐近线的垂线，垂足为 ，若 的面积是1，则双曲线 的实轴长是（ ）A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B【解析】由于双曲线焦点到渐近
6、线的距离为 ,故 ,根据面积公式有 ,而,解得 ,故实轴长 ,选 B.10. 若曲线 的一条切线是 ，则 的最小值是（ ）A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C【解析】设切点为 , ,故切线方程为 ,即 ,所以.故选 C.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的切线方程,考查利用基本不等式求解式子的最小值.求曲线的切线方程,主要把握住两点,一个是切点的坐标,另一个是在切点处的导数值,也即是在该点切线的斜率,根据点斜式可写出切线方程.要注意查看题目所给点是否是切点.11. 已知圆 ，圆 交于不同的 ， 两点，给出以下列结论： ； ； ， ，其中正确结论的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2
7、 D. 3【答案】D【解析】分析：根据两个圆的标准方程得到公共弦的方程为 ， 两点均在该直线上，故其坐标满足.而 的中点为直线 与直线 的交点，利用直线方程构成的方程组可以得到交点的坐标，从而得到也是正确的.详解：公共弦的方程为 ，所以有 ，正确；又 ，所以 ，正确；的中点为直线 与直线 的交点，又，. 由 得 ，故有 ，正确，综上，选 D.点睛：当两圆相交时，公共弦的方程可由两个圆的方程相减得到，而且在解决圆的有关问题时，注意合理利用圆的几何性质简化计算. 12. 中， ， ， ，点 是 内（包括边界）的一动点，且 ，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据点
8、 在三角形内部（含边界）可以得到 ，再通过 的解析式来求 的最大值.详解：因为 为三角形 内（含边界）的动点，所以 ，从而 .又 ，因为 ，所以 的最大值为 ，故 ，选 B.点睛：本题中向量 的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算 ，其中的取值范围可以由 的位置来确定.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 抛物线 的焦点坐标是_【答案】【解析】 焦点坐标为 。14. 奇函数 的图象关于点 对称， ，则 _【答案】2【解析】分析：因为函数的图像具有两个对称中心，可通过解析式满足的条件推出函数为周期函数且周期为 2，从而求出 .详解：由题设有，从而有 ， 为周期
9、函数且周期为 ，所以 .点睛：一般地，定义在 上的函数如果满足 ， （ ） ，那么 的一个周期为.15. 已知圆锥的高为 3，侧面积为 ，若此圆锥内有一个体积为 的球，则 的最大值为_【答案】【解析】分析：球的半径最大时球必定是圆锥的内切球且半径也是轴截面的内切圆的半径，利用等积法（轴截面的面积的两种不同计算方法）可以求得半径.详解：设圆锥的母线长，底面的半径为，则 即，又 ，解得 .当球的体积最大时，该球为圆锥的内切球，设内切球的半径为 ，则，故 ，所以 .点睛：对于圆锥中的基本量的计算，可以利用轴截面来考虑，因为它集中了圆锥的高、底面的半径和圆锥的母线长.16. 四边形 中， ， ，设 、
10、 的面积分别为 、 ，则当 取最大值时， _【答案】【解析】设 , ,当 时,取得最大值,故填 .【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时 的值.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知正项数列 的前 项和 满足： （1）求数列 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2）【解
11、析】 【试题分析】(1)令 求得 ,然后利用 ,求得通项公式.(2) 化简得 ,为等差数列,利用等差数列前 项和公式,求得 .【试题解析】（1）由已知 ，可得当 时， ，可解得 ，或 ，由 是正项数列，故 .当 时，由已知可得 ， ，两式相减得， .化简得 ，数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，故 .数列 的通项公式为 .（2） ，代入 化简得 ，显然 是等差数列，其前 项和 .18. 十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了 100 个蜜柚进行测重，其
12、质量分别在 ， ， ， ， ，（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示.（1）按分层抽样的方法从质量落在 ， 的蜜柚中抽取 5 个，再从这 5 个蜜柚中随机抽取 2 个，求这 2 个蜜柚质量均小于 2000 克的概率；（2）以各组数据的中间数代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有 5000 个蜜柚等待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有蜜柚均以 40 元/千克收购；B低于 2250 克的蜜柚以 60 元/个收购，高于或等于 2250 克的以 80 元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】 【试题分析】(1) 在
13、 ， 的蜜柚中各抽取 个和 个.利用列举法求得基本时间的总数为 种,其中符合题意的有 种,故概率为 .(2)首先计算出各组数据对应的频率,然后分别计算方案的总收益和方案 的总收益,得出方案 点的总收益高于方案 的总收益,所以选择方案 .【试题解析】（1）由题得蜜柚质量在 和 的比例为 ，应分别在质量为 ， 的蜜柚中各抽取 2 个和 3 个.记抽取质量在 的蜜柚为 ， ，质量在 的蜜柚为 ， ， ，则从这 5 个蜜柚中随机抽取 2 个的情况共有以下 10 种：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，其中质量均小于 2000 克的仅有 这 1 种情况，故所求概率为 .（2）方案 好，理由如下：由频率
14、分布直方图可知，蜜柚质量在 的频率为 ，同理，蜜柚质量在 ， ， 的频率依次为 0.1，0.15，0.4，0.2，0.05.若按 方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为 500，500，750，2000，1000，250，于是总收益为 （元）若按 方案收购：蜜柚质量低于 2250 克的个数为 ，蜜柚质量低于 2250 克的个数为 ,收益为 元.方案 的收益比方案 的收益高，应该选择方案 .19. 如图，在四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面 是菱形，且 ，点 是侧棱的中点.（1）求证：直线 平面 ；（2）若 ，三棱锥 的体积是 ，求 的值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】 【试题分析】(1) 连接 ，与 交于点 ，连接 .利用三角形的中位线证得 ,由此证得直线平面 .(2)根据已知可知 是几何体的高,利用体积公式,通过解方程 来求得 的值.【试题解析】（1）证明：连接 ，与 交于点 ，连接 .由 是菱形，知点 是 的中点.又点 是 的中点， ，而 ， ， .（2） ， ， .又 ， ，于是 .由已知 ，得 .令菱形 的边长为，则由 ，可得 ， ， . ，解得 ，于是 .20. 在直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆 上且轴，直线 交 轴于 点， ， 为椭圆 的上顶点， 的面积为 1.（1）求椭圆 的方程；（2）过 的直线交椭圆 于 ， ，且满足 ，求 的面积.
