1、1-5、晶体的宏观对称性,1,一些晶体在几何外形上表现出明显的对称，如立方等结构，这种对称性不仅表现在几何外形上，而且反映在晶体的宏观物理性质上，对于研究晶体的性质有极重要的意义。,1.5.1、对称性,(a) (b) (c) (d)图1 对称性不同的几种图形,以上分析所用的方法，就是考查在一定几何变换之下物体的不变性。我们把旋转及反射统称为正交变换。概括宏观对称性的系统方法正是考查物体在正交变换下的不变性，在三维情况下，正交变换可以写成：,绕z轴转角的正交矩阵是：,中心反演的正交矩阵是：,当变换是一个空间的转动时，矩阵行列式等于1；当变换是一个空间的转动加上中心反演时，矩阵行列式等于-1。如果
2、一个物体在某一正交变换下不变，我们就称这个变换为物体的一个对称操作，显然，一个物体的对称操作越多，就表明它的对称性越高。,1.5.2三维实例（立方体）,1) 绕三个立方轴转动, 9个对称操作,3) 绕4个立方体对角线轴转动, 8个对称操作,4) 正交变换(不动), 1个对称操作,5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作, 立方体的对称操作共有48个,1.5.3对称素,若一个物体绕某一个转轴转2 /n以及它的整数倍不变，则这个轴称为物体的n重旋转轴，记为n。 若一个物体对绕某一转轴转2 /n，在作中心反演的联合操作以及联合操作的倍数不变时，这个轴称为物体的n重旋转反演轴，记作n。 一个物体
3、的旋转轴或旋转-反演轴统称为物体的“对称素”。 立方体中，,立方轴 为4重轴，计为4,同时也是4重旋转反演轴，计为,面对角线 为2重轴，计为2,同时也是2重旋转反演轴，计为,体对角线轴 为3重轴，计为3,同时也是3重旋转反演轴，计为,对称元素2代表先转动再对原点做中心反演，如图所示，A点经转动到A点，再反演到了A点，容易看出A正好是A点在通过原点垂直转轴平面M的镜像，因此，一般称为镜面，并另引入符号m表示（有时也用表示）,1.5.4对称操作群,一个物体全部对称操作的集合，构成对称操作群。从数学上来看，群代表一组“元素”的集合，G=E、A、B、C、D，这些“元素”被赋予一定的法则，满足下列性质：
4、 （1）集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素，即若A、BG，则AB=C G，这个性质叫做群的闭合性。 （2）存在单位元素E，使得所有元素满足：AE=A （3）对于任意元素A，存在逆元素A-1，有：AA-1=E（4）元素间的“乘法运算”满足结合律：A（BC)=A（）,一个物体全部对称操作的集合，也满足上述群的定义，这时运算法则就是“连续操作”，不动操作作为单位元素，绕轴转角的逆为绕该轴转角；中心反演的逆还是中心反演。 最后，作为一个例子，我们应用对称操作的概念，证明具有立方对称的晶体的介电性可以归结为一个标量介电常数。,按照一般表示(D为电位移矢量，E为电场强度， 为介电常数）：, X
5、，Y，Z轴分量, X，Y，Z轴为立方体的三个立方轴方向,假设电场沿Y轴方向,则点位移矢量,将晶体和电场同时绕Y轴转动/2，,由于转动是以E方向为轴的，所以，实际上电场并未改变，同时，上述转动是立方晶体的一个对称操作，所以转动前后晶体应没有任何差别，即电位移矢量实际上应当不变，即故有,如果取E沿z方向并绕z轴转/2，显然将可以按相同的办法证明： 这样，我们就证明了， 的非对角元素都等于0，故有再取电场沿1 1 1方向，则,绕1 1 1转动2/3，使z轴转到原x轴，x轴转到原y轴，y轴转到原z轴，电矢量位移转动后应写成：,和前面论证一样，电场实际未变，晶体所经历一个对称操作，晶体也完全不变，所以D
6、和D相同，故有这就证明了，在具有立方对称的晶体中，, 正四面体晶体上述结论亦然成立, 介电常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形式的宏观性质：如导电率、热导 率等,总结：,1.5.1、对称性：正交变换（旋转和反射），一个物体在某一正交变换下不变，就称这个变换为物体的一个对称操作，一个物体的对称操作愈多，表明其对称性越高。 1.5.2、实例：立方体（共48个对称操作） 1.5.3、对称素：若一个物体绕某一个转轴转2 /n以及它的整数倍不变，则这个轴称为物体的n重旋转轴，记为n。若一个物体对绕某一转轴转2 /n，在作中心反演的联合操作以及联合操作的倍数不变时，这个轴称为物体的n重旋转反演轴，记作n。一个物体的旋转轴或旋转-反演轴统称为物体的“对称素”。,1.5.4、对称操作群：一个物体全部对称操作的集合，构成对称操作群。,谢谢,
