1、东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2018 届高三第二次模拟考试数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分， 共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】由题意可得： ，该复数所对应的点为 ，位于第四象限.本题选择 D 选项.2. 设集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，所以 ，选 B.3. 已知平面向量 ， ，则 （ ）A. B. C.
2、 D. 【答案】D【解析】试题分析： ，故选 D。考点：本题主要考查平面向量的线性运算及坐标运算。点评：简单题，按公式进行运算。4. 设 ，则使 成立的必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】求解对数不等式 可得： ，结合选项可得：使 成立的必要不充分条件是 .本题选择 B 选项.5. 等比数列 中， ， ，则 （ ）A. B. 4 C. D. 【答案】A【解析】由等比数列性质得因为等比数列中 ， 同号，所以 ，选 A.6. 过抛物线 ： 的焦点 的直线交抛物线 于 、 两点，且 ，则弦 的长为（ ）A. B. 4 C. D. 【答案】C【解析】抛物线的焦点弦公式为：
3、，由抛物线方程可得： ，则弦 的长为 .本题选择 C 选项.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】结合流程图可知，程序运行过程如下：首先初始化数据： ，第一次循环： ，此时不满足 ，执行 ；第二次循环： ，此时不满足 ，执行 ；第三次循环： ，此时不满足 ，执行 ；第四次循环： ，此时满足 ，输出 的值 .本题选择 C 选项.8. 如图所示，一个三棱锥的的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B【解析】如图所示，在长宽高分别为 的长方体中，三棱锥 对应几何体的三视图即题中的三视图，据此可
4、得该几何体的体积：.本题选择 B 选项.9. 三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图” ，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】观察这个图可知，大正方形的边长为 ，总面积为 ，而阴影区域的边长为面积为 ，故飞镖落在阴影区域的概率为故答案选10. 矩形 中， ， ，沿 将三角形 折起，当平面 平面 时，四面体 的外接球的体积是（ ）A. B. C.
5、D. 【答案】C【解析】设矩形 的对角线 的交点为点 ，由矩形的性质结合题意可知： ，在翻折过程中 才长度不变，据此可知点 为球心，外接球半径 ，外接球的体积 .本题选择 C 选项.11. 双曲线 : 的左顶点为 ，右焦点为 ，过点 作一条直线与双曲线 的右支交于点 ，连接分别与直线： 交于点 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由双曲线的方程可知双曲线的焦点坐标为 ，设过焦点的直线方程为： ，P,Q 点的坐标为 ，联立直线方程与双曲线方程可得： ，则： ，由 ， 可得直线 的方程为： ，令 可得： ，即 ，同理可得： ，结合点 F 的坐标 可得： ， ，则： ，其中：据此可
6、得： ，故 ，故 .本题选择 C 选项.12. 已知定义域为 的函数 的导函数为 ，且满足 ，则下列正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解法一：设 ，则在 R 上恒成立，在 R 上单调递增. 本题选择 A 选项.解法二：构造特殊函数 ，该函数满足 ，而 ，结合 可知 ，排除 B 选项，结合 可知 ，排除 C 选项，构造特殊函数 ，该函数满足 ，而 ，结合 可知 ，排除 D 选项，本题选择 A 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的
7、单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 函数 的值域为_.【答案】【解析】由指数函数的性质可知： ，据此可知： ，函数的值域为 .14. 设实数 满足约束条件 ，则 的最大值为_.【答案】18【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 处取得最大值，最
8、大值为： .故答案为： 1815. 写出下列命题中所有真命题的序号_. 两个随机变量线性相关性越强，相关系数越接近 1；回归直线一定经过样本点的中心 ；线性回归方程 ，则当样本数据中 时，必有相应的 ；回归分析中，相关指数 的值越大说明残差平方和越小.【答案】【解析】逐一考查所给的说法：两个随机变量线性相关性越强，相关系数 越接近 1，原命题错误；回归直线一定经过样本点的中心 ，原命题正确；线性回归方程 ，则当样本数据中 时，可以预测 ，但是会存在误差，原命题错误；回归分析中，相关指数 的值越大说明残差平方和越小，原命题正确.综上可得，正确命题的序号为.16. 数列 中， ， ，设数列 的前
9、项和为 ，则_.【答案】【解析】由递推关系可得： ，即： ，且： ，据此可得数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，则 ， ，据此可得： ，三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 中的内角 的对边分别为 ，已知 .（1）求角 的大小；（2）求 的最大值，并求出取得最大值时角 的值.【答案】 （1） .（2）2, ， .【解析】试题分析：（1）利用余弦定理角化边可得 ，整理得 ，故 .（2）由（1）的结论可得 ，则 ，其中 ，故当 时， 的最大值为 2，此时 .试题解析：（1） ，整理得 ，即 ，因为 ，则 .（2）由（1）知 ，则 ，于是
10、，由 ，则 ，故当 时， 的最大值为 2，此时 .18. 某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出 50 名学生，并统计了他们的数学成绩（满分为 100 分） ，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）写出 的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（2）现从成绩在 内的学生中任选出两名同学，从成绩在 内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动.若 同学的数学成绩为 43 分， 同学的数学成绩为 分，求 两同学恰好都被选出的概率.【答案】(1) ,全年级学生的数学平均分为 73.8；（2） .【解析】试题分析：(1
11、)由题意结合频率分布表可得 ，据此估计本次考试全年级学生的数学平均分为.（2）设数学成绩在 内的四名同学分别为 ，成绩在 内的两名同学为 ，由题意可知选出的三名同学共有 12 种情况. 两名同学恰好都被选出的有 3 种情况，满足题意的概率值为 .试题解析：(1) ，估计本次考试全年级学生的数学平均分为：.（2）设数学成绩在 内的四名同学分别为 ，成绩在 内的两名同学为 ，则选出的三名同学可以为：、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共有 12 种情况.两名同学恰好都被选出的有 、 、 ，共有 3 种情况，所以 两名同学恰好都被选出的概率为 .19. 如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别是棱 、 的中点.（1）证明： ；（2）求点 到平面 的距离.【答案】 （1）见解析.（2） .【解析】试题分析：（1）连接 ，由几何关系可证得 平面 ，而 ，故 平面 ， ，由勾股定理可得 ，则 平面 ， .（2）设点 到平面 的距离为 ，转化顶点有 ，据此得到关于 d 的方程，解方程可
