1、4.1 力学量随时间的演化 4.2 波包的运动，Ehrenfest定理 4.3 Schrdinger 图像与Heisenberg图像 4.4 * 守恒量与对称性的关系 4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性,第4 章 力学量随时间的演化与对称性,4.1 力学量随时间的演化,4.1.1 守恒量,1. 经典物理中的守恒量,动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零,2. 量子力学中的守恒量,守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化,守恒量：力学量的值不随时间变化,在任意量子态下，力学量A的平均值为,守恒的条件？,若力学量不显含时间
2、，即,则,若,Note,可见：若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。,选包括H和A在内的一组力学量完全集，则,体系的任意量子态可表示为,3. 守恒量的性质,在态下，测力学量A的Ak的概率为,则该概率随时间的变化为,结论： 如果力学量A不含时间，若A, H=0(即为守恒量)，则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。,4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系,5. 守恒量与定态(1) 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。(2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变；而守恒量则在一切状态下的平
3、均值和测值概率都不随时间改变,(1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。 (2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。,例题1 判断下列说法的正误,(1)在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5) 自由粒子处于定态，则动量取确定值（错） （
4、能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错） （一维束缚态粒子的能量本征态无简并）,证明： 对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有,则,两边同时积分得,4.1.2 能级简并与守恒量的关系,定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 F,H=0,G,H=0,F,G0, 则体系能级一般是简并的。,证明： F, H=0,则F, H有共同的本征函数,又因为 G, H=0, 则,即G也是H的本征函数，对应的本征值也是E, 即体系的能级是简并的。,推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态E，则E必为F 的本征态。,证明：设E是一能量本征
5、态。因F是守恒量，则F, H=0,即FE也是一个能量本征态，对应的本征值也是E. 根据假定能级不简并，则必有,即E也是F的本征态，对应的本征值是F.,例如： 一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为守恒量， P,H=0, 则能量本征态必为P的本征态，即有确定的宇称。事实上，也确是如此，,结论： 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级简并也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下，当能级出现简并时，可以根据体系的对称性，找出其守恒量。,位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为,rp的平均值随时间的变化为,对定态有,则,证明：,思考题： rp并不是厄米算符，应进行厄米化
6、,这是否会影响位力定理得证明。,答：从位力定理的证明可以看出，将rp厄米化后并不能影响到定理的证明。,例题1 设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即,证明,如谐振子,库仑势,势,证明：,两边对c求导数得,令c =1得,则由位力定理得,例题2 求一维谐振子在态n下的动能和势能的平均值,解： 一维谐振子的能量本征值为,由位力定理知:,则,所以,1. 波包的运动与经典粒子运动的关系,设质量为m的粒子在势场V(r)中运动，用波包(r,t)描述，显然(r,t)必为非定态，因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的：与经典粒子运动对应的量子态为非定态,设粒子运动的Hamilton 为,则粒子的
7、坐标和动量的平均值随时间的变化为,4.2 波包运动， Ehrenfest(埃伦费斯特)定理,经典粒子运动的正则方程是,(2)两边对时间求导数，并将(3)代入得到,此之谓Ehrenfest方程， 形式与经典的Newton方程类似，但只有当,时，波包中心 的运动规律才与经典粒子相同。,(3)波包的扩散不太大。,(1) 波包很窄，其大小与粒子的大小相当；,2. 用波包描述粒子运动时对波包的要求：,(2) 势场V(r)在空间的变化很缓慢，使得波包中心 处的势场 与粒子感受到的势场很接近；,在波包中心,附近对 作Taylor 展开，,如： 一维波包的运动,令=x-xc，则有,利用,得,可见只有当,时才有
8、,此时方程(5)与经典的Newton方程在形式上完全相同。,如在势场,中,条件自动满足，因此在这类势场中窄波包的运动，就与经典粒子 的轨道运动相似。,例 粒子对原子的散射,原子的半径,天然放射性元素放出粒子的能量,则其动量为,在对原子的散射过程中，粒子穿越原子的时间约为,经典 or 量子描述？,在该时间间隔内波包的扩散为,如果要求在粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述，就要求,利用不确定性关系可得,显然满足条件,即粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述。,如果讨论电子对原子的散射，电子的质量很小，对于能量为 100eV的电子有,则,因此用轨道运动来描述电子是不恰当的。,4.3 Schringe
9、r图像(绘景)和Heisenberg图像（绘景）,1. Schrdinger 图像,力学量不随时间变化，而波函数随时间变化。,力学量的平均值,波函数随时间演化方程-Schrdinger 方程,力学量平均值随时间的变化,波函数随时间演化可写成,称为时间演化算符。,(4) 代入(2)得到,则,积分得,可以证明：,是幺正算符。,Heishenberg 图像,波函数不变，算符随时间变化,算符的演化方程-Heisenberg 方程,利用U的幺正性，及U+HU=H,则,上式称为Heisenberg方程。,例题1 自由粒子,p为守恒量，则 p(t)=p(0)=p,则,例题2 一维谐振子,而,则,其解为,则,
10、利用初始条件,则可得出,4.4 守恒量与对称性的关系,1. 经典力学的守恒量与对称性的关系,机械能对空间平移不变性（空间均匀性）动量守恒 机械能对空间转动不变性（空间各向同性）角动量守恒 机械能对时间平移不变性（时间均匀性）能量守恒,1918年 德国数学家 A. E. Noether : 从自然界的每一对称性可 得到一守恒律；反之，每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性。,2. 量子力学中的对称性,(1) 对称变换与对称性群,体系的状态满足薛定谔方程,若存在变换Q ,在此变换下有,体系对变换不变性的要求,即,用Q-1运算得,与方程(1)比较得,或写成,这就是体系（Hamilton）在变换Q下的不
11、变性的数学表述。,凡满足式(4)的变换称为体系的对称变换。 物理学中的体系的对称 变换总构成一个群，称为体系的对称性群。,(2) 对称性变换与守恒量,在对称变换下考虑概率守恒有,则Q应该是幺正算符，即,对于连续变换，可考虑无穷小变换0+，令,(3)空间平移不变性与动量守恒,设体系沿x轴方向作一无穷小平移,即F是厄米算符，称为变换Q的无穷小算符。可定义与 Q变换相 联系的可观测量，体系在Q变换下的不变性导致,即F是一守恒量。对称变换守恒量,描述体系状态波函数的变化为,显然,即,作变换,则上式可化为,则平移x的算符可表示为,Note:,是与平移变换相应的无穷小算符。,推广：对于三维空间中的无穷小平
12、移,则,其中,设体系具有平移不变性，即 D, H=0,对于无穷小平移,则可推出,动量守恒,是与三维平移变换对应的无穷小算符。,(4) 空间旋转不变性与角动量守恒,设体系绕z轴旋转一无穷小角度，,波函数的变化是,对标量波函数有,即,作变换,则,则绕z轴旋转的算符是,注：,现考虑三维空间中绕某方向n的无穷小旋转,在上述变换下标量函数的变化是,即,作变换,则,对于无穷小旋转,则,其中,如果体系具有空间旋转不变性，R, H=0,注：三个矢量的混合积,对于无穷小旋转,则有,即角动量守恒,(5) 时间均匀性与能量守恒,(6) 空间反射对称性与宇称守恒,(7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒,4.5 全同
13、粒子体系及其波函数,4.5.1 全同粒子体系的交换对称性,1. 全同粒子：,说明： (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系， 没有态的量子化就谈不上全同性。(2) 经典力学中原则上不存在全同粒子。或，全同粒子可以区分。,质量、电荷、自旋等内禀属性完全相同的粒子。 所有的电子是全同粒子、所有的质子是全同粒子、 所有的光子也是全同粒子。,2. 全同性原理：在相同的物理条件下，全同粒子的行为完全相同，用一个粒子代换另一个粒子，不引起物理状态的变化, 或，全同粒子不可区分。,-量子力学的基本假设,(1) 全同粒子体系的任何可观测量(包含哈密顿量）有交换对称性,氦原子中两个电子 组成的体系,3
14、. 全同粒子交换对称性与守恒量,定义交换算符Pij ：其作用是交换两个粒子的位置,即,(2) 全同粒子体系波函数的交换对称性,即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的。,实验表明： 凡自旋为 整数倍(s=0,1,2,)的粒子, 波函数的交换总是对称的， 如介子(s=0)、光子（s=1）,波色子。,凡自旋为 半整数倍(s=1/2,3/2,)的粒子, 波函数的交换总 是反对称的，如电子、质子、中子等,费米子。,由“基本粒子”组成的复合粒子，如粒子，若在讨论的问题 或过程中其内部状态保持不变，则全同粒子的状态仍然适用。由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子； 由偶数个费米子 组成的粒子为玻色子；有奇数
15、个费米子组成的粒子为费米子,4. 交换效应,全同性不只是一个抽象的概念，而它将导致一个可观测的量子效应-交换效应。微观世界里的全同粒子，一旦有波包 重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别，波动性将使它们 失去个性和可分辨性，出现交换效应。,如：,两个光子的输入态,两光子的出射态,若两个光子同时到达分束器，出射态中光子的空间模有重叠， 必须考虑两个光子的交换干涉，出射态应该是交换对称的。,在c, d 两处放置探测器，作单光子计数符合测量，以1/2 的概率得到双光子极化纠缠态,尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用， 但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态 发生变
16、化，两个光子已经不可分辨。,问题： 在忽略粒子间相互作用的情况下，如何构造具有交换对称或反对称性的波函数？,4.5.2 两个全同粒子组成的体系,设有两个全同粒子（忽略相互作用），其Hamilton量为,其中h为单粒子的Hamilton，h(q )的本征方程为,设两个粒子，一个处于k1态，另一个处于k2态，则k1(q1) k2(q2)与k1(q2) k2(q1)对应的能量都是k1+k2， 这种与交换相联系的简并，称为交换简并。 但这两个波函数还不具有交换对称性。,对Bose子, 波函数交换对称，则,(a) 当k1k2时，归一化的对称波函数为,(b) 当k1=k2时，归一化的对称波函数为,对Fem
17、i子，波函数交换反对称,(a) 当k1k2时，归一化的反对称波函数为,(b) 当k1=k2时,即这样的状态不存在，这就是著名的Pauli不相容原理： 不允许两个全同的Femi子处于同一单粒子态。,例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态，下面分三种情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布,(a) 在不计交换对称性时，两粒子的波函数可表示为,令,或,相对运动部分波函数为,在距离一个粒子半径在(rr+dr)的球壳内找到另一个粒子的概率为,(b) 交换(r-r)反对称波函数， 反对称相对运动波函数为,则,概率密度,(c) 交换对称波函数， 类似可求出,即,可见：在空间波函数交换对称的情况下，两个粒
18、子相互靠拢的 概率最大；在交换反对称的情况下，两粒子靠近的概率趋于零； 在x时，三种情况无区别，波函数交换对称性的影响消失。,4.5.3 N个全同Femi子组成的体系,三个全同Femi子：设三个无相互作用的全同Femi子，处于三个 不同的单粒子态k1, k2, k3 上，则反对称波函数为,其中,称为反对称化算符。,N个全同Femi子：设N个无相互作用的全同Femi子，分别处于k1k2kN态上，则反对称波函数为,其中,为反对称化算符。P代表N个粒子的一个置换,Slater 行列式,共有N !个,4.5.4 N个全同Bose子组成的体系,设有ni个Bose子处于ki（i=1,2,N）态上，,对称的
19、多粒子波函数可表示成：,注意: P只对处于不同单粒子态上的粒子进行置换，这样的置换 的次数是,因此归一化的波函数为,例题1 N=3体系，设三个单粒子态分别是,解： (a) n1=n2=n3=1（只有1个）,(b) n1=2,n2=1,n3=0（共有6个）,(c) n1=3,n2=0,n3=0（共3个）,例题2 （4.2） 解：,(a) 两全同波色子,(c )两个不同粒子,例题3 （4.3） 解：,设粒子的总数为n，量子态的总数为k. 首先对n 个粒子进行编号,(1)粒子可以分辨,每个粒子占据量子态的方式有k种，则n个粒子占据量子态的 方式（量子态数目）有,若k=3, n=2, 则有,若k=3,
20、 n=3, 则有,(3) 粒子不可分辨，每个量子态上只能有一个粒子（kn）,若k=3, n=2, 则有,若k=3, n=3, 则有,量子态总数,补充说明,(1) 如果粒子之间存在相互作用，体系总的波函数不能写成单粒子波函数的对称化或反对称化的形式，即，不能 写成Slater 行列式的形式，但总可以写成对称花或反对称化的形式。如两粒子体系的对称化的波函数,(2) 如果粒子定域在空间的某一区域，描述粒子的波函数在空间上是分开的、不重叠，全同粒子可以通过在空间的不同区域进行区分，这时不必对波函数进行对称化或反对称化。,(3) 泡利不相容原理不是什么新的原理，只不过是粒子的全同性原理，全同费米子体系具有交换对称性的必然推论。全同性原理的内涵比泡利原理广泛得多，它不仅适用于费米子，也适用于玻色子。,
