1、,第7章 矩阵函数与矩阵值函数,7.1 矩阵函数,7.2 矩阵值函数,7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用,7.4* 特征对的灵敏度分析,7.1 矩阵函数,7.1.1 矩阵函数的幂级数表示,7.1.2 矩阵函数的另一种定义,7.1.1 矩阵函数的幂级数表示,定义7.1.1,定理7.1.1,推论 7.1.1,定理7.1.2,7.1.2 矩阵函数的另一种定义,设矩阵A的最小多项式为,定理7.1.3,定义7.1.2,则定义矩阵函数 f (A)为,定理7.1.4,定理7.1.5,定理7.1.6,其中,且(7.1.25)给出的矩阵函数f (A)与 A的Jordan标准形 J 中Jordan块的排列次序
2、及变换矩阵P 的选取均无关。,定理7.1.7,定理7.1.8,7.2 矩阵值函数,7.2.1 矩阵值函数,7.2.2 矩阵值函数的分析运算,7.2.1 矩阵值函数,定义7.2.1,称为定义在(a,b)上的矩阵值函数。,特别地，当n = 1时，得到向量值函数。通常用等形式表示。,定义7.2.2 区间(a,b)上 mn 矩阵值函数 A(x)不恒等于 零的子式的最高阶数称为A(x)的秩，记为rank (A(x) )。 特别地，如果A(x)是区间(a,b)上 n 阶矩阵值函数，并 且rank( A(x) ) = n，则称A(x)为满秩的。,定义7.2.3,则称 A(x)在(a,b)上可逆，并称 B(x
3、)为 A(x)的逆矩阵， 记为A-1(x) 。,定理7.2.1 n 阶矩阵值函数 A(x)在区间(a,b)上可逆的 充分必要条件是| A(x)|在(a,b)上处处不为零，并且,其中,是 A(x)的伴随矩阵值函数， Aij(x)是A(x)中元素aij (x)的 代数余子式。,7.2.2 矩阵值函数的分析运算,定义7.2.4,定义7.2.5,矩阵值函数的导数运算具有下列性质：,因为矩阵乘法没有交换律，一般地，对正整数m1和可导的 n 阶矩阵值函数 A(x),定理7.2.2 如果 n 阶矩阵值函数 A(x)在(a,b)上可逆且 可导，则,定义7.2.6,为 A(x)在a,b上的积分。,矩阵值函数的积
4、分具有如下性质：,(3) 对常数矩阵 A和C，有,(4) 如果矩阵值函数 A(x)在a,b上连续，则,(5) 如果矩阵值函数 A(x)在a,b上连续，则,定义7.2.7,矩阵值函数的导数具有如下性质：,7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用,一阶线性微分方程组,其中,方程组(7.3.1)的初始条件,可以表示成,定理7.3.1 设 A是 n 阶常数矩阵，则微分方程组,定义7.3.1 设 A是 n 阶常数矩阵，如果对任意的 t0和 x0， 初值问题,定理7.3.2 对任意的 t0和 x0，初值问题(7.3.8)的解 x(t) 渐 近稳定的充分必要条件是矩阵 A的特征值都有负实部。,定义7.3.2 设 A是 n 阶矩阵，如果 A的特征值都有负实 部，则称 A为稳定矩阵。,定理7.3.3 设 A是 n 阶常数矩阵，则微分方程组,7.4* 特征对的灵敏度分析,定理7.4.1,则方程组,定理7.4.2,则方程组,证明,是非奇异矩阵，并且,令,定理7.4.3,由(7.4.3)和(7.4.6)得,令,由定理7.4.1知，方程组,令,由(7.4.8)，(7.4.11)和(7.4.12),有,由定理7.4.1知，方程组,令,由(7.4.8)，(7.4.17)和(7.4.18),有,定理7.4.4,定理7.4.5,则,定理7.4.6,
