1、1.1变化率与导数,1.1.1变化率问题,研究某个变量相对于另一个变量变化,导数研究的问题,的快慢程度,变化率问题,问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?,气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是,如果将半径r表示为体积V的函数, 那么,思考:这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？,我们来分析一下:,当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为,当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为,显然0.620.16,随着气球体积逐渐变大,它的平
2、均膨胀率逐渐变小,思考?,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?,请计算,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:,探究:,(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.,平均变化率定义:,若设x=x2
3、-x1, f=f(x2)-f(x1)则平均变化率为,这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2 同样f=y=f(x2)-f(x1),上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,理解： 1，式子中x 、 f 的值可正、可负，但x值不能为0， f 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， f =0 3, 变式,思考?,观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x,f(x2)-f(x1)=y,直线AB的斜率,1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-
4、2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( )A 、3 B、 3x-(x)2C、 3-(x)2 D 、3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。2x0+x,练习,4.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.,A,练习,练习：,5.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.,小结：,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率,3.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗略 的刻画,-导数,
