1、2.4 内积空间中的正交性Inner Product Spaces and Orthogonality在三维空间中，如右图 1 所示任取一平面 ，空间中的每一个矢量 必能分解成两个直Mx交的向量和，其中一个向量 在平面 上，另一个向量 与平面 垂直，即 ，0xz0z这种向量的分解形式，在一般的内积空间是否成立？ 0xzMx0xzZX YO图 2.4.1 三维空间向量的分解，向量 ，其中0xz0xz2.4.1 正交分解定义 2.4.1 正交设 是内积空间， ，如果 ，则称 与 正交或垂直，记为 如果X,xyX(,)0xyxyxy的子集 中的每一个向量都与子集 中的每一个向量正交，则称 与 正交，
2、记ABAB为 特别记 ，即向量 与 中的每一个向量垂直BA定理 2.4.1 勾股定理 设 是内积空间， ，若 ，则 X,xyXxy22xyy证明 2(,)(,)xyxy(,),2注 1: 在内积空间中，是否存在 ？显然由22xyyxy，2xy(,),(,),2Re(,)可知在实内积空间中 成立22xyyx定义 2.4.2 正交补 Orthogonal complement设 是内积空间， ，记 ，则称 为子集 的正交补显XMX|,xMXM然有 ， 以及 00性质 2.4.1 设 是内积空间， ，则 是 的闭线性子空间证明 (1) 是 的线性子空间X， ， ，有,xyM,KzM，(,)(,)(,
3、)(,)(,)0xyxyzxyz于是 ，因此 是 的线性子空间xyX(2) 是 的闭子空间X设 ，且依范数 ，于是 ，有nxM0nx()zM,)lim,li(,)0nnzxx因此 ，即 是 的闭子空间0xX注 2: 由于完备度量空间中的子空间完备的充要条件是子空间闭，因此在 Hilbert 空间中(完备的内积空间)，任意子集 的正交补 是完备的子空间，即 Hilbert 空间的正交补M也是 Hilbert 空间M定义 2.4.3 正交分解设 是内积空间 的子空间， ，如果存在 ，使得 ，则称XxX0,xMz0xz为 在 上的正交投影或正交分解0x引理 2.4.1 设 是内积空间， 是 的线性子
4、空间， ，若存在 ，使得xXyM，那么 (,)xydMxy证明 令 ，若 不垂直于 ，则存在 ，使得 ，显然 zzM1y1(,)0zy10y因为 ，有K2111(,)zyzy2111,(,(,)zyy2111(,)(,)(,)zyzy特别取 ，则可得1(,)yz，222 2111(,)(,) (,)yzzzyxydxM即知 又由于 ，所以1(,)ydxM111()(,)zyxyxydx产生矛盾，故 xy定理 2.4.1 投影定理 设 是 Hilbert 空间 的闭线性子空间，则 中的元素 在 中存在唯一的正交投影，MHHxM即 ， ，其中 (或表示为 )xH0xz0,xMz证明 (1) 寻找
5、进行分解0，设 ，则存在 ，使得x(,)inf0yMdxxany，n()首先证 是 中的基本列，因为 有ny,mN22()()mnmnyxy222()()nmnxy2214mnnyxy因为 及 是子空间，知 ，所以 ，于是,mnyM1()mM()2mnyxa2mny24nyxya0,故 是 中的基本列，又因 是闭子空间，即为完备空间，所以 是 中的收敛ny nyM列不妨设 ，则有0()nx0(,)axdM令 ，因此有 ，其中 ，且根据前面引理知 0zx0xz0z(2) 分解的唯一性假设还存在 ， 使得 ，那么有1xM1z1xz， ，0()()1于是只需 的分解具有唯一性若 ， ， ，则0yzz
6、20(,),)(,)(,yy可见 及 ，即 的分解具有唯一性0yz例 2.4.1 证明在内积空间上， 的充要条件是 有 xyKxy证明 必要性 若 ，则有 ， 有 ，于是由勾股定xy(,)0(,)(,)0理得： 22xy充分性 若 有 ，且 时，Kxy0y20(,)(,xyx)(,),yx,),特别取 ，于是，(,)xy20xy2(,)(,)0xyxy故 ，即 (,)0xyxy2.4.2 标准正交系在三维空间中，任何一向量 可写成 ，其中123aee， ， ， ， ， ，1(,0)e2(,10)e3(,)e1(,)22(,)a33(,)ae显然当 时， ，而 可见 ，那么在有限维内ijiji
7、ee积空间中是否具有同样的结论呢？定义 2.4.4 标准正交系设 是内积空间， 是 中的点列，若满足XneX1(,)0ijije则称 为 中的标准正交系ne例 2.4.2 在 维内积空间 中，向量组nR， ， ， ，1(,0)e 2(0,1,)e (0,1)ne是 的一个标准正交系nR例 2.4.3 在 中，向量 ( )，则 是 的一个标准正交2l(,)nn 1,2 ne2l系例 2.4.4 在 中，对于 ，定义内积为2,L2,fgL1(,)()fftgdt则下列三组向量均是 的标准正交系， 2,L；cos,12,nnex；i,nn*001,cos,in,12,2 nnneeex注 3: 如果
8、线性空间上中的点列 的任意有限个元素线性独立，则称 为线性独立n ne系可验证标准正交系是线性独立系设 是标准正交系 的一个有限子集，12,kne n如果存在 使得12,k K，120knnee那么对于任意的 ( )j1k.11,(,)(,)(,)(0,)jj jj tj tjjkkjnnnnnt teeeee 反过来，任何一个线性独立系经过正交化后为标准正交系定理 2.4.2 设 为内积空间 的标准正交系， ，记neX12,knne ne，12,knMspae那么 ， 是 在 上的正交投影即 ， ， xX01(,)iiknixeM0xM0xz0()xM证明 显然 ， ，由于存在 ，使得 1,
9、ikniye于是0y12,k K011(,)(,)iiikknnixxe111,(,)i iiikkknnniixe11,),)(,0i iiikkininxe注 4: 上述定理中的 为 维闭子空间，作为内积空间 与 同构， 也是完备的子MMkR空间，根据投影定理， 在 上的正交投影 唯一存在x0x定理 2.4.3 设 为内积空间 中任意的一组线性独立系，则可将 用格拉姆-施密nXnx特(Gram-Schmidt)方法化为标准正交系 ，且对任何自然数 ，有nen(),kK， ，()1nkx()1nkx同时 1212,nnspaespa 证明 令 ，则有 记 ，根据上述定理可将 在 上做正交1xe11Mspane2x1M分解 ，即 ， ，得 212(,)xev2121v221(,)vx令 ，则有 ， ，且有2ee， 212(,)xv212(,)xev记 ，将 在 上做正交分解 ，则 及212,Mspane32M31323,(,)xev30，得 ，可令 ，从而治 是 的线性组合，3v31(,)(,)vxxe3ve1,是 的线性组合 e12,x以此类推，可令 ，且有 正交，进而令 ，显然1(,)nniivxe121,ne nve，于是1ne11()1(,)(,)nnnni iii ixvxevxee同时可得 是 的线性组合ne12,n线性与非线性泛函- 63 -
