1、CHAP5 大数定律及中心极限定理,5.1 大数定律,设随机变量 X 的均值 E(X) 及方差D(X)都存在，则对于任意给定的 ，有不等式,5.1.1 契比雪夫不等式,2018年6月5日,定理5.1,或,证明,（我们仅对连续性的随机变量进行证明）,设 f (x) 为 X 的密度函数，记,则,说明,从定理中看出，如果D(x) 越小，那么随机变量 X 取值于开区间 中的概率就越大，这就说明方差是一个反映随机变量的概率分布对其分布中心 (E(X) 的离散程度的数量指标,定理5.2,设相互独立的随机变量序列 分别具有均值 及方差 ，且若存在常数C，使 则对于任意给定的，有,5.1.2 契比雪夫大数定律
2、,证明,由于 相互独立，那么对于任意的 相互独立. 于是,由契比雪夫不等式可得,即,推论5.1,一般地，称概率接近于1 的事件为大概率事件，而称概率接近于0 的事件为小概率事件. 在一次试验中大概率事件几乎肯定要发生，而小概率事件几乎不可能发生，这一规律称之为实际推断原理,设 是一随机变量序列， a 为一常数，对于任意给定的 ，有,定义5.1,则称随机变量序列 依概率收敛于a .,记为,设 是一随机变量序列， 若存在常数列 使对于任意给定 的 ，有,定义5.2,则称随机变量序列 服从大数定律.,5.1.3 伯努利大数定律与辛钦大数定律,定理5.3（伯努利大数定理）,证明,引入随机变量,显然,根
3、据推论5.1有,证毕.,该定理 称为伯努利大数定理.,故而当 n 很大时, 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小. 根据实际推断原理, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.,关于伯努利定理的说明:,关于辛钦定理的说明:,(1) 与定理一相比, 不要求方差存在;,(2) 伯努利定理是辛钦定理的特殊情况.,定理5.4（辛钦定理）,CHAP5 大数定律及中心极限定理,5.2 中心极限定理,定理5.5（林德贝格勒维中心极限定理）,定理表明:,服从同一分布，已知均值为,推论5.2,近似服从正态分布,设相互独立的随机变量, 方差为,但分布函数未知，当n 充分大时，,推论5.3
4、,近似服从正态分布,设相互独立的随机变量,服从同一分布，已知均值为, 方差为,但分布函数未知，当n 充分大时，,例 某单位内部有260 部电话分机，每部分机有4%的时间使用外线与外界通话，可以认为每部电话分机使用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能 95% 满足每部分机在使用外线时不用等候?,解,是260个相互独立的随机变量，且,表示同时使用外线的分机数，,由定理5.5有,根据题意应确定最小的 x 使下式成立,于是,也就是说，至少需要16条外线才能95%满足每部分机在使用外线时不用等候,证明,定理5.6 (德莫佛拉普拉斯定理),根据定理5.5得,设随机变量 X 服从,例,解,例 设某城市供电网中内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关彼此独立, 计算同时开着的灯数在6 800与7 200之间的概率,解,记同时开着的灯数为 X ，服从,于是,
