1、- 1 -相似三角形基本知识点总结及练习 知识点一：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得 AB、CD 的长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的比是 AB:CDm：n例：已知线段 AB=2.5m,线段 CD=400cm，求线段 AB 与 CD 的比。2.比例线段：四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 （或dcbaa：b=c：d） ，那么，这四条线段 a、b、c、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 （注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。 ）例：b,a,d,c 是成
2、比例线段，其中 a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段 d 的长度。（2）比例性质1.基本性质: （两外项的积等于两内项积）bcadcb2.反比性质： (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()abcdbbca， 交 换 内 项， 交 换 外 项 同 时 交 换 内 外 项4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果 ，那么 )0(nfdbnmfedb banfdbmeca注意：(1)此性质的证明运用了“设 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法k(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时
3、乘以一个数，再利用等比性质也成立专业整理 WORD 完美格式 例：已知 的 值求 fdbecafdbfedcba),0(545.合比性质： （分子加（减）分母,分母不变）dcbadc知识点二：平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。用符号语言表示：AD/BE/CF, ABBC=DEEF,BCAC=EFDF,ABAC=DEDF2.推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。 几何语言：由 DEBC 可得： .此推论较原定理应ACEBDAECDB或或用更加广泛,条件是平行.例：如图，在四边形 ABCD 中，AD/BC,
4、EF/BC, =_。AGGC=23，则 DFDC（1 ） 是“A”字型（2 ） 是“8 ”字型经常考，关键在于找专业整理 WORD 完美格式 知识点三：相似形多边形1.定义：各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫做相似多边形。2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。3.判定：如果两个多边形的对应边成比列，对应角相等，那么这两个多边形相似。（注意：判断两个多边形相似时，一要看各个角是否对应相等，二要看各条边是否对应成比列，这两个条件缺一不可。 ）4.任意两个等边三角形相似，任意两个正方形相似，任意两个正 n 边形相似。例 1：下列判断正确的是（
5、）A.两个矩形一定相似 。 B.两个平行四边形一定相似。C.两个正方形一定相似。 D.两个菱形一定相似。例 2：小明将一张报纸对折，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，你能算出报纸的长与宽的比吗？知识点四：黄金分割(1)定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ，即ACBAC2=ABBC，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与AB 的比叫做黄金比。 618.025AB所以： 0.618 。AC215AB253例：已知线段 AB=10cm,点 C 是 AB 的 黄金分割点，且 AC BC ，求 AC 和 BC
6、的长。(2）黄金分割的几何作图：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点.作法：过点 B 作 BDAB，使 ；BD=12AB连结 AD，在 DA 上截取 DE=DB；专业整理 WORD 完美格式 在 AB 上截取 AC=AE，则点 C 就是所求作的线段 AB 的黄金分割点.黄金分割的比值为：.（3）黄金矩形：在矩形中，如果宽与长的比是黄金比，那么这个矩形叫做黄金矩形。（4）黄金三角形：顶角为 36。 的等腰三角形叫做黄金三角形，因为该三角形的底边比上腰长等于5-12例：如图， ABC 中， A=36， AB=AC， BD 是角平分线(1)求证： AD2=CDAC；(2
7、)若 AC=a，求 AD 知识点五：相似三角形1、相似三角形（1）定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似（相似比为 1） 。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。（2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。（3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。如 ABC 与 DEF 相似，记作 ABC DEF。相似比为 k。（4）判定：定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的
8、三角形与原三角形相似。2.三角形相似的判定定理：判定定理 1：两角对应相等的两个三角形相似。(此定理用的最多)专业整理 WORD 完美格式 几何语言：在ABC 和DEF 中如果AC， 点 D 在 BC 上，且 DCAC,ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F，点 E 是 AB 的中点，连结 EF.（1）求证：EFBC.（第 10 题） A B C DDCBA第 3 题图AEB专业整理 WORD 完美格式 （2）若四边形 BDFE 的面积为 6，求ABD 的面积. 2、如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N求证
9、：（1） CGAE；（2） .MND3、如图，四边形 ABCD和四边形 AE都是平行四边形，点 R为 DE的中点， BR分别交 ， 于点 PQ， （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外） ；（2）求 :R4、如图， ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F， CDE21。求证：ABFCEB;若DEF 的面积为 2，求 ABCD 的面积。AB CDEP ORFA DEB C专业整理 WORD 完美格式 5、如图所示， E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的动点， EF DE 交 BC 于点 F（1）求证： ADE BEF；（2）设正方形的边长为 4， AE= x， BF= y当 x取什么值时， y有最大值?并求出这个最大值
