正定矩阵的判定方法.pdf

1、 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/第 26 卷 第 2 期2004 年 4 月 湖 州 师 范 学 院 学 报Journal of Huzhou Teachers College Vol. 26 No. 2Apr. ,2004实 正 定 矩 阵 的 若 干 判 定 方 法 X倪 凌 炜(湖 州 师 范 学 院 理 学 院 , 浙 江 湖 州 313000)摘 要 :运 用 高 等 代 数 中 一 系 列 矩 阵 论 的 相 关 知 识 ,给 出 了

2、实 对 称 正 定 矩 阵 的 若 干 判 定 方 法 ,对 一 般 实 矩 阵 正 定 的性 质 和 判 定 作 了 初 步 的 讨 论 和 研 究 ,得 到 了 一 般 实 正 定 矩 阵 的 几 个 重 要 性 质 和 判 定 定 理 .关 键 词 :实 对 称 正 定 矩 阵 ; 实 正 定 矩 阵 ; 严 格 对 角 占 优 阵 ;Hadamard 积中 图 分 类 号 : O151. 21 文 献 标 识 码 : A 文 章 编 号 :1009 1734 (2004) 02 0125 040 引 言二 次 齐 次 多 项 式 在 实 际 工 作 和 理 论 研 究 中 是 一 种

3、重 要 的 多 项 式 ,它 不 仅 在 数 学 的 许 多 分 支 中 用 到 ,而 且在 物 理 学 中 也 经 常 用 到 ,其 中 实 二 次 型 中 的 正 定 二 次 型 占 有 特 殊 重 要 的 位 置 . 正 定 二 次 型 的 系 数 矩 阵 就 是 实对 称 正 定 矩 阵 ,它 是 一 类 特 殊 的 正 定 矩 阵 . 在 历 史 上 ,正 定 矩 阵 的 研 究 最 先 出 现 于 二 次 型 与 Hermite 型 的 研 究中 ,这 种 正 定 只 限 于 对 实 对 称 矩 阵 或 Hermite 矩 阵 使 用 ,它 在 几 何 学 、 物 理 学 以 及

4、概 率 论 等 学 科 中 都 有 重 要 的应 用 1 2 .1 定 义 、 记 号定 义 13 4 设 A Rn n , A T = A ,若 0 x Rn ,都 有 xTAx 0 ,则 称 A 为 实 对 称 正 定 矩 阵 .定 义 21 设 A Rn n ,若 0 x Rn ,都 有 xTAx 0 ,则 称 A 为 实 正 定 矩 阵定 义 33 设 A = ( aij) n n Rn n ,若 | aij | i j| aij | , i = 1 ,2 , , n ,则 称 A 为 严 格 对 角 占 优 阵 .定 义 48 设 A = ( aij) n n Rn n , B =

5、( bij) n n Rn n , 则 称 ( aijbij) n n Rn n 为 矩 阵 A 与 B 的Hadamard 积 ,记 作 Ao B .本 文 中 ,用 R 表 示 实 数 域 ; Rn 表 示 R 上 的 所 有 n 1 阶 矩 阵 的 集 合 ; Rn n 表 示 R 上 所 有 n n 阶 矩 阵 的集 合 ;对 任 何 A = ( aij) n n Rn n , A T 表 示 A 的 转 置 , A - 1 表 示 A 的 逆 矩 阵 .2 主 要 结 果2. 1 实 对 称 矩 阵 的 正 定 判 定定 理 1 实 对 称 矩 阵 A Rn n 是 正 定 矩 阵

6、的 充 分 而 且 必 要 条 件 是 对 于 任 意 的 n 维 非 零 列 向 量 x , 即 0 x Rn ,使 xTAx 0.定 理 2 实 对 角 矩 阵d1wd n是 正 定 矩 阵 的 充 分 而 且 必 要 条 件 是 d i 0 , i = 1 ,2 , , n.定 理 3 实 对 称 矩 阵 A 是 正 定 矩 阵 的 充 分 而 且 必 要 条 件 是 A 与 单 位 矩 阵 合 同 .定 理 4 实 对 称 矩 阵 A 是 正 定 矩 阵 的 充 分 而 且 必 要 条 件 是 对 于 任 意 的 0 x Rn ,使 二 次 型 xTAx 的 秩X 收 稿 日 期 :2

7、004 03 15作 者 简 介 : 倪 凌 炜 (1981 - ) ,男 ,浙 江 桐 乡 人 ,湖 州 师 范 学 院 理 学 院 04 届 本 科 毕 业 生 ,研 究 方 向 :矩 阵 论 . 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/和 符 号 差 等 于 n.定 理 53 实 对 称 矩 阵 A 是 正 定 矩 阵 的 充 分 而 且 必 要 条 件 是 A 的 顺 序 主 子 式 全 大 于 零 .推 论 实 对 称 矩 阵 A 是 正 定 矩

8、阵 的 充 分 而 且 必 要 条 件 是 A 的 主 子 式 全 大 于 零 .定 理 6 实 对 称 矩 阵 A 是 正 定 矩 阵 的 充 分 而 且 必 要 条 件 是 存 在 实 可 逆 矩 阵 C ,使 A = CTC.定 理 7 实 对 称 矩 阵 A 是 正 定 矩 阵 的 充 分 而 且 必 要 条 件 是 对 任 意 的 实 n 阶 可 逆 方 阵 C ,使 CTAC 都 是 正定 的 .定 理 8 实 对 称 矩 阵 A 是 正 定 矩 阵 的 充 分 而 且 必 要 条 件 是 存 在 可 逆 上 三 角 矩 阵 S ,使 A = S TS .定 理 9 若 A 是 实

9、 对 称 正 定 矩 阵 ,则 A - 1 也 是 正 定 矩 阵 .定 理 10 若 A 是 实 对 称 正 定 矩 阵 ,则 对 于 任 意 整 数 m , Am 都 是 正 定 矩 阵 .证 明 I 当 m = 0 时 , Am = E 当 然 是 正 定 矩 阵 .II 当 m 0 , 因 而 对 任 意 0 x Rn , 有xT ( aA + bB) x = axTAx + bxTBx 0.所 以 任 意 两 个 同 阶 正 定 矩 阵 的 和 是 正 定 矩 阵 .多 于 两 个 矩 阵 的 情 形 可 按 同 样 方 式 处 理 , 并 利 用 数 学 归 纳 法 给 出 证 明

10、 :(1) 当 n = 2 时 已 证 明 命 题 结 论 为 真 ;(2) 假 设 n 0.下 证 a1 A1 + + akAk + ak +1 Ak +1 为 正 定 矩 阵 . 因 而 对 任 意 0 x Rn 有xT ( a1 A1 + + akAk + ak +1 Ak +1) x = a1 xTA1 x + + akxTAkx + ak +1 xTAk +1 x 0 ,其 中 每 一 项 均 为 正 . 所 以 n = k + 1 时 , 结 论 为 真 .综 合 (1) 、 (2) 可 知 ,对 于 一 切 的 自 然 数 n , 诸 正 定 矩 阵 的 正 线 性 组 合 必

11、为 正 定 矩 阵 .定 理 13 实 对 称 正 定 矩 阵 的 任 何 主 子 阵 必 为 正 定 矩 阵 .定 理 14 对 于 任 何 的 实 对 称 矩 阵 A ,必 存 在 实 数 0 , 0 ,使 E + A 与 E + A 是 正 定 矩 阵 .定 理 15 实 对 称 矩 阵 A 是 正 定 矩 阵 的 充 分 而 且 必 要 条 件 是 A 的 所 有 特 征 根 都 大 于 零 .证 明 由 于 A 是 实 对 称 矩 阵 ,故 存 在 正 交 矩 阵 P ,使A = PT 1w nP ,其 中 i 是 A 的 特 征 根 . 对 于 任 意 的 0 X Rn 1 ,作

12、二 次 型 f ( x1 , x2 , xn) = XTAX ,则f = ( PX) T 1w n( PX) .作 线 形 替 换 Y = PX ,则f = XTAX = YT 1w nY = 1 y21 + 2 y22 + + ny2n.621 湖 州 师 范 学 院 学 报 第 26 卷 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/若 A 是 正 定 矩 阵 ,则 显 然 f 为 正 定 二 次 型 ,故 i 0. 相 反 ,若 i 0 ,则 f 为 正 定

13、 二 次 型 ,所 以 A 是 正 定 矩 阵 .定 理 16 若 A 、 B 都 是 实 对 称 矩 阵 ,并 且 AB = BA ,则 AB 也 必 为 正 定 矩 阵 .2. 2 一 般 实 矩 阵 的 正 定 判 定定 理 17 实 矩 阵 A Rn n 是 正 定 矩 阵 的 充 分 而 且 必 要 条 件 是 对 于 任 意 的 n 维 非 零 列 向 量 x , 即 0 x Rn ,使 xTAx 0.推 广 定 理 5 及 其 推 论 可 以 得 到 :定 理 18 若 实 矩 阵 A Rn n 是 正 定 矩 阵 ,则 A 的 各 阶 顺 序 主 子 式 全 大 于 零 .推

14、论 若 实 矩 阵 A Rn n 是 正 定 矩 阵 ,则 A 的 各 阶 主 子 式 全 大 于 零 .下 面 再 给 出 一 般 实 正 定 矩 阵 的 一 个 重 要 性 质 :定 理 19 设A =a11 a12 a1 na21 a22 a2 n an1 an2 ann, aii 0 , i = 1 ,2 , , n ,为 实 正 定 矩 阵 ,则aij + aji 0 ,即 aij + aji 0 , i = 1 ,2 , , n , 且 若 | aij + aji | 0 , i = 1 ,2 , , n ,那 么 | A | 0.证 明 由 已 知 条 件 可 知 :A + A

15、T 的 各 阶 顺 序 主 子 阵 都 是 严 格 对 角 占 优 阵 ,且 aii 0 , i = 1 ,2 , , n. 于是 由 引 理 2 (通 过 引 理 1可 证 得 ) 可 知 :A + A T的 每 一 个 顺 序 主 子 式 都 大 于 零 ,从 而 A + A T是 实 对 称 正 定 矩 阵 ,721第 2 期 倪 凌 炜 :实 正 定 矩 阵 的 若 干 判 定 方 法 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/故 A 是 实 正 定

16、矩 阵 7 .推 论 1 设A =aa21 a wan1 an2 a满 足 a 0 ,且 若 | aij | 0 ,且 若 | alij | 2 aln - 1 , i , j = 1 ,2 , , n ,则 l 个 矩 阵 A 自 身 的 Hadamard积 A . A . . A 是 实 正 定矩 阵 .参 考 文 献 :1 Johnson C R. Positive definite matricesJ . Amer Math Monthly ,1970 ,77 :71 88.2 Johnson H R. An inequality for matrices whose symmetri

17、c part is positiveJ . Linear Alg Appl ,1973 ,6 (4) :44 63.3 北 京 大 学 数 学 系 . 高 等 代 数 M. 北 京 :高 等 教 育 出 版 社 ,1988. 160 209.4 张 禾 瑞 ,郝 炳 新 . 高 等 代 数 M. 北 京 :高 等 教 育 出 版 社 ,1998. 130 140.5 杨 子 胥 . 高 等 代 数 习 题 集 M. 济 南 :山 东 科 技 出 版 社 ,2003. 390 507.6 屠 伯 埙 . 亚 正 定 阵 理 论 ( ) J . 数 学 学 报 ,1990 ,33 (4) :74

18、102.7 屠 伯 埙 . 亚 正 定 阵 理 论 ( ) J . 数 学 学 报 ,1991 ,34 (1) :65 84.8 高 益 明 . 矩 阵 广 义 对 角 占 优 和 非 奇 的 判 定 J . 东 北 师 范 大 学 学 报 ,1982 ,16 (3) :154 162.Some Judgment Methods for the Real Symmetry Positive Definite MatrixNI Ling wei(Faculty of Science , Huzhou Teachers College , Huzhou 313000 , China)Abstrac

19、t :Positive symmetry matrix , a special type of real matrix , is critically important in the matrix theory . It is widelyapplied in different branches of mathematics and physics. The positive symmetry matrix we study in college is virtually re2al symmetry positive definite matrix , which is a more s

20、pecial type of real matrix and is more uncomplicated than the aver2age positive symmetry matrix. On the basis of some judging methods of real symmetry positive definite matrix , this paperintends to make the first step to discuss and probe into the characteristics and judgment of positive symmetry m

21、atrix. Mostof the judging methods originate from accumulation of daily practice , so they are of wide ranging practical value and ap2plication value.Key words :real symmetry positive definite matrix ; real positive definite matrix ; the strict opposite angles occupying ex2cellency ; Hadamard product821 湖 州 师 范 学 院 学 报 第 26 卷