1、利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理一、高等代数与解析几何的关系代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，
2、但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” -拉格朗日二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学中国科大：陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011.南开大学：孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：2007.华东师大：陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) (第 2 版)，高等教育出版社，北京：2008.华中师大：樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004.同济大学：高等代数与解析几何 同济大学应用数学系 高等教育出版社 (2005-05 出版)兰州大学，广西大学，西南科技大学
3、，成都理工大学三、高等代数的特点1、逻辑推理的严密性；2、研究方法的公理性；3、代数系统的结构性。四、高等代数一些概念的引入对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。序号 实例 高等代数的相关概念及理论1 中学代数的多项式四则运算多项式及其加、乘运算的严格定义，并在此基础上，介绍多项式的整除理论和最大公因式理论2 中学代数的多项式因式分解方法用不可约多项式的严格定义解释“不可再分解”的含义，给出了不可约多项式的性质、
4、唯一分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定3 中学代数的一元一次方程、一元二次方程的解法以及一元二次方程根与系数的关系给出了一元 n次方程根的定义、复数域上一元 n次方程根与系数的关系以及根的个数、实系数一元 n次方程根的特点、有理系数一元 n次方程有理根的性质以及求法4 中学代数的二元一次方程组、三元一次方程组的消元解法引入行列式的定义，进一步介绍了线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法，给出了线性方程组解的结构5 中学几何中的 及其向23,R量对加法和数乘运算满足8 条运算规律， 中过23,原点的直线、平面推广为 n 维向量空间 ，通过 8 条运算nP规律抽象出一般线性空间的概念，引入
5、线性空间的子空间6 中学几何中的 的直角23,R坐标系，向量的坐标线性空间的基、欧氏空间的标准正交基，向量的坐标7 中学几何中的 的向量23,的内积、模和夹角，三角形不等式欧氏空间的定义，欧氏空间向量的模和夹角，两点间距离的性质8 中向量在平面上的投影3R欧氏空间向量在子空间的投影9 中有心二次曲线和二2,次曲面的分类二次型通过正交替换化为标准形10 中向量在一个给定向23,量或平面上的投影，坐标系的旋转线性空间中的线性变换，欧氏空间中的正交变换五、高等代数的一些概念的几何解析高等代数中相关概念和定理的几何解析，可以使学生更容易把握这些概念和定理的几何本质，更容易直观地理解这些抽象的概念和定理
6、，从而可以提高学生运用这些抽象的概念和定理去解题的能力。1. 线性代数中“线性”的几何意义线性代数是高等代数的一个分支，有线性空间、线性映射、线性变换、线性方程组、线性相关性等概念。哪究竟这里的“线性”的直观理解是什么？简单地说，就是因变量与自变量之间的关系可以描述为一条直线，例如线性函数y=f(x)=ax+b,最简单的情形就是过原点的直线 y=f(x)=ax。而对于过原点的直线 y=f(x)=ax，其满足可加性和比例性，即,或者 。1212()(),()fxfxfkxf1212()()()fkxkfxf一句话，线性组合的函数，等于函数的线性组合。将这种关系推广到高维的情形：Y=AX, ,AX
7、=b.2.行列式的几何意义（1）二级行列式的几何意义二级行列式 是 xoy 平面上以行向量 a= 和 b= 为邻边的122aDb12(,)12(,)平行四边形的有向面积：若这个平行四边形是由向量 a 沿逆时针方向转到 b 而得到的，面积取正值；若这个平行四边形是由向量 a 沿顺时针方向转到 b 而得到的，面积取负值。S(a,b)=|a|b|sin ,而 sin 。()121()|ab另外，二级行列式的另一个几何意义就是是两个行向量或列向量的叉积 a b 的数值。（2）三级行列式的几何意义三级行列式的几何意义是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。向量 a,b,c 的混合积（a,b,c）
8、=（a b） c= 。A321cba推论 1：三点 a,b,c 共面的等价条件是 0.321ca推论 2：过平面上两点( ), ( )的直线方程为 。1,yx2, 0121yx3. 矩阵乘积的几何意义要 说 到 矩 阵 的 乘 积 的 几 何 意 义 ， 我 们 首 先 要 了 解 矩 阵 的 发 展 历 程 ：1801 年 德 国 数 学 家 高 斯 （ F.Gauss） 把 一 个 线 性 变 换 的 全 部 系 数 作 为 一 个 整体 。1844 年 ， 德 国 数 学 家 爱 森 斯 坦 （ F.Eissenstein） 讨 论 了 “变 换 ”（ 矩 阵 ）及 其 乘 积 。185
9、0 年 ， 英 国 数 学 家 西 尔 维 斯 特 （ J. J. Sylvester） 首 先 使 用 矩 阵 一 词 。1858 年 ， 英 国 数 学 家 凯 莱 （ A.Cayley， ） 发 表 关 于 矩 阵 理 论 的 研 究 报 告 。他 首 先 将 矩 阵 作 为 一 个 独 立 的 数 学 对 象 加 以 研 究 ， 并 在 这 个 主 题 上 首 先 发 表了 一 系 列 文 章 ， 因 而 被 认 为 是 矩 阵 论 的 创 立 者 ， 他 给 出 了 现 在 通 用 的 一 系 列定 义 ， 如 两 矩 阵 相 等 、 零 矩 阵 、 单 位 矩 阵 、 两 矩 阵
10、的 和 、 一 个 数 与 一 个 矩 阵的 数 量 积 、 两 个 矩 阵 的 积 、 矩 阵 的 逆 、 转 置 矩 阵 等 。矩 阵 实 质 上 就 是 一 个 线 性 变 换 。 矩阵乘积实质就是线性变换的复合。下面来看 中的一个简单例子：2R： ，即 Y=AX，1122xyXY1122ax12aA： ，即 Z=BY， .1122yzZ1122by12bB则 ： ，即 Z=CX,12xX12z11211222()()axaxbb.1112222babaC又有 Z=BAX，于是定义 。1212122babaBA4. 向量组线性相关(无关)与几何中向量共面、共线之间的关系若 是三维空间的向量,则: 线性相关; 线性相关; 线性相,关对应几何直观分别为 为零向量; 共线; 共面。因此,一维空间的,基是空间中任意一个非零向量;二维空间的基是空间中两个不共线向量;三维空间的基是空间中 3 个不共面的向量组成的。5. 向量组正交化的几何解释线性无关的向量组可以由 Schmidt 正交化得到与其等价的正交组,它的几何解释为,如果有 3 个线性无关的向量 则可以通过 Schmidt 正交化得到相应的3213 个正交向量 。这里 , , ,其中 为321,2332在 上的投影向量; 为 在 所确定的平面上的垂直投影向量。21312
