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数学建模2000B题.ppt

1、2000网易杯全国大学生 数学建模竞赛题目,B题 钢管订购和运输,西北大学数学系,窦霁虹,信息 (语言、数据),问题 (第一问,,),做题 思路和关键点,结果 表示形式,读 题,要铺设一条 输送天然气的主管道,如图一所示。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有,。图中粗线表示铁路,单细线表示公路,双细,线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路,或者,和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位:Km)。,或者建有施工公路 ),圆圈表示火车站,每段铁路、公路,为方便计,1 Km主管道钢管称为1单位钢管。,一个钢厂如果承担制造这种钢管,至少需要生产500个,单位。钢厂,在指定期限内能生产该钢管的最大数量

2、为,个单位,钢管出厂销价1单位钢管为,万元,如下表:,1单位钢管的铁路运价如下表:,1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。,公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元(不足整公里部分按整公里计算)。,钢管可由铁路、公路运往铺设地点(不只运到点,,而是管道全线)。,问题:(1)请制定一个主管道钢管的订购和运输计划,使总费用最小(给出总费用)。,(2)请就(1)的模型分析:哪个钢厂钢管的销价的变化,对购运计划和总费用影响最大?哪个钢厂钢管的产量的上限,的变化对购运计划和总费用的影响最大?并给出相应的数字,结果。,(3)如果要铺设的管道不是一条线,而是一个树形图,,铁路、公路和管道构成网

3、络,请就这种更一般的情形给出,一种解决办法,并对图二按(1)的要求给出模型和结果。,问题 所属类型,做题 思路和关键点,结果 表示形式,优化模型,1、问题的分析,优化问题,1)优化模型的数学描述,求函数,在约束条件,下的最大值或最小值,其中,和,设计变量(决策变量),目标函数,可行域,“受约束于”之意,线性规划(LP),目标函数和所有的约束条件都是设计变量的线性函数。,西北大学数学系,二次规划问题,目标函数为二次函数,约束条件为线性约束,2)建立优化模型的一般步骤,1.确定设计变量和目标变量; 2.确定目标函数的表达式; 3.寻找约束条件。,设有某物资从m个发点 输送到n个收点 其中每个发点发

4、出量分别为 每个收 点输入量分别为 ,并且满足从发点A到收点B的距离(或单位运费)是已知的,设为。 问题:寻求一个调运方案,使总运输费用达到最小。,例 运输问题,B1 B2 . Bn,A1,A2,Am,a1,a2,am,b1 b2 . bn,x11 x12 . x1n,x21 x22 . x2n,xm1 xm2 . xmn,收点,发点,一个调运方案主要由一组从发点 到收点 的输送量来描述。,总的费用,A1的总费用,A2的总费用,s.t.,数学模型,求解:单纯形方法。,问题:(1)请制定一个主管道钢管的订购和运输计划,使总费用最小(给出总费用)。,(2)请就(1)的模型分析:哪个钢厂钢管的销价的

5、变化,对购运计划和总费用影响最大?哪个钢厂钢管的产量的上限,的变化对购运计划和总费用的影响最大?并给出相应的数字,结果。,(3)如果要铺设的管道不是一条线,而是一个树形图,,铁路、公路和管道构成网络,请就这种更一般的情形给出,一种解决办法,并对图二按(1)的要求给出模型和结果。,B1 B2 . Bn,S1,S2,S7,a1,a2,am,b1 b2 . bn,x11 x12 . x1n,x21 x22 . x2n,xm1 xm2 . xmn,收点,发点,订购与运输方案,n=5171,s.t.,数学模型,注1: 表示单位钢管从 运到 的最小费用(含订购费用),注2:适合第三问,只是 n=5903.

6、,目标变量 :,总费用=订购费用+运输费用,总费用 W,运输费用=从钢厂到管道关节点,的运输费用 P +,从管道的关节点到铺设点的运输费用 T,即:,钢管的订购计划:,每个钢厂的定货数量。,钢管的运输方案:,从每个钢厂运送到每个管道,区间的钢管量。,1)基本假设:,要铺设的管道侧有公路,可运送所需钢管;,钢管在运输中由铁路运转为公路运时不计换车费;,所需钢管均由 钢厂提供;,在具体铺设每一公里时,只把钢管运输到每一公里开始的地方,沿运输方向向前铺设的费用不予考虑。,2、模型假设与符号说明,:1单位钢管从钢厂 运到 的最小费用(单位: 万元);,2)符号说明:,:从 到 之间的距离(单位:千米)

7、;,:钢厂 的最大生产能力;,:钢厂 的出厂钢管单位价格(单位:万元);,:公路上1单位钢管的每公里运费(d=0.1万元);,:铁路上1单位钢管的运费(分段函数见表一);,:运到 地的钢管向左铺设的数目;,钢厂 提供钢管,钢厂 不提供钢管,: 所求钢管订购、运输的总费用(单位:万元)。,:运到 地的钢管向右铺设的数目;,:钢厂 运到 的钢管数;,目标函数是总费用 :钢管出厂总价 ,运,,,3、模型的建立,(1)决策变量,(2)目标函数,输费 ,及铺设费 ,即 其中,:1单位钢管从钢厂 运到 的最小费用(单位:万元),从 开始向左右两个方向铺设,铺设的数量分别用 与 来表示。,铺设费 可以如下确

8、定:,单位长钢管的费用为,故,(3)约束条件,与,的钢管:,生产能力的限制:,运到 的钢管用完:, 变量非负性限制:,端点限制:,s.t.,(4)数学模型,其中每一 表示单位钢管从 到 的,最小运输费用,因而,求解 实际上是一个求最短,“最短路经”问题是图论中最基本的问题之一。,4、模型的求解,关键1 求出目标函数中的系数,关键2 确定约束条件中的,路径的问题。,“最短路经”问题的标准算法-弗洛伊德算法。,其中 表示从 到 的最短路程,若不能相连,,求出铁路和公路的最短路径矩阵,用 表示。,运用Floyd算法,得出局部最短路径矩阵。,铁路和公路自身分别构成权矩阵,记为 和 。,铁路和公路的最短

9、路径矩阵的统一,对公路,将 为公路局部最小运费矩阵。,对铁路,用铁路的费用 进行转换,得局部铁路,最小运费矩阵 。,令,对得到的A,再使用一次Floyd算法,得到全局的最短,每两点间最小运费矩阵,从中抽取出 到 之间,的子矩阵即为所需的 。,求最小费用矩阵,最小费用矩阵,注:表中的数据乘以0.1为对应的最小费用矩阵的元素。,最小费用矩阵,注:表中的数据乘以0.1为对应的最小费用矩阵的元素。,模型就转化为典型的二次规划问题。,如果其最优解符合原有的约束条件,则便是原问题的最优解。,如果存在 i 使 那么,针对这些 i 分两种情况,找出其中的最优的结果。,s.t.,根据二次规划软件求解模型,或者运

10、用数学软件Lingo5.0,编程求解,将 从供应商中除去,再将第7家工厂的供货量,最优解中,改为0以及不小于500两种情况重做。相比之下,,取0的情况总费用较小,从而也把 删除。,钢管的订购计划:,亿元,5、结果表示,钢管的运输方案:,1)确定哪个钢厂的销价的变化对购运计划和总费用的影响最大,6、灵敏度分析,s.t.,假设该钢厂的销价变化在 万元以内,,结论: 或 的销价的变化影响最大。,钢管的订购计划:,亿元,2)确定哪个钢厂的生产上限的变化对购运计划和总费用的影响最大,在变化 的情况下目标函数减小量及减小的比率,结论: 的生产上限的变化影响最大。,最小费用矩阵,注:表中的数据乘以0.1为对应的最小费用矩阵的元素。,若要铺设的道路不是一条线,而是一个树形图,,7、关于问题(3),s.t.,数学模型,运用数学软件Lingo5.0编程求出:,亿元,课后练习:,(1)求出最小费用矩阵,(2)求解问题1的二次规划模型,用数学软件Lingo,用软件SAS,定题,做题,建模全程中注意的几个问题,反复读题,查阅资料,齐心协力,分工明确,共克难关,做题开始,写论文就开始,所有的文件名,保存时必须表明内容,摘要在最后一个晚上开始写,论文的风格要一致,论文,祝同学们 在09年建模训练中有所收获,祝长安大学 在09年建模竞赛中取得优异成绩,

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