1、12014 届高考球体问题专项突破复习例 1 球面上有三点 、 、 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中ABC， 、 ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面8AB24C30积分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面， 是截面ABC的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式 求出球半径 22dRrR解： ， ， ，18AB4C30A ， 是以 为斜边的直角三角形22B 的外接圆的半径为 ，即截面圆的半径 ，1515r又球心到截面的距离为 ， ，得 Rd22)(30R球的表面积为 03(42S说明：涉及到球的
2、截面的问题，总是使用关系式 解题，我们可以通过两2dr个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量例 2自半径为 的球面上一点 ，引球的三条两两垂直的弦 ，求RMMCBA,的值2CMBA分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联解：以 为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥 补成一个长方体，, ABC则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径 = 22MCBA24)(R说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算例 3试比
3、较等体积的球与正方体的表面积的大小分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系解：设球的半径为 ，正方体的棱长为 ，它们的体积均为 ，raV则由 ， ，由 得 43,34V3r,33a 32232)(rS体32222 66VVa体2，即 2164324V3216体体S例 4 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？r分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台) 的体积等于球的体积，列式求解解：如图作轴截面，
4、设球未取出时水面高 ，球取出后，水面高hPCxPH ， ，rAC3rP则以 为底面直径的圆锥容积为 ，BAV231圆 锥 32)3(1rr球取出后水面下降到 ，水体积EF为 322 9)0tan(3131 xPHHV水又 ，则 ， 解得 球圆 锥水 349rxr15例 5设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的解：如图，正四面体 的中心为 ， 的中心为 ，则第一个球半径为正四面ABCDOBCD1O体的中心到各面的距离，第二
5、个球的半径为正四面体中心到顶点的距离设 ，正四面体的一个面的面积为 ROr,1 S依题意得 ， 又)(3rSVBCDA SrVBCDOBCA314即 r4所以 9142Rr体 2734R体说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径 ( 为正四面体的高) ，且外hr41接球的半径 rR3例 6把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体
6、的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2解：四球心组成棱长为 2 的正四面体的四个顶点，则正四面体的高3362)(2h而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径 1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为 362例 7如图 1 所示，在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切 （1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图 2 的截面图，在图 2 中，观察 与 和棱长间的关系即可Rr解：
7、如图 2，球心 和 在 上，过 ， 分别作 的垂线交于 1O2AC1O2BCAD,FE,则由 得 3,ABRr3,1， )(Rrr213（1）设两球体积之和为 ，V则 )(4)(4223 rRrRV= 22 )23(3(2R= 2)()3(34R当 时， 有最小值 当 时，体积之和有最小值4RV43r练习：1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为 4,棱柱的体积为 16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是 ( )A.16B.20C.24D.32答案:C解:由题意知,该棱柱是一个长方体,其长、宽、高分别为 2,2,4.所以其外接球的半径 R= .所以球的表面积是 S=4
8、R2=24.4162图242、一个正四面体的所有棱长都为 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )2A.3B.4C.3 3D.6答案:A以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体,则正方体内接于球,正方体棱长为 1,则体对角线长等于球的直径,即 2R= ,所以 S 球 =4 R2=3.33.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.解：将半球补成整个的球（见题中的图）,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为 a,球的半径为 R,则根据长方体的对角线性质,得
9、(2 R)2=a2+a2+(2a)2,即 4R2=6a2.所以 R= a.从而 V 半球 = R3= = a3,6362V 正方体 =a3.因此 V 半球 V 正方体 = a3 a3= 2.24.一个正四面体的所有棱长都为 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3B.4C.3 3D.6答案:A解析:以 PA,PB,PC 为棱作长方体,则该长方体的外接球就是三棱锥 P-ABC 的外接球,所以球的半径 R= =2,所以球的表面积是 S=4R2=16.221(6)35.过球 表面上一点 引三条长度相等的弦 、 、 ，且两两夹角都为 ，若OAABCD60球半径为 ，求弦 的长度B解：由条
10、件可抓住 是正四面体， 、 、 、 为球上四点，则球心在正四面CD5体中心，设 ，则截面 与球心的距离 ，过点 、 、 的截面aABCDRad36BCD圆半径 ，所以 得 r322)()3(R6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ）A 43 B 3 C 43 D 123 7. 直三棱柱 1C的各顶点都在同一球面上，若 ABC, 20，则此球的表面积等于 。 解:在 AB中 2, 10BAC,可得 23,由正弦定理,可得 ABC外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O，球心为 ，在 RTOB中，易得球半径 5R，故此球的
11、表面积为 24R. 8正三棱柱 1ABC内接于半径为 的球，若 ,A两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 答案 89.表面积为 23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A B 1 C 23 D 23答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a的正三角形，所以由284a知，1a，则此球的直径为 2，故选 A。10.已知正方体外接球的体积是 3，那么正方体的棱长等于（ D ）A.2 2 B. C. 324 D. 3411.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( C )A. 1 3 B. 13 C. 13 D. 1912.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱
12、柱的顶点都在同一个球面6上，且该六棱柱的体积为 98，底面周长为 3，则这个球的体积为 ( 34)13.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 1414.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为 1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2. 15.如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是_ 6716.棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 . 216.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（ C ）A 3B 2C 16D以上都不对17.设正方体的棱长为 ，则它的外接球的表面积为（ C ）233A 38 B2 C4 D 3418 （2012 新课标理）已知三棱锥 SAB的所有顶点都在球 O的求面上, ABC是边长为 1的正三角形, S为球 O的直径,且 2;则此棱锥的体积为 （ ）A 26B 36C 3D 219 （2012 辽宁文）已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3正方形.若 PA=2 ,则OAB 的面积为_.ABCPDEF
