1、9-1 压杆稳定的概念9-2 两端铰支细长杆的临界压力9-3 其他支座条件下细长杆的临界压力9-4 欧拉公式的适用范围 经验公式9-5 压杆的稳定校核9-6 提高压杆稳定的措施9-7 纵横弯曲的概念,9-1 压杆稳定的概念,例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢的许用应力为=196MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为,P = A = 3.92 KN,实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见，钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，而是与 受压时变弯 有关。,一、稳定平衡与不稳定平衡的概念 当 F小于某一临界值Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将
2、恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线形态下的平衡是稳定平衡。,当 F增大到一定的临界值Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态，压杆在原来直线形态下的平衡是 不稳定平衡。,两端球形绞支，长为 L的等截面细长 中心受压直杆。,9-2两端铰支细长压杆的临界压力,压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移为 y = f (x),该截面的弯矩为,杆的挠曲线近似微分方程为,其中 I 为压杆横截面的最小形心主惯性矩。,令,则有二阶常系数线性微分方程,其通解为,A，B，k 三个待定常数由该挠曲线的三个边界条件确定。,边界条件：,得,B=0,B=0 ，,边界条件：,要想压杆
3、在微弯状态下平衡只有,要想压杆在微弯状态下平衡只有,其最小解为 n = 1 的解,即得,这就是两端绞支等截面细长中心受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）,C为拐点,9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力,C，D为拐点,表7-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆 临界力的欧拉公式,欧拉公式 的统一形式,为压杆的长度系数; l 为相当长度。,讨论：,（1）相当长度 l 的物理意义, 为长度系数, l 为相当长度,（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I,例9-3-1： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大， 哪一根的最小？,因为,又,可知,解：,故取,例9-3-2：已知：图示压
4、杆EI,且杆在B支承处不能转动,求：临界压力,例9-3-3：由A3钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形绞。在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端绞支，z = 1，长度为 l1 。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定 y = 0.6 ，长度为 l2 。求 Fcr。,z,y,22,12,6,6,24,解：,在xy平面内失稳时，z为中性轴,在xz平面内失稳时，y为中性轴,z,y,22,12,6,6,24,一、欧拉公式的应用范围,(1) 压杆的临界应力公式 （临界应力欧拉公式）,压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡时，横截面上的压应力可按 = P/A 计算。,9-4
5、欧拉公式的应用范围 经验公式,按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为,为压杆横截面对中性轴的惯性半径,称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。, 越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。,若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力cr 。,(2) 欧拉公式的应用范围,只有在 cr P 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界力 Fcr（临界应力 cr ）。,或, 当 1（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用 欧拉公式。, 当 1（小柔度压杆）时，不能应用欧拉
6、公式。 用经验公式,A 3 钢 ( = 0123 ),16 锰 钢 ( = 0102 ),右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。,1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可取 E=206MPa，p=200MPa，得,右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。,1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可取 E=206MPa，P=200MPa，得,右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。,二、压杆的临界应力总图,o,经验公式,解：,圆形截面杆：,例9-4-1 截面
7、为圆形，直径为 d 两端固定的细长压杆和截面为正方形，边长为d 两端绞支的细长压杆，材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。,圆形截面杆：,所以,正方形截面杆：,由 1 = 2 得,Fcr 压杆的临界压力,nw 压杆的稳定安全系数,压杆稳定条件：,9-5 压杆的稳定校核,F工作压力, ：稳定系数,主要与柔度有关,压杆的强度条件 (强度许用应力) 压杆的稳定性条件 (稳定许用应力),例9-5-1 两端铰支中心受压直杆，材料 、截面形状 、求：,解： 1 . 计算截面的惯性半径 i (取最小) 查表算得组合截面对其形心主轴 y、 z的惯性矩,3. 计算稳定许用应力st 根据=97，查表得=
8、0.575，代 入公式可得压杆的稳定许用应力为,2 . 计算杆件柔度 (取最大),例9-5-2 一连杆尺寸如图，材料为 A3 钢，承受的轴向压力为 P=120KN，取稳定安全系数 nw =2，校核连杆的稳定性。,在 xy 面内失稳连杆两端为绞支，长度 l =940 。,在 xz 面内失稳近似两端固定，长度 l 1=880 。,在 xy 面内失稳连杆两端为绞支，长度 l =940 。,解：(1) 求柔度 ,在 xz 面内失稳近似两端固定，长度 l 1=880 。,杆在 xz 面内先失稳，应用 y 计算临界力。,（2）求临界力，作稳定校核,因为 y = 61 123，用经验公式计算,压杆是稳定的,
9、（3）如果要求连杆在两平面内 失稳时的临界力相等,例9-5-3 两端绞支压杆，材料为A3钢，截面为圆环，P=180KN，l =2500mm，r=60mm，稳定安全系数nw=2.5，计算钢管壁厚t 。,解：按薄壁管考虑,用经验公式计算,取壁厚 t =6mm，此时,不超过10%，可按薄环处理。,例9-5-4 压杆的约束情况，轴向压力，材料均同上例， 试选择工字型截面。已知材料的 E = 206GPa，强度 许用应力 = 140MPa。,解：用试算法,先根据 A3 钢的强度许用应力求一截面作参考,考虑到稳定，取两倍的面积，约 2600mm2。,选出 18号 工字截面,查表：A = 30.6cm2 ， Imin=122cm4，截面的最小惯性半径 imin = 2cm,用欧拉公式计算,稳定性不足，再选 20a 工字截面,查表：A = 35.5cm2 ， imin = 2.12cm,用经验公式,20a 号工字钢可用。,Any question ?,祝大家学习愉快!,
