1、1函数与导数1(2006 江苏)设 a 为实数，记函数 的最大值为 g(a).xxaf 11)(2（）求 g(a)；（）试求满足 的所有实数 a.g解：设 ，要使 有意义，必须 且 ，即 ，xt1t01x ，且 的取值范围是 .4,220t2,由得： ，不妨设 ， .tatm)12() at,t（I）由题意知 即为函数 ， 的最大值，)(ag(t1,t直线 是抛物线 的对称轴，可分以下几种情况进行讨论：t1)t2（1 ）当 时，函数 ， 的图象是开口向上的抛物线的一段，0(ty,由 知 在 上单调递增，故 ；at)(tm,)(ag2m（2 ）当 时， ， ，有 =2；2t（3 ）当 时，函数
2、， 的图象是开口向下的抛物线的一段，0)(y,若 即 时， ，at12,(a)(ag2)若 即 时， ，,21,( am1(若 即 时， .at1)2()0a)(ag2综上所述，有 = .)(g)2(21,1a（II）若 a0，则 0，此时 g(a)=g( ) a+2= +2 a = a =1(舍去 a=1)；1a 1a 1a 1a若 0，使得)1)(2axxf，则称函数 )(f具有性质 aP.(1)设函数 fln(b，其中 b为实数，(i)求证：函数 )(x具有性质 )P； (ii)求函数 )(xf的单调区间；(2)已知函数 g具有性质 2(. 给定 1212,x设 m为实数，21)(xm，
3、 )m，且 ，若| )|0，所以对任意的 都有 (0x， ()g在 ,)上递增。又 1212,)xm。当 ,m时， ，且 1212()(),()()xmxxm，综合以上讨论，得：所求 m的取值范围是（0，1 ） 。5（方法二）由题设知， ()gx的导函数 2()(1)gxhx，其中函数 ()0hx对于任意的 ),1(x都成立。所以，当 1时， 2 ，从而 g在区间 ,上单调递增。当 (0,)m时，有 1211()()mxxmx，12x，得 2,，同理可得 12(,)x，所以由 ()g的单调性知 ()g、 1(),gx，从而有| | 21x|，符合题设。当 0m时， 2()()mx，1211()
4、xx，于是由 1,及 ()gx的单调性知()gg，所以| )(g| (2|，与题设不符。当 m时，同理可得 12,x，进而得| )| )(21x|，与题设不符。因此综合、得所求的 m的取值范围是（0，1 ） 。4 （ 2008 江苏卷） （本小题满分 14 分）已知函数 ， （ 为常数） 函数 定义为：对11()3xpf22()3xpf12,Rp()fx每个给定的实数 ， 1122,()()()ffxff若若（1）求 对所有实数 成立的充分必要条件（用 表示） ；1()fxx12,p（2）设 是两个实数，满足 ，且 若 ，求证：函数,abab12,(,)pab()fb在区间 上的单调增区间的长
5、度之和为 （闭区间 的长度定义为 ）()fx ,mnnm解：（1）由 的定义可知， （对所有实数 ）等价于()fx1()fxx（对所有实数 ）这又等价于 ，12123ppA6Oyx(a,f(a) (b,f(b)图 1Oyx(a,f(a) (b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)图2即 对所有实数 均成立. （*）123log23xpx由于 的最大值为 ，1212()()()xppxR12p故（*）等价于 ，即 ，这就是所求的充分必要条件123p123log（2 ） 分两种情形讨论（i）当 时，由（1）知 （对所有实数 ）123log1()fx,x则由 及 易知 ， fafbpb2a
6、b再由 的单调性可知，111,()3px函数 在区间 上的单调增区间的长度f,ab为 （参见示意图 1）2b（ii） 时，不妨设 ，则 ，于是13plog2,p213logp当 时，有 ，从而 ；x11()3()xxff 1()fx当 时，有2 31212122log()ppppxpf从而 ；()fx当 时， ，及 ，由方程12p11()3xpf22()3pxf123xppx解得 图象交点的横坐标为()fx与1203log显然 ，1022132()lpxpp这表明 在 与 之间。由易知101022(),()xff综上可知，在区间 上， （参见示意图 2）,ab012(),()axff b故由函
7、数 及 的单调性可知， 在区间 上的单调增区间的长度之和为1()fx2ff,，由于 ，即 ，得0(p()fb123pap123logab7故由、得 012123()()log2baxpbp综合（i） （ii） 可知， 在区间 上的单调增区间的长度和为 。f,a5 已知函数 R，且 .bxxf ,(ln2 )0（1 ）当 时，若函数 存在单调递减区间，求 的取值范围；bf a（2 ）当 且 时，讨论函数 的零点个数.0a12xf解：（1）当 时，函数 ，其定义域是 ，bxfa2ln,0 . axf 121 函数 存在单调递减区间，f 在 上有无穷多个解.xaxf12 0,x关于 的不等式 在 上
8、有无穷多个解. 2,0 当 时，函数 的图象为开口向上的抛物线，0a1xay关于 的不等式 在 上总有无穷多个解. x2x, 当 时，函数 的图象为开口向下的抛物线，其对称轴为xy.01ax要使关于 的不等式 在 上有无穷多个解.012xa,必须 ，解得 ，此时 . 4802a综上所述， 的取值范围为 . (,),另解：分离系数：不等式 在 上有无穷多个解， 12xa,则关于 的不等式 在 上有无穷多个解， x21()0 ，即 ，而 . 21a208 的取值范围为 . a1(,0),2（2 ）当 时，函数 ，其定义域是 ，1bxf2ln1axx,0 . ()fxa令 ，得 ，即 ， 0f2(1
9、)0xx2(1)0axx， (1)xa， ，则 ， 21x 当 时， ；当 1 时， .x00f 0xf函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减. f, ,当 时，函数 取得最大值，其值为 . 1xxf ln112faba 当 时， ，若 , 则 , 即 .a01x0xf此时，函数 与 轴只有一个交点，故函数 只有一个零点； xf 当 时， ，1又 ，01121ln 2 aaaaaa eeeef，0l2 f函数 与 轴有两个交点，故函数 有两个零点； xxf 当 时， ，函数 与 轴没有交点，故函数 没有零点. 01a0fxf6已知函数 .)(,ln)(xgxf（）若 ，求证： ；)1(2
10、f（）是否存在实数 ，使方程 有四个不同的实根？若存在，kkxf)(2求出 的取值范围；若不存在，说明理由.k解：（I）令 ,1ln)1(2)( xgfxF9则 ， -4 分22)1()1()( xxxF因 故函数 上是增函数.0,1,在F又 处连续，所以，函数 上是增函数.)(x在 )(在x时， -7 分12).)1(gfF即（）令 23222 1)(,).ln()( xxhkyxxfgxh 由-9 分,0,)(,12h则令当 变化时， 、 的变化关系如下表：xx),(1 （1，0 ） 0 （0，1） 1 （1，+ ）)xh 0 + 0 0 +(极小值 2ln1极大值0极小值 2ln1据此可
11、画出 的简图如下， -12 分)(xh故存在 ，使原方程有 4 个不同实根. -14 分0,l2k7设定义在 上的函数 ，当 时， 取得极大Redxcbxaf 234 1xf值 ，并且函数 的图象关于点 对称321y01， （）求 的表达式；xf（）试在函数 的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间 上；2,10（）若 ， ，求证： 21tx23tyR43fxfy解：（）因 的图象关于点 对称，fy01， 故 的图象关于原点 对称x， 故 ，易得 ，0fface因为 时， 有极值，所以 时， 也有极值1xx1xxf故 3fbd ，2 23xxbx于是 又由 得 ，13f 2bd由此解得 ， ，1 3fx（）设这两个切点分别为 ，并且 ，12,xy12x，2fx依题意有 (*) 2211fxx因 且 ，12,x2, 故 由(*)式得 ，即 212x210x故 ，解得 或 20x22同理可得 或 211x又因为当 与 同时成立时与(*)式矛盾，2所以 或 10x2
