1、第6章 范数与极限,6.1 向量范数,6.2 矩阵范数,6.3 矩阵序列与矩阵级数,6.4 矩阵扰动分析,6.1 向量范数,定义6.1.1 设V是数域P上的线性空间，|是以V中 的向量为自变量的非负实值函数，如果它满足以 下三个条件：,则称|为向量的范数，并称定义了范数的线性空 间为赋范线性空间。,对赋范线性空间V中任意向量,有,在赋范线性空间V中，由范数可定义两点间的距离。,例. 在线性空间Ca, b中，对任意,例.,定理6.1.1（Hlder不等式）,定理6.1.2（Minkowski不等式）,定理6.1.3,定理6.1.4,定理6.1.5,定理6.1.6,定义6.1.2,定理6.1.7
2、有限维线性空间V 上的任意两个向量范数 都是等价的。,定义6.1.3,不收敛的向量序列称为发散的。,类似于数列的收敛性，向量序列的收敛性 具有如下性质。,定理6.1.8,6.2 矩阵范数,6.2.1 基本概念,6.2.2 相容矩阵范数,6.2.3 算子范数,6.2.1 基本概念,定义6.2.1 设|A|是以Cmn中的矩阵A为自变量的 非负实值函数，如果它满足以下三个条件：,例.,定理6.2.1,由定理6.1.7即得矩阵范数等价性定理。,6.2.2 相容矩阵范数,定义6.2.2,定理6.2.2,定理6.2.3,6.2.3 算子范数,引理6.2.3,引理6.2.2,类似于定理6.1.6，可证如下结
3、论.,定义6.2.3,定理6.2.4,定理6.2.5,定理6.2.6,定理6.2.8,通常将|A|1叫做A的列和范数， |A|2叫做的谱范数， |A|叫做的行和范数。,定理6.2.7,定理6.2.9,并且对m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V，有,6.3 矩阵序列与矩阵级数,6.3.1 矩阵序列的极限,6.3.2 矩阵级数,6.3.1 矩阵序列的极限,定义6.3.1,定理6.3.1,关于矩阵序列的极限运算有如下性质:,定理6.3.2,定理6.3.3,定理6.3.4,6.3.2 矩阵级数,定义6.3.2,由矩阵级数的收敛性定义易知,定义6.3.3,定理6.3.5,定义6.3.4,的矩阵级数称为矩阵幂
4、级数。,定理 6.3.6,推论 6.3.1,定理 6.3.7,推论 6.3.2,定理 6.3.8,定理 6.3.9,6.4 矩阵扰动分析,6.4.1 矩阵逆的扰动分析,6.4.2 线性方程组解的扰动分析,*6.4.3 矩阵特征值的扰动分析,6.4.1 矩阵逆的扰动分析,定理 6.4.1,定理 6.4.2,则A+E非奇异，并且有,推论 6.4.1,定义 6.4.1,6.4.2 线性方程组解的扰动分析,对线性方程组,Ax = b （6.4.8）,如果系数矩阵A和右端项 b分别有扰动E和b, 则扰 动后方程组为,(A)反映了线性方程组的 Ax = b的解 x 的相对误 差对于A和 b的相对误差的依赖程度。(A)也称为 求解线性方程组Ax = b的条件数。如果(A)很大， 则线性方程组Ax = b是病态的。,定理 6.4.3,
