1、24.1.3圆心角、弧、弦、弦心距 四者之间的关系定理,圆的性质,圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。,复习回顾,垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦对的两条弧。,文字语言：,垂径定理的推论1：,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦对的两条弧。,文字语言：,1、发现圆的旋转不变性。 2、了解圆心角的概念，学会辨别圆心角。 3、发现圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系，并初步学会用它们解决有关问题。,学习目标：,圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.,O
2、,一、概念,判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。,1、在圆O中，圆心角AOB对应的弧是谁？弦是谁？弦心距是谁？,2、在圆O中，圆心角AOB确定后，其他对应的三个量确定吗？,思考,如图，将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？,根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置时，显然AOBAOB，半径OA与OA重合，OB与OB重合而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，从而点A与A重合，B与B重合,O,A,B,A,B,二、探究,AB与AB的弦心距相等吗？,在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_， 所对的弦_， 所对的弦心距_； 在同圆或等圆中，
3、相等的弦所对的弦心距_，所对的圆心角_，所对的优弧和劣弧分别_； 在同圆或等圆中，相等的弦心距所对应的弦_，所对应的圆心角_，所对应的弧_,弧、弦、弦心距与圆心角的关系定理,相等,相等,相等,相等,在同圆或等 圆中，两个 圆心角、两 条弧、两条 弦、两条弦 心距中有一 组量相等， 它们所对应 的其余三组 量也相等,三、四者间的关系定理,知一得三,还可以得到：,相等,相等,相等,相等,相等,辨析1,定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？,辨析2,定理“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等，所对的圆心角相等，所对的优弧和劣
4、弧分别相等”中，为什么说是“所对的优弧和劣弧分别相等”？直接说成“所对的弧相等”行吗？,1.判断下列说法是否正确： （1）相等的圆心角所对的弧相等。（ ） （2）等弧所对的弦相等。（ ） （3）相等的弧所对的弦相等。（ ） （4）在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等。（ ）,小试身手,在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等故错误；,相等的弧不一定是等弧，所对的弦不一定相等；故错误；,在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧有两条，此题没说清楚是所对的优弧相等还是劣弧相等，故错误。,证明：, AB=AC,又ACB=60，, AB=BC=CA., AOBBOCAOC.,A,B,C,O,五
5、、例题,例1 如图，在O中， ,ACB=60,求证AOB=BOC=AOC,如图，AB是O 的直径， COD=35，求AOE 的度数,解：,六、练习,七、思考,1.如图，已知AB、CD为O的两条弦， AD=BC, 求证AB=CD。, ,2.如图，已知OA、OB是O的半径，点C为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC,提示：证 MOC NOC,证明： 连接OC 点C是弧AB的中点 AC = BC AOC=BOC（等弧对等角） OA=OB=O的半径点M、N分别是OA、OB的中点 OM=ON=1/2O的半径 又OC=OC OMCONC（SAS） MC=NC,3.如图，BC为O的直径
6、，OA是O的半径，弦BEOA, 求证：AC=AE, ,证明：连接OE， BEOA， B=COA，E=AOE， OE=OB， B=E， COA=AOE， AC=AE,4.已知：如图，AOB=90，D、C将 AB三等分，弦AB与半径OD、OC交于点F、E 求证：AE=DC=BF,证明：连接AC,BD C和D 是弧AB的三等分点 AC = CD = DB AC=CD=BD(在同圆中相等的弧所对的弦也相等） AOB=90 AOC=30 BOC=60 BAC=30 （在同圆中一条弧所对圆周角等于这条弧所对圆心角的一半） OA=OC OCA=（180-AOC）2=75 AEC=AOE+OAE=30+OAE
7、=OAC=75 AC=AE（等腰三角形的两个腰长相等） 同理：BD=BF 又AC=CD=BD AE=BF=CD,1、三个元素：圆心角、弦、弧、,归纳：,2、三个相等关系：,(1) 圆心角相等,(2) 弧相等,(3) 弦相等,知一得二,1、如图，已知点O是EPF 的平分线上一点，P点在圆外，以O为圆心的圆与EPF 的两边分别相交于A、B和C、D。 求证：AB=CD,.,随堂练习,2、已知:如图,A,B,C,D是O上的点，1=2。求证：AC=BD。,证明：1=2，1+BOC=2+BOC，AOC=BOD，AC=BD，AC=BD,3如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？,3如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一所中学，AP=160m，假设 拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是 否会受到噪音影响？试说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时 间为多少秒？,
