1、专题七 二次函数综合题,自学指导2（6分钟）,A,已知：O为坐标原点，A(2, 1)，点P是x轴上一动点，当AOP是直角三角形求P点坐标,已知：O为坐标原点，A(2,4),点P是直线x=3上一动点，当AOP是直角三角形求P点坐标.,A,0,3,A,0,3,P1,P2,P3,P4,两线一圆,类型二 直角三角形的存在性问题 (安顺2018.26(3),【方法指导】,典例精讲,例 如图，在平面直角坐标系中，抛物线图象过点C(6，6)，并与x轴交于原点O和A(4，0)，且抛物线顶点为D. (1)求此抛物线的解析式；,例题图,【思维教练】要求抛物线的解析式，已知抛物线与x轴有两个交点，故可考虑设抛物线的
2、两点式，再将C点代入即可,解：抛物线图象与x轴交于原点O和A(4，0)， 设抛物线的解析式为ya(x0)(x4)， 将C(6，6)代入，得a ， y x(x4)， 即此抛物线的解析式为y x22x;,(2)连接CD，过点A作x轴的垂线交CD于点B，连接OB，求线段OB的长；,例题图,【思维教练】要求线段OB的长度，需求得B点的纵坐标，利用勾股定理即可求出其长度，B点的横坐标已知，且在直线CD上，故可以借助直线CD的解析式来求其纵坐标,解：抛物线的解析式为y x22x，y (x2)22， 顶点D的坐标为(2，2)， 设直线CD的解析式为ykxb(k0)， 将D(2，2)，C(6，6)代入，得 ，
3、解得 ， 直线CD的解析式为y2x6，当x4时，y2, B(4，2)，即AB2，OA4， 在RtBOA中，由勾股定理，得 OB ；,(3)连接OD, OC，判断OCD的形状，并说明理由；,例题图,【思维教练】判断OCD的形状，可先目测，得到初步猜想OCD为直角三角形，进而证明，得出结论，在这里DOC90的判断方法可根据勾股定理的逆定理，由三角形的边长入手，也可以从角度入手，甚至可以考虑圆的直径所对的圆周角是90.,解：OCD是直角三角形，理由如下： 由勾股定理，得 OC2626272， OD222(2)28， CD2(62)2(62)280， OC2OD2CD2， OCD是直角三角形；,(4)
4、在x轴上是否存在一点E，使COE是以OC为斜边的直角三角形；,例题图,【思维教练】要使COE是以OC为斜边的直角三角形，则OEC90，故过点C作x轴的垂线，垂足即为所求,解：存在，如解图，过点C作CE x轴于点E，则COE是以OC为斜边 的直角三角形C(6，6)， E(6，0)；,例题解图,(5)点N是抛物线上一动点，且DCN为直角三角形，求出点N的坐标,例题图,【思维教练】要使DCN为直角三角形，需对哪个点作直角顶点进行讨论，故需分DCN90，CDN90，DNC90这三种情况讨论,解：DCN为直角三角形，分以下三种情况讨论： 当DCN90时，如解图，由(2)可知直线CD的解析式为y2x 6，
5、 CNCD，设直线CN的解析式 y xa， 直线CN过点C(6，6)，a9， 直线CN的解析式为 y x9， 联立 ， 解得 (舍去), ， N1(3， )；,例题解图,当CDN90时，如解图， 点N在抛物线上， 故可设点N的坐标为(x， x22x)，D(2，2)，C(6，6)， CN2(x6)2( x22x6)2，DN 2(x2)2( x22x2)2， CD2(62)2(62)280，CDN90， 在RtCDN中，CN 2DN 2CD 2， 即(x6)2( x22x6)2(x2)2( x22x2)280， 解得x11，x22(舍去) 将x1代入y x22x中，得y ， N2(1， )；,例题
6、解图,当DNC90时，如解图， 设CD中点为B，由(3)可知OCD为直角三角，以点B为圆心，CD为直径的圆与抛物线交于点O， 此时N3(0，0) 综上所述，DCN为直角三角形时， 点N的坐标为N1(3， )，N2(1， )， N3(0，0),例题解图,针对演练,1. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc(a0)与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线ykxn(k0)经过B、C两点已知A(1，0)，C(0，3)，且BC5. (1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式)； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以 B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？ 若存在，请求出点
7、P的坐标；若不存在，请说 明理由 第1题图,解：(1)点C的坐标为(0，3)，OC3， 在RtBOC中，OC3，BC5， OB 4， 点B的坐标为(4，0)， 将点B(4，0)，点C(0，3)代入直线ykxn(k0)中，得 ，解得 ，直线BC的解析式为y= x3，,点A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)在抛物线上， ，解得 ，抛物线的解析式为 ； (2)存在 由(1)知抛物线解析式为 ，,对称轴l为直线x= = ， 设点P的坐标为( ，t)， 如解图，过点C作CDl于点D，连接PC，PB， 设直线l与x轴的交点为点M， 则点D的坐标为( ，3)，点M的坐标为( ，0)， 第1题解图 则CD
8、 ，PD|t3|，PM|t|，BM4 ， PC2CD2PD2 (t3)2， PB2PM2BM2t2 ，BC225，,当BCP是直角三角形时，则有： ()当BCP90时，即PCBC， PC2BC2PB2，即 (t3)225t2 ， 解得t= ，此时点P的坐标为( ， )； ()当PBC90时，即BPBC， BP2BC2PC2，即t2 25 (t3)2， 解得t2，此时点P的坐标为( ，2)； ()当BPC90时，即CPBP，BP2PC2BC2， 即t2 (t3)225，,解得t1 ，t2 ， 此时点P的坐标为( ， )，( ， ) 综上所述，存在满足条件的点P，点P的坐标为( ， )或( ， )
9、 或( ， ),2. 设抛物线的解析式为yax2，过点B1(1，0)作x轴的垂线，交抛物线于点A1(1，2)；过点B2( ，0)作x轴的垂线，交抛物线于点A2；过点 Bn( )n1，0)(n为正整数)作x轴的垂线，交抛物线于点An.连接AnBn1，得RtAnBnBn1. (1)求a的值； (2)直接写出线段AnBn， BnBn1的长(用含n的式子表示)； 第2题图,(2)AnBn( )2n3，BnBn1( )n. AnBn232n，2( )n12，2( )2n2或2 ， BnBn12n或( )n1( )n；,(3)在系列RtAnBnBn1中，探究下列问题： 当n为何值时，RtAnBnBn1是等
10、腰直角三角形？ 设1kmn(k，m均为正整数)，问：是否存在RtAkBkBk1与RtAmBmBm1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由,解：(1)点A1(1，2)在抛物线上， 2a12，得a2；,(3)由AnBnBnBn1，得( )2n3( )n，解得n3， 所以，当n3时，RtAnBnBn1是等腰直角三角形； 依题意得：AkBkBk1AmBmBm190， ()当RtAkBkBk1RtAmBmBm1时， ，即 ， ， 第2题解图 所以，km，(舍去)；,()当RtAkBkBk1RtBm1BmAm时， ，即 ， ，2k3mk2m3，mk6， 1kmn(k，m均为正整数)，取 或 ，,当 时，RtA1B1B2RtB6B5A5，相似比为： 2664;当 时，RtA2B2B3RtB5B4A4，相似比为： 238.,
