1、2018 届湖南省岳阳市第一中学高三第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：求得集合 ，即可根据集合的交集运算，即可得到结果.详解：由集合 ，则 ，故选 B.点睛：本题考查集合的运算问题，对于集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图2已知向量 ， ，若 ，则实数 等于（ ）A. 3 B. 0
2、C. D. 0 或 3【答案】D【解析】分析：根据向量 ，列出方程，即可求解实数 的值.详解：由题意 ，则 ，解得 或 ，故选 D.点睛：本题考查了向量共线的应用，根据共线向量，列出方程是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.3设复数 ，则 （ ）A. B. 5 C. D. 【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算，求得复数 ，即可求解复数的模.详解：由题意 ，所以 ，故选 C.点睛：本题考查了复数的四则运算及复数模的计算，其中根据复数的除法运算求得复数 ，再利用复数模的公式求模是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.4已知等差数列 的公差为 -2，且 成等比数列，则此数列 的前
3、 11 项的和（ ）A. 110 B. 80 C. 100 D. 120【答案】A【解析】分析：由题意，等差数列 的公差为 ，根据 成等比数列，求解，利用等差数列求和公式，即可求解结果.详解：由题意，等差数列 的公差为 ，且 成等比数列，则 ，解得 ，所以 ，故选 A.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决
4、等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.5双曲线 的离心率为 2，则此双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据双曲线的离心率为 ，求得 ，即可得到双曲线的渐近线方程.详解：由题意，双曲线 的离心率为 ，即 ，所以 ，解得 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，故选 B.点睛：本题考查了双曲线的几何性质渐近线方程的求解，根据双曲线的离心率，得到 是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.6已知命题 ：若 ，则 ，命题 ；下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意，得到命题 为假命题，命题
5、 为真命题，再利用真值表即可得到复合命题的真假.详解：由题意，命题 “若 ，则 ”为假命题，则 为真命题；又当 ，则 ，所以 ，所以命题 为真命题，则 为假命题，所以根据复合命题的真值表，可得 为真命题，故选 C.点睛：本题考查了命题的真假判定，其中解答中正确判定命题 为假命题，命题 为真命题，再利用复合命题的真值表进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7设实数 满足 ，则 的最小值为（ ）A. -0.5 B. -2 C. -5 D. 5【答案】C【解析】分析：画出约束条件所表示的可行域，把目标函数化为直线 ，可判定直线过点 时，目标函数取得最小值.详解：画出约束条件所表示
6、的平面区域，如图所示，设目标函数 ，可化为直线 ，当直线 过点 时，目标函数取得最小值，又由 ，解得 ，所以最小值为 ，故选 C.点睛：本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义，着重考查了分析分析问题和解答问题的能力8在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由图可知这是一个半圆柱和一个三棱锥组成的几何体，所以侧视图为三角形，故选 D.【考点】三视图9我国古代伟大的数学家秦九韶
7、提出了一种将一元 次多项式的求值问题转化为 个一次式的算法，数学上称之为秦九韶算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 的值分别为 4，2，则输出 的值为（ ）A. 15 B. 31 C. 69 D. 127【答案】B【解析】分析：由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到 的值，当不满足时，终止循环，得到结果.详解：由题意，初始值 ，执行如图所示的程序框图：第一次循环：满足条件， ；第二次循环：满足条件， ；第三次循环：满足条件， ；第一次循环：满足条件， ，此时终止循环，输出结果 ，故选 B.点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次
8、循环得到的的值是解答的挂件，着重考查了学生的推理与运算能力.10若函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：令 ，得到 ，判断 的单调性，求得函数的最值，即可得到结果.详解：令 ，则 ，由 在 上递增，可得 在 上递增，所以 的最小值为 ，的最大值为 ，所以 ，故选 B.点睛：本题主要考查了函数值的求解，解答中利用换元法，得到新函数，利用新函数的单调性，求解函数的最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.11如图，平面 与平面 相交于 ， ，点 ，点BCACD， ABC，则下列叙述错误的是DBCA. 直线 AD
9、 与 BC 是异面直线B. 过 AD 只能作一个平面与 BC 平行C. 过 AD 只能作一个平面与 BC 垂直D. 过 D 只能作唯一平面与 BC 垂直，但过 D 可作无数个平面与 BC 平行【答案】C【解析】由异面直线判定定理得直线 AD 与 BC 是异面直线；在平面 内仅有一条直线过点 D 且与 BC 平行，这条直线与 AD 确定一个平面与与 BC 平行，即过 AD 只能作一个平面与 BC 平行；若 AD 垂直平面 ，则过 AD 的平面都与 BC 垂直，因此 C 错；过 D 只能作唯一平面与 BC 垂直，但过 D 可作无数个平面与 BC 平行；选 C.12已知数列 满足当 时 ，若数列 的
10、前 项和为 ，则满足 的 的最小值为（ ）A. 59 B. 58 C. 57 D. 60【答案】A【解析】分析：根据题意，分别得到各段上数列的通项公式及和的值，进而求得的 的范围，即可求解 的最小值.详解：由题意可得：当 时， ，即 ，则 ，所以 ；当 时， ，即 ，则 ，所以 ；当 时， ，即 ，则 ，所以 ；当 时， ，即 ，则 ，所以 ；当 时， ，即 ，则 ，所以 ；当 时， ，即 ，则 ，所以 ，则 ，设在第 到第 中，则有 项的和为 ，令 ，解得 ，所以使得 时， ，所以 的最小值为 ，故选 A.点睛：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型数列模型，判断是
11、等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论. 二、填空题13有 3 个活动小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学在同一个兴趣小组的概率为_ 【答案】 1【解析】甲、乙两位同学参加 3 个小组的所有可能性有 339( 种) ，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有 3(种)故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P .3914已知 的内角 的对边分别为 ，且 ， ，则_【答案】
12、【解析】分析：由正弦定理和同角的三角函数关系式求得角 的大小，再利用三角形内角和与两角和的余弦公式求得 的值.详解：在 中， ，由正弦定理得 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ， ，又 ，点睛：本题考查了三角函数的化简求值，同时考查了正弦定理在解三角形中的应用，其中根据正弦定理的边角互化，求得角 是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.15已知 若 ， 恒成立，则 的取值范围为_【答案】【解析】分析：由题意若 ，即函数 ，根据分段函数及二次函数的图象与性质，即可求解实数 的取值范围.详解：由题意，若 ，即函数 ，要使得函数的最大值为 ，当 时， ，此时函数的对称轴 ，当 时， ，开口
13、向下，对称的方程 ，则 ，即 ，解得 ，综上所述，实数 的取值范围是 .点睛：本题考查了分段的应用，其中(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.16抛物线 的焦点为 F， 为抛物线上的两点，以 为直径20ypxAB， AB的圆过点 F，过 AB 的中点 作抛物线的准线的垂线 ，垂足为 ，则 的最MMNN大值为_【答案】 2【解析】由抛物线定义得 = ,即MNAB222222|AFB
14、F的最大值为 .MNAB2点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若 为抛物线 上一点，由定义易得 ；若过0,Pxy2(0)ypx02pPFx焦点的弦 AB 的端点坐标为 ，则弦长为1,AxyB可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦1212,ABxpx半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到三、解答题17已知 ， ，设函数 .（1）求函数 的单调增区间；（2）设 的内角 所对的边分别为 ，且 成等比数列，求 的取值范围.【答案】(1) , ;(2) .【解析】分析：（1）由 ，令 ，即可求得函数的单调递增区间.（2）由 ，利用正弦定理得
15、 ，得 ，求得 ，即可得到的取值范围.详解：（1） ，令 ，则 ， ，所以函数 的单调递增区间为 ， .（2）由 可知 ，（当且仅当 时取等号） ，所以 ， ， ，综上， 的取值范围为 .点睛：此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.18 18如图，多面体 是由三棱柱 截去一部分后而成， 是的中点.（1）若 ， 平面 ， ，求点 到面 的距离；（2）若 为 的中点， 在 上，且 ，问 为何
16、值时，直线 平面 ？【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）由 ， ，可得 面 ，即点 到面的距离等于 ；（2）当 时，直线 平面 ，理由如下：取 的中点 ，连接 ，可得 ，当 时，四边形 为平行四边形，即 .试题解析：（1）多面体 是由三棱柱 截去一部分后而成， 是的中点， 平面 ， ， 面 ，则 ， ，又 ， 是 的中点， ， ，可得，即 ， 面 ，点 到面 的距离（2）当 时，直线 平面 ，理由如下：设 ，则 ，取 的中点 ，连接 ，可得 ， 是梯形 的中位线， ，当时，四边形 为平行四边形，即 ， 面 ，直线平面 ，此时点睛：本题主要考查了点到面的距离，直线与平面平行的判定，属于基础题；在求点到面的距离中主要采用证明线面垂直找出距离或者等体积法；线面平行主要通过一下几种方式：1、利用三角形中位线； 2、构造平行四边形；3、利用面面平行等.19随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加短期培训（称为 类工人） ，另外 750 名工人参加过长期培训（称为 类工人） ，从该工厂的工人中共抽查了 100 名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到 类工人生产能力的茎叶图（左图） ， 类工人生产能力的频率分布直方图（右图）.
