1、南京信息工程大学试卷学年 第 1 学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120 分钟；任课教师 课程组 ；一 填空题：（每小题 4 分，共 32 分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上）1.设 在 上处处连续，则1(),0)xfxa(,)a。-1e解 1100limlixxx e,有连续性有a-1e2. 已 知 ,则 。(3)2f0(3)(li2hff解 已知 则 0 0()(1()3)limlim2hhfffh133.函数 在 上的最大值为()cosfxx,236解 令 得12sin0fx6x0362f则最大值为 34. 设 ， 则 , 5(sin)1coxty0
2、tdyx20ty1解 0 00si5t ttdx 2000tt tdydyxdyxtx20cos1sin15ttttt5. 设 ，则1(0)xyylnxx解 两边取对数有 lnl两边关于 求导得 ,整理后即得结果1y6. 设函数 由方程 确定，则()xcos()0xyd。sin1dy解 对方程两边关于 求导 得:-i0xy则s1inydsin1xd7. 曲线 在点 处的曲率2xe(0,)MK452解 200xxye 2004xxye则 3322511k8.函数 在 处的二阶泰勒公式为()xfe0()fx2316e解 由 ,代入泰勒公式即得nxfe二选择题：（每小题 4 分，共 32 分，每小题
3、的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答案对应的选项的字母填入题后括号里）1.当 时，下列函数中为无穷小的函数是（ ） 。0xDA. ； B. ； C. ； D. 。lgsin1cosxin12xe解 不存在0.mxA0.lmcosxB不存在 1.lisC21.iDe2.设 ，则 在点 处（ ） 。21sin,0()0xf()fx0CA. 极限不存在； B. 极限存在，但不连续；C连续，但不可导； D. 可导。解 由 201limsin0xf则 在点 处连续()f又 2001sinlilimxxf 不存在21lisin则 在点 处不可导()f3.设 ，则 （ ） 。arcosi
4、xy()yAA. ； B. ； C. ； D. 。12312解 1 22 1arcosx xxy 4.曲线 在 处的切线方程是（ ） 。cosinxty4BA. ；22()88xB. ；4yC. ；xD. 。解 4 44sincoit ttdytx 则切线方程为22yx5.已知函数 ，则 （ ） 。cosxe(40)yAA. ； B. ；402 2sinxeC. ； D. 。x解 22coss2nnxxeex则即得结果 A6.曲线 的凹区间是（ ） 。53yBA. ； B. ； C. ； D. 以上都不对。(,0),(,)解 2133019xyx当 时, ,则曲线是凹的+7.若 ，在 内()(
5、)ff(,)且 ，则在 内有（ ） 。0x)(0,CA. ； B. ；, ,0fxfC. ； D. 。()(ff)()解 设 则,-xff又 00fx由 且 f则 8. 函 数 对 一 切 满 足()yfx2()3()xffx， 若 ， 则（ ） 。1e00BA. 是 的极大值；0B. 是 的极小值；()fC. 是曲线 的拐点；0,x()yfxD. 不是 的极值， 也不是曲线 的拐点。(f0,()yfx解 00011xef当 ， 当x0f也即 ，则 不是拐点0f0又 ,则 是 的极小值()fx三解答题：1.求函数 的单调区间与极值。 （8 分）2ln()f解 定义区间为 ,0令212llxxf
6、2ln0x有 或者 e0,12,e2,efx极小值 极大值 则在 单调减少,在 上单调增加2(0,1)e21,e极小值: , 极大值:f24f2.求下列极限。 （每小题 6 分）(1)0lim()sntaxx解 原式2001coli()liixx(2)1sin2解 应用洛比塔法则,有原式1si1coslim2xx211tanseclimlicosin2xxx243.确定函数 的间断点，并指出间断点所属的类型。 （8 分）1()xfe解 函数在 处无定义.0,=由于 01limxx故 ,从而 是 的无穷间断点0ffx又 ,故11lilixxli,lixee 所以 ,因此 是 的跳跃间断点0fff4.（8 分 ） 设函数 在 上连续，在 内可导，且()x1(0)，证明：(),2ff存在 ，使 ；(1)(,)2(f存在 ，使得 。0)1证 设()Fxf由 在 上连续，在 内可导f,(,1则 在 上连续,可导2在 上1, 102Ff01f由零点定理,在 内至少存在一点 ,使,2即 f设 , 在 上连续,在()xfGe0内可导,且000fGe则在 内至少存在一点 ,使0,210ffee 即则 ()f因为 ,则 ,即结论成立0,10
