1、第 5 讲 直线、平面垂直的判定及其性质【2013 年高考会这样考】1以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定，经常与命题或充要条件相结合2以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力3能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题【复习指导】1垂直是立体几何的必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，所以是高考的热点，是复习的重点纵观历年来的高考题，立体几何中没有难度过大的题，所以复习要抓好三基：基础知识，基本方法，基本能力2要重视和研究数学思想、数学方法在本讲
2、中“化归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直” ，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口基础梳理1直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法定义法利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一直线的两平面平行2斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角3平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法定义法利用判定定理：如果一个平面过另
3、一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面一个关系垂直问题的转化关系线 线 垂 直 面 面 垂 直 判 定 性 质 线 面 垂 直 判 定 性 质三类证法(1)证明线线垂直的方法定义：两条直 线所成的角 为 90；平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性 质：a，b ab；线面垂直的性 质：a，b ab.(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定 义：a 与 内任何直线都垂直a；判定定理 1：Error!l；判定定理 2：ab，ab；面面平行的性质：，a a ；面面垂直的性质：，l，a ，ala.(3)
4、证明面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.双基自测1(人教 A 版教材习题改编)下列条件中，能判定直线 l平面 的是( )Al 与平面 内的两条直线垂直Bl 与平面 内无数条直线垂直Cl 与平面 内的某一条直线垂直Dl 与平面 内任意一条直线垂直解析 由直线与平面垂直的定义，可知 D 正确答案 D2(2012安庆月考 )在空间中，下列命题正确的是( )A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行解析 选项 A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项 B，两个相交平面的交线与某
5、一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项 C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项 D 正确答案 D3(2012兰州模拟 )用 a，b，c 表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题：若 ab，bc ，则 a c；若 ab，bc ，则 a c；若 a，b ，则 a b；若 a，b ，则 a b. 其中真命题的序号是( )A B C D解析 由公理 4 知是真命题在空间内 ab，bc，直线 a、c 的关系不确定，故是假命题由 a，b，不能判定 a、b 的关系，故是假命题是直线与平面垂直的性质定理答案 C4(2011聊城模拟 )设 a、b、c 表示三条不同的直线，、 表示两个不同的平
6、面，则下列命题中不正确的是( ) A.Error!c B.Error!bcC.Error!cD.Error!b解析 由 a，b 可得 b 与 的位置关系有：b，b，b 与 相交，所以 D 不正确答案 D5如图，已知 PA平面 ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_解析 由线面垂直知，图中直角三角形为 4 个答案 4 考向一 直线与平面垂直的判定与性质【例 1】(2011 天津改编)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，ADC45，ADAC 1，O 为 AC 的中点，PO 平面 ABCD.证明：AD 平面 PAC.审题视点 只需 证 ADAC，再利用 线面垂直的判定
7、定理即可证明 ADC45 ，且 ADAC1.DAC90 ，即 ADAC，又 PO 平面 ABCD，AD 平面 ABCD，PO AD，而 ACPO O，AD 平面 PAC.(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；ab，a b；，aa；面面垂直的性质(2)线面垂直的性 质，常用来证明线线垂直【训练 1】 如图，已知 BD平面 ABC，MC 綉 BD，ACBC，N 是棱 AB 的中点12求证：CN AD.证明 BD 平面 ABC，CN平面 ABC，BDCN.又ACBC，N 是 AB 的中点CNAB.又BD ABB，CN平面 ABD.而 AD 平面 ABD，CNAD .考向二 平面与平面垂直的
8、判定与性质【例 2】如图所示，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABDC ，PAD 是等边三角形，已知 BD 2AD8，AB 2DC4 .M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD平面 PAD.5审题视点 证 明 BD平面 PAD，根据已知平面 PAD平面 ABCD，只要证明 BDAD 即可证明 在ABD 中，由于 AD4，BD 8，AB4 ，5所以 AD2BD 2AB 2.故 ADBD.又平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，BD 平面 ABCD，所以 BD平面 PAD.又 BD 平面 MBD，故平面 MBD平面 PAD.面面垂直的关键是线面垂直，
9、线面垂直的证明方法主要有：判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法【训练 2】 如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABAD 1，AA 12，M 是棱 CC1 的中点证明：平面 ABM平面 A1B1M.证明 A 1B1平面 B1C1CB，BM平面 B1C1CB， A 1B1BM ，由已知易得 B1M ，2又 BM ，B 1B2，BC2 CM2 2B 1M2BM 2B 1B2，B 1MBM.又A 1B1B 1MB 1，BM平面 A1B
10、1M.而 BM平面 ABM，平面 ABM平面 A1B1M.考向三 平行与垂直关系的综合应用【例 3】如图，在四面体 ABCD 中，CBCD，ADBD，点 E、F 分别是 AB、BD 的中点求证：(1)直线 EF平面 ACD；(2)平面 EFC平面 BCD.审题视点 第 (1)问需证明 EFAD；第(2)问需证明 BD平面 EFC.证明 (1)在 ABD 中，因为 E、F 分别是 AB、BD 的中点，所以 EFAD.又 AD 平面 ACD，EF 平面 ACD，所以直线 EF平面 ACD. (2)在ABD 中，因为 ADBD，EF AD，所以 EFBD.在BCD 中，因为 CDCB，F 为 BD
11、的中点，所以 CFBD.因为 EF平面 EFC，CF 平面 EFC，EF 与 CF 交于点 F，所以 BD平面 EFC.又因为 BD平面 BCD，所以平面 EFC平面 BCD.解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的 结构特征相 结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键【训练 3】 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，EFAC，AB ，CEEF1.2(1)求证：AF平面 BDE；(2)求证：CF 平面 BDE. 证明 (1)设 AC 与 BD 交于
12、点 G.因为 EFAG，且 EF1 ，AG AC1.12所以四边形 AGEF 为平行四边形，所以 AFEG.因为 EG平面 BDE，AF平面 BDE，所以 AF平面 BDE.(2)如图，连接 FG.因为 EFCG，EF CG 1，且 CE1，所以四边形 CEFG 为菱形所以 CFEG.因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BDAC.又因为平面 ACEF平面 ABCD，且平面 ACEF平面 ABCDAC，所以 BD平面 ACEF. 所以 CFBD.又 BD EG G.所以 CF平面 BDE.考向四 线面角【例 4】(2012 无锡模拟)如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PD底面 ABCD
13、，点 E 在棱 PB 上(1)求证：平面 AEC平面 PDB；(2)当 PD AB，且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小2审题视点 (1)转化为证 明 AC平面 PDB；(2)AE 与平面 PDB 所成的角即为 AE 与它在平面PDB 上的射影所成的角(1)证明 四边形 ABCD 是正方形，ACBD.PD 底面 ABCD，PD AC.又 PDBD D，AC平面 PDB.又 AC平面 AEC，平面 AEC平面 PDB.(2)解 设 ACBDO，连接 OE.由(1)知，AC 平面 PDB 于点 O，AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角点 O、E 分别为 DB、
14、PB 的中点，OEPD，且 OE PD.12又PD 底面 ABCD， OE底面 ABCD，OE AO.在 Rt AOE 中，OE PD ABAO，AEO45.12 22即 AE 与平面 PDB 所成的角为 45.求直线与平面所成的角，一般分为两大步：(1)找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；(2)计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解【训练 4】 (2012 丽水质检)如图，已知 DC平面 ABC，EBDC，ACBCEB2DC 2，ACB120，P，Q 分别为 AE，AB 的中点(1)证明：PQ平面 ACD；(2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值(1)证
15、明 因为 P，Q 分别为 AE，AB 的中点，所以 PQEB.又 DCEB ，因此 PQDC，PQ平面 ACD，DC平面 ACD，从而 PQ平面 ACD.(2)解 如图，连接 CQ，DP.因为 Q 为 AB 的中点，且 ACBC，所以 CQAB.因为 DC平面 ABC，EBDC，所以 EB平面 ABC.因此 CQEB，又 ABEBB，故 CQ平面 ABE.由(1)有 PQDC，又 PQ EBDC，12所以四边形 CQPD 为平行四边形，故 DPCQ，因此 DP平面 ABE，DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角，在 Rt DPA 中，AD ，DP1，sinDAP .555因此 AD 和平面
16、 ABE 所成角的正弦值为 . 55阅卷报告 11证明过程推理不严密而丢分【问题诊断】 高考对空间线面关系的考查每年必有一道解答题，难度为中低档题，大多数考生会做而得不到全分，往往因为推理不严密，跳步作答所致.【防范措施】 解题过程要表达准确、格式要符合要求.每步推理要有根有据.计算题要有明确的计算过程，不可跨度太大，以免漏掉得分点.引入数据要明确、要写明已知、设等字样.要养成良好的书写习惯.【示例】(2011 江苏)如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，AB AD ，BAD 60 ，E ，F 分别是AP，AD 的中点求证：(1)直线 EF平面 PCD；(2)平面 BEF
17、 平面 PAD.错因 在运用判定定理时漏掉关键条件致使推理不严谨致误实录 (1)在 PAD 中，因为 E，F 分别为 AP、AD 的中点，所以 EFPD，所以 EF平面PCD.(2)ABD 为正三角形，BFAD，又平面 PAD 平面 ABCDBF平面 PAD，平面 BEF平面 PAD.正解 (1)在PAD 中，因为 E， F 分别为 AP，AD 的中点，所以 EFPD.又因为 EF平面 PCD，PD平面 PCD，所以直线 EF平面 PCD.(2)如图，连结 BD.因为 ABAD，BAD 60 ，所以ABD 为正三角形因为 F 是 AD 的中点，所以 BFAD.因为平面 PAD平面 ABCD，B
18、F 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，所以 BF平面 PAD.又因为 BF平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD.【试一试】 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，E 、F 分别为 PC、BD 的中点，侧面 PAD底面 ABCD，且 PAPD AD.22(1)求证：EF平面 PAD；(2)求证：平面 PAB平面 PCD.尝试解答 (1)连接 AC，则 F 是 AC 的中点，E 为 PC 的中点，故在CPA 中，EFPA，又PA平面 PAD，EF 平面 PAD，EF平面 PAD.(2)平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD ，又CDAD，CD平面 PAD，CDPA .又 PAPD AD，22PAD 是等腰直角三角形，且APD ，即 PAPD.2又CDPDD，PA 平面 PCD.又PA平面 PAB，平面 PAB平面 PCD.
