1、 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二12012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题:目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线 的渐近线条数 ( )21xy(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数 ，其中 为正整数,则 ( )2()()xxnxfee n(0)f(A) (B) (C) (D) 1!n 1!1!n1!n(3) 设 ，则数列 有界是数列 收敛的 1230(,23),n nnaSaa nSna( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非
2、必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设 则有 20sind,(12,3)kxIek( )(A) (B) (C) (D) 123I321II231II213I(5) 设函数 为可微函数，且对任意的 都有 则使不等式(,fxy） ,xy(,)(,)0,xy成立的一个充分条件是 12(,)(,)fxyf( )(A) (B) (C) (D) 122,y122,xy122,xy122,xy(6) 设区域 由曲线 围成，则 Dsin,5()dD( )(A) (B) 2 (C) -2 (D) - 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二2(7) 设 , , , ,其中 为任意
3、常数，则下列向10c2131c41c1234,c量组线性相关的为 ( )(A) (B) (C) (D) 123, 124, 134,234,(8) 设 为 3 阶矩阵， 为 3 阶可逆矩阵，且 .若 ，AP102PA123,P则 ( )123,Q1Q(A) (B) (C) (D)0102201201二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.:(9) 设 是由方程 所确定的隐函数，则 .()yx21yxe20xdy(10).2221limnnn(11) 设 其中函数 可微，则 .l,zfxyfu2zxy(12) 微分方程 满足条件 的解为 .2d3d
4、01x(13) 曲线 上曲率为 的点的坐标是 .2yx(14) 设 为3阶矩阵， ， 为 伴随矩阵，若交换 的第1行与第2行得矩阵 ， 则A=3*AAB. *B三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二3已知函数 ，记 ，1sinxf0limxaf(I)求 的值;a(II)若 时， 与 是同阶无穷小，求常数 的值.0xfk k(16)(本题满分 10 分)求函数 的极值.2,xyfe(17)(本题满分 12 分)过 点作曲线 的切线,切点为 ,又 与
5、轴交于 点,区域 由 与直线(0,1:lnLALxBDL围成,求区域 的面积及 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.ABDx(18)(本题满分 10 分)计算二重积分 ，其中区域 为曲线 与极轴围成.dxyD1cos0r(19)(本题满分 10 分)已知函数 满足方程 及 ,(f()2()ffxf()2xfxfe(I) 求 的表达式;x(II) 求曲线 的拐点.220()dxyfft(20)(本题满分 10 分)证明 , .21lncos1x(1)x(21)(本题满分 10 分)(I)证明方程 ，在区间 内有且仅有一个实根；xn-1+n的 整 数 1,2(II)记(I)中的实根为 ，证明 存在，并求此极限.nlimnx(22)(本题满分 11 分)设 ，10aA10(I) 计算行列式 ；(II) 当实数 为何值时，方程组 有无穷多解，并求其通解.aAx(23)(本题满分 11 分)2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二4已知 ，二次型 的秩为 2，10Aa123,TfxAx(I) 求实数 的值；(II) 求正交变换 将 化为标准形.xQyf
