1、乘法公式,公式的结构特征:,左边是,a2 b2;,两个二项式的乘积,平方差公式,应用平方差公式的注意事项:,对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符号相反的“项”;,仅当把两个二项式的积变成公式标准形式 后，才能使用平方差公式。,(a+b)(ab)=,即两数和与这两数差的积.,右边是,两数的平方差.,用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.,3、多项式的乘法法则是什么？,am+an,bm+bn,+,=,(m+n),(a+b),4、探究 计算下列各式,你能发现什么规律?(p+1)2 = (p+1) (p+1) = _(m+2)2= _; (3)(p-1)2 =
2、(p-1 ) (p-1) = _; (4) (m-2)2 = _.,P2+2p+1,m2+4m+4,P2-2p+1,m2-4m+4,我们来计算(a+b)2, (a-b)2.,(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. (a-b)2 = (a-b) (a-b)= a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2,完全平方公式,完全平方公式的数学表达式：,完全平方公式的文字叙述：,两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。,你能证明它吗？,(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?,(2),(ab)2=？,=a2 + 2a(-b
3、) + (-b)2,(a+b)2=a2+2ab+b2, (a -b)2 =a2-2ab+b2,例1.计算: (x+2y)2, (x-2y)2,解: (x+2y)2=,( a+ b)2=a2+2 a b+ b2,=x2+4xy+4y2,(x - 2y )2=,(a - b )2 =a2 - 2 a b + b2,x2 - 2 x 2y +( 2y )2,x2+2x2y+(2y)2,=x2 - 4xy+4y2,运用完全平方公式计算：,解: (4m+n)2=,=16m2,(1)(4m+n)2,(a +b)2= a2 + 2 a b + b2,(4m)2,+2(4m) n,+n2,+8mn,+n2,公
4、式特点：,2、积为二次三项式；,3、积中两项为两数的平方和；,4、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；,5 、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式。,1、左边是一个二项式的完全平方；,首平方，尾平方,乘积的2倍放中央,符号看前方。,口诀：,解：1) (4a-b)2 = (4a)2-2（4a）b+b2= 16a2-8ab+b2,2) (-2x-1)2 =-(2x+1)2=(2x+1)2= (2x)2+2（2x）1+1=4x2+4x+1,例2.运用完全平方公式计算: 1) (4a-b)2 2)(-2x-1)2,你能根据图15.2 -2和图15.2 -3 中的面积说明完全平方公式吗
5、?,讨论,=,+,+,+,(a+b)2=a2+2ab+b2,几何解释:,a2,ab,b(ab),=,a22ab+b2 .,=,(ab)2,ab,ab,b(ab),(ab)2,(ab)2 = a22ab+b2,a2,ab,ab,b2,(a+b),a,b,和的完全平方公式：,完全平方公式 的几何意义,(a-b),b,差的完全平方公式：,完全平方公式 的几何意义,纠 错 练 习,指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a1)22a22a+1; (2) (2a+1)24a2 +1； (3) (a1)2a22a1.,解: (1),第一数被平方时, 未添括号;,第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个
6、2 ;,应改为: (2a1)2 (2a)222a1+1;,(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);,应改为: (2a+1)2 (2a)2+22a1 +1;,(3) 第一数平方未添括号,第一数与第二数乘积的2倍 错了符号;,第二数的平方 这一项错了符号;,应改为: (a1)2(a)22(a )1+12;,请 你 找 错 误,指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2x3y)22x2 - 2(2x)(3y) +3y2;(2) (2x+3y)24x2+ 9y2 ；(3) (2x3y)2(2x)2- (2x)(3y)+(3y)2.,解 （1）首项、尾项被平方时, 没有添括号，这 样就
7、只把字母平方而遗漏了系数的平方。,（2）少了首项与尾项乘积的2倍这一项 ；即丢了中间项： 2(2x)(3y) ;,（3）中间项漏乘了2，计算要到最后结果。,比一比 赛一赛,回答下列问题: (1) (a+2y)2是哪两个数的和的平方? (a+2y)2 =( ) 2+2( )( )+( ) 2 (2) (2x5y)2是哪两个数的差的平方? (2x -5y)2 =( ) 2 -2( )( )+( ) 2,a,a,2y,2y,2x,2x,5y,5y,(2x5y)2可以看成2x与 5y的和的平方.,(2x5y)2可以看成哪两个数的和的平方?,例题,例2 运用完全平方公式计算： (1) 1022； (2)
8、 992,解: (1) 1022 =,(2) 992=,=1002+21002+22,=10000+400+4,=10404,(100-1)2=1002-21001+12,=10000-200+1=9801,2、准确代入公式;,利用完全平方公式计算:,1、先选择公式;,3、化简.,提示：一个数的平方，可以考虑变形为“两数和(差)的平方”的形式。,小结：,(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2,1、完全平方公式：,2 、两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。,3、注意：项数、符号、字母及其指数；,4、切勿把此公式与公式（ab)2=
9、 a2b2混淆，而随意写成（a+b)2 =a2 +b2 5、切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉。,6.完全平方公式是多项式乘法的特殊情况，要熟记公式的左边和右边的特点； 7.有时式子需要先进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式的条件，即为“两数和(或差)”的平方，然后应用公式计算.,x,x,6,6,2a,2a,3b,3b,x2+12x+36,4a2-12ab+9b2,+(-6)2,=x2+12x+36,+(2a)2,=9b2-12ab+4a2,通过观察发现:(x+6)2=(-x-6)2 (2a-3b)2 =(3b-2a)2,相等,相等,(-x)2,-2(-x)(6),(3b)2,-2(3b
10、)(2a),想一想: （a+b）2与（-a-b）2相等吗？ （a-b）2与（b-a）2相等吗？为什么？, (a+b)2=a2+2ab+b2,(-a-b)2=(-a)2+2(-a)(-b)+(-b) 2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2,(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2, (a+b)2= (-a-b)2, (a-b)2=(b-a)2,(2) (a - b)2 与 (b - a)2 、(-b +a)2 与(-a +b)2,(1) (-a -b)2 与(a+b)2,比较下列各式之间的关系：,相等,相等,上面的两个式子比较，你发现了什么？用你的语言表达出来.,
11、请大家分成四人小组进行讨论！,探索发现:(a+b)2_(-a-b)2 ,（a-b）2 _（-a+b）2,发现规律:当所给的二项式的符号相同时，就用_；当所给的二项式的符号不同时，就用_。,和的完全平方公式,差的完全平方公式,=,=,练习 1.运用完全平方公式计算: (1)(x+6)2; (2) (y-5)2; (3) (-2x+5)2; (4) ( x - y)2. 2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改正?(1) (a+ b)2 = a2 +b2; (2) (a b) 2 =a2 b2. （3）,例3.若 求,拓展思维 更上一层,(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 -
12、 2ab+b2,(1) (3a+_ )2=9a2 _ +16,（2）代数式2xy-x2-y2= ( )A.(x-y)2 B.(-x-y)2 C.(y-x)2 D.-(x-y)2,D,拓展思维 更上一层,(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2,（3）如果x2+kx+25是完全平方式， 则 k=_.,5,24,拓展思维 更上一层,(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2,40,（5）已知 a+b = 4，ab = -12， 则a2 + b2= .,（6）已知 m+n= 3，mn = 5，求:(m+3)(n+3)的值.,（7）
13、已知 x+y=4，xy =-13，求: 的值.,拓展思维 更上一层,(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2,（8）已知： ， 求: 的值.,拓展思维 更上一层,(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2,通过这节课的学习你学到了什么,再见,下列等式是否成立? 说明理由 (4a+1)2=(14a)2；(2) (4a1)2=(4a+1)2；(3) (4a1)(14a)(4a1)(4a1)(4a1)2；(4) (4a1)(14a)(4a1)(4a+1).,成立,成立,不成立,不成立,试一试：,填空题： （1）(-3x+4y)2=
14、_ （2）（-2a-b）2=_ （3）x2-4xy+_=（x-2y）2 （4）a2+b2=（a+b）2+_ （5） a2+_+9b2=（ a+3b）2,综合训练：,9x2-24xy+16y2,4a2+4ab+b2,4y2,（-2ab),3ab,选择题 （1）如果x2+mx+4是一个完全平方公式，那么m的值是（ ）A4 B-4 C4 D8（2）将正方形的边长由acm增加6cm，则正方形的面积增加了（ ）A36cm2 B12acm2C（36+12a）cm2 D以上都不对,你会吗？,c,c,1. =_;2.若 是一个完全平方公式,则 _;,3.若 是一个完全平方公式,则 _;,1,拓展：,4.请添加一项_，使得 是 完全平方式.,5.,思考题：,已知： 求： 和 的值,拓展：,拓展延伸,若,
