1、温馨提示： 高考题库为 word 版，请按住 ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点 15 数列求和1.（2010天津高考理科6）已知 na是首项为 1 的等比数列， ns是 a的前 n 项和，且 369s，则数列 1na的前 5 项和为( )（A） 8或 5 （B） 316或 5 （C） 316 （D） 158【命题立意】考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式【思路点拨】求出数列 na的通项公式是关键【规范解答】选 C设 1nq，则3636199()1qq，即 3918,2q， 11()2nna，55()326T2.（2010天津高考文科5）设a
2、n是等比数列，公比 q，S n为a n的前 n 项和记 *217,.nSTNa设 0nT为数列 n的最大项，则 0= 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前 n 项和、均值不等式等基础知识【思路点拨】化简 n利用均值不等式求最值【规范解答】 ,)2(,21)(,21)( 12 nnnn aaSaS ,7)()(6)()(171 nnnnaT ,8)2()(6nn当且仅当 162n即 n，所以当 n=4，即 04时， T最大【答案】43.（2010安徽高考理科20）设数列 12,na 中的每一项都不为 0证明： na为等差数列的充分必要条件是：对任何 N，都有12311nna【命题立意】本题主要
3、考查等差数列与充要条件等知识，考查考生推理论证，运算求解能力【思路点拨】证明可分为两步，先证明必要性，适宜采用列项相消法，再证明充分性，可采用数学归纳法或综合法【规范解答】已知数列 na中的每一项都不为 0，先证 “若数列 na为等差数列，设公差为 d，当 0d时，有 11()nna，1231na 12311()()()ndaa111()nnnad即对任何 N，有 1231na 1n成立；当 0d时，显然 1231na 1n也成立再证 “对任意 nN，有 1231naa 1n，12312nn 12na，由-得： 12na12n- 1na上式两端同乘 ，得 12()na，同理可得 11()nn，
4、由-得： 22a，所以 n为等差数列【方法技巧】1、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如分组、裂项等 ，转化为常见的类型进行求和；2、对数列中的含 n 的式子，注意可以把式子中的 n 换为 1或 n得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把 n 取自然数中的具体的数 1，2，3等，得到一些等式归纳证明.4.（2010山东高考理科18）已知等差数列 na满足： 37， 5726a， na的前 n 项和为nS（1）求 a及 n；（2）令 nb21(nN*)，求数列 nb的前 n 项和 T【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,考
5、查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求 na及 S；(2)由(1)求出 nb的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.【规范解答】 （1）设等差数列 na的公差为 d，因为 37a， 5726，所以有12706ad，解得 13,2d，所以 3)=n+n（ ； nS= (-1)= 2n+.（2）由（1）知 21na，所以 bn= 2a= 2)（ 14(n)= 1(-)n+，所以 nT= (-+-)43+ = 1(-4(+1)，即数列 nb的前 n 项和 T= 4().【方法技巧】数列求和的常用方法：1、直
6、接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对公比 1q的讨论.2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广).5.（2010安徽高考文科21）设 12,nC 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在 x轴的正半轴上，且都与直线 3yx相切，对每一个正整数 ,圆
7、 nC都与圆 1n相互外切，以 nr表示 C的半径，已知 nr为递增数列.(1)证明： 为等比数列；（2）设 1r，求数列 nr的前 项和. 【命题立意】本题主要考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察考生的抽象概括能力以及推理论证能力【思路点拨】 （1）求直线倾斜角的正弦，设 nC的圆心为 (,0)n，得 2nr，同理得 12nr，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即 中 1与 的关系，可证明 n为等比数列；（2）利用（1）的结论求 nr的通项公式，代入数列 nr，然后采用错位相减法求和.【规范解答】 331,si,2x（ 1） 将 直 线 y=的
8、倾 斜 角 记 为 ,则 有 ta=nnn nrir,C 设 的 圆 心 为 （ ， 0） ， 则 由 题 意 得 知 ， 得n+12r同 理 ，又 n+1n n+1rrr3将 和 ， 代 入 上 式 解 得，q3故 为 公 比 的 等 比 数 列 。n11nn nr1q3r3r（ ） 由 于 ， ， 故 ， 从 而 ，n12.,rrn记 S则 有21n13.3()nn121n 1333.3(),22nnnnn ,得2S1199()()424nnnS【方法技巧】1、对数列中的含 n 的式子，注意可以把式子中的 n 换为 1或 n得到相关的式子，再进行化简变形处理；2、在进行数列求和问题时，要善
9、于观察关系式特点，进行适当的处理，如分组、列项相消、错位相减等 ，转化为常见的类型进行求和6.（2010江苏高考9）设各项均为正数的数列 na的前 n 项和为 nS，已知 312a，数列nS是公差为 d的等差数列（1）求数列 na的通项公式（用 dn,表示） ；（2）设 c为实数，对满足 mk且3的任意正整数 knm,，不等式 knmcS都成立。求证： 的最大值为 29【命题立意】本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不等式的恒成立问题等有关知识，考查探索、分析及论证的能力【思路点拨】 （1）先求 nS，然后利用 naS与 的关系求解；（2）利用（1）中所求 nS利用基本不等式解决【
10、规范解答】 （1）由题意知： 0d， 11()()ndad2323213()aaSS，22a化简，得：22110,adad(),nnSdS，当 2时，2221()(1)n nd ，适合 1n情形故所求2()a（2） （方法一） 2222mnkScdnckdmnck， 2mnk恒成立又 且3，2229()()9，故92c，即 的最大值为9（方法二）由 1ad及 1()nSad，得 0，2nSd于是，对满足题设的 km,， ，有2222()9()mn kSddS所以 c的最大值 max9另一方面，任取实数 2设 k为偶数，令31,2mkn，则 knm,符合条件，且2223()(1)()(94)mn
11、Sdd于是，只要 2294ka，即当 9ka时，21mnkSaS所以满足条件的c，从而 maxc因此 的最大值为927.（2010天津高考文科22）在数列 na中， 1=0，且对任意 k *N， 2k12k+1a,成等差数列，其公差为 2k.（）证明 456a,成等比数列；（）求数列 n的通项公式；（）记223nnTaaA，证明 n3T2（ ） .【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法【思路点拨】 （） （）应用定义法证明、求解；（）对 n 分奇数、偶数进行讨论【规
12、范解答】 （I）由题设可知， 21a， 324a， 348a， 5412a，6518a。从而 6543，所以 4， 5， 6成等比数列（II）由题设可得 21,*kakN所以 21 21331.k kaa 4.4,*kN.由 10a，得 21k ，从而 221kak.所以数列 n的通项公式为 2,n为 奇 数为 偶 数或写为 214nna， *N（III）由（II）可知 21ka， 2ka，以下分两种情况进行讨论：（1） 当 n 为偶数时，设 n=2m *mN若 m，则2nka，若 2，则 22221 121 144nmmkkkkkkaa21 14112m mk kkk 32n.所以231nka，从而2,46,8.ka（）当 n 为奇数时，设 2*nmN2221 134nmkkaa 422n所以 231nka，从而23,35,7.nka综合（1）和（2）可知，对任意 ,*,N有 2.nT
