1、1,离散傅里叶级数及其性质,1. 1 离散傅里叶级数(DFS)定义（周期序列）,一个周期为N的周期序列,可表示为：,但是可以用离散傅里叶级数，即用复指数的加权和表示,用傅里叶级数表示，其基波频率为2p/N：,用复指数表示基波：,第k次谐波为：,所以，第k次谐波也是周期为N的序列。,不满足,，ZT不存在。,2,因此，对于离散傅里叶级数，只取下标从0到N-1的N个谐波分量就足以表示原来的信号。这样可把离散傅里叶级数表示为,式中，乘以系数1/N是为了下面计算的方便；,为k次谐波的系数。,将上式两边同乘以,并从n=0到N-1求和，得到：,3,由复指数序列的正交性：,所以，,得到周期序列的离散傅里叶级数
2、表达式：,4,令,则得到周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对,n和k均为离散变量。如果将n当作时间变量，k当作频率变量，则第一式表示的是时域到频域的变换，称为DFS的正变换。第二式表示的是频域到时域的变换，称为DFS的反变换。,由于,故 是周期为N的离散周期信号。,周期序列的信息可以用它在一个周期中的N个值来代表。,5,DFS总结:,和,2.,是离散和周期性的，且周期均为N；,5. DFS、IDFS具有唯一性.,3.离散周期序列既可用 ,也可用 表示；,1.周期性时间信号的频谱是离散的，离散时间信号的频谱是周期性的；周期性离散时间信号的频谱为周期性离散的；,4. n为离散时间变量，理解为n
3、T；k是离散频率变量，理解为 kDw;,华中科技大学电信系,6,1.2 离散傅里叶级数的性质,1. 线性,设周期序列 和 的周期都为N，且,若,则有,2周期序列的移位,设,则,7,证明,证明：,* 和 都是以N为周期的周期函数。,8,3周期卷积,设,和,都是周期为N的周期序列，它们的,DFS系数分别为,令,则,上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。,两个周期为N的序列的卷积的离散傅里叶级数(DFS)等于它们各自DFS的乘积。,9,周期卷积的计算：,周期卷积中的序列 和 对m都是周期为N的周期序列，它们的乘积对m也是以N为周期的，周期卷积仅在一个周期内求和。,相乘和相加运算仅在m=0到N-1的区间内进行。计算出n=0到N-1(一个周期)的结果后，再将其进行周期延拓，就得到周期卷积 。详见周期卷积的过程。,周期卷积满足交换律,两个周期序列的乘积 的DFS为：,10,返回,11,周期卷积小结:,周期卷积的操作步骤与非周期序列的线性卷积相同，不同的是周期卷积仅在一个周期内求和；周期卷积中,对m是周期性的，周期为N；,的周期为N；,周期卷积满足交换律。,
