1、高一数学竞赛试卷 第 1 页（共 4 页）2009 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分。1已知 是钝角三角形，且角 C 为钝角，则点 P 落在ABC sinsin,cosABCAB（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 ，且 ，函数 满足：对任意的23,log4,xMNy2MN:fMN，满足条件的函数的个数为 （ ）,xf都 有 为 奇 数A0 B 1 C2 D43在等差数列 中，已知 ，且 的前 项和，则在na693a10,nnasa为 数 列中，最大的一个是 （ ）12350,ssA B C D516s
2、2530s4已知函数 为奇函数，且满足 ， ，则 的值为fxfxf()2f8209ff（ ） A0 B 2 C D20095已知函数 ，则 （ ）41sincosincos24fxxxRfxA最大值为 2 B最小正周期为 C一条对称轴为 D一个对称中心为x 7(,)1686已知函数 关于 的方程 ，下列四个命题中是假命题的是1,fx20fxfk（ ）A存在实数 ，使得方程恰有 2 个不同的实根；kB存在实数 ，使得方程恰有 4 个不同的实根；C存在实数 ，使得方程恰有 6 个不同的实根；D存在实数 ，使得方程恰有 8 个不同的实根；k7如图，在 中，点 P 是线段 OB 及 AB、AO 的延长
3、线所围成的阴影区域内（含边界）OA的任意一点，且 ，则在直角坐标平面上，xyOB实数对 所表示的区域在直线 的右下侧部分的,xy3x面积是（ ）A B7292C4 D不能求8已知函数 的图象经过三点 ， ，432,fxabxcdab为 实 常 数 12,A3,BPM O ABN高一数学竞赛试卷 第 2 页（共 4 页），则 的值等于 （ ）14,C5fA0 B 1 C D25265二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 8 分，共 48 分。9已知 ，若 则 。.,sin2cosin2， ， 且 ta3,tan10若 ，则 。0)(5yx11函数 的最小值等于 。 13105fn N12设函数
4、 ，若 表示不大于 的最大整数，则函数 的值域3xx1122fxfx是 。13已知二次函数 ，若对于 上的任意三个实数 ，函数值21fxmx0,1,abc都能构成一个三角形的三边长，,fabc则满足条件的 的值可以是 。 （写出一个即可）14如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限。则 2000 在表中出现 次。 三、解答题：本大题共 3 小题，共 54 分。15 （本题满分 16 分）如图，已知 O 为 的外心， 角 A、ABC,abc分 别 是B、C 的对边，且满足 。C（1）推导出三边 之间的
5、关系式； ,abc（2）求 的值。tntA CA BO1 2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 8 12 16 20 24 20 28 36 44 48 64 80 112 144 高一数学竞赛试卷 第 3 页（共 4 页）16 （本题满分 19 分）已知函数 ， ，定义1fxnN对 于，偶函数 的定义域为 ，11,nnfxfxgx0x当 时， 。0209gf（1）求 ；（2）若存在实数 使得该函数在 上的最大值为 ，最小值为 ，求非零实数,ab,abmab的取值范围。m 得分 评卷人得分 评卷人高一数学竞赛试卷 第 4 页（共 4 页）17 （本题满分 19 分）数列 满足：
6、，na1321*nnaN（1）求数列 的通项公式；n（2）求证：数列 中的任两项互质。（3）记 ， 为数列 的前 项和，求 的整数部分；12nnbanSnb209S高一数学竞赛试卷 第 1 页（共 4 页）2009 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分。1D 解：由正弦定理 ，角 C 为钝角得1sinsin02ABCabcR，所以 ，选 D,2AB os,co2sin BA所 以2B 解：由已知得 ， ，对任意的 为奇1,xy3,1MN ,xMxf都 有数，所以满足条件的函数只有一个即 。ff3A 解：由 得， ， ，693a66
7、69,290adad所 以 625160aa又因为 1150,0,adA所 以 故 选4C 解：由已知得 ，推2,4fxfxfxfx所 以 ， 又 fxf出 ，所以 ， ，又由上面关fxf8091系式推得 ，选 C04f5D 解：因为 4221sin1siin4sicosin488xxxx= ，选 D21 77sinicoii48 46D 解：设 时，A 答案正确；2 12,0,3,tfxtkxt因 为 对 称 轴 为 所 以 当当 ，B 答案正确；当 时，C 答案正确；选 D。120,t123,t7A 解：如图 ，则OMNP/作过 O10,1011mAnnANMnBxxx yynmn 所 以
8、如图,选 A8D 解：由已知，设M OABNP高一数学竞赛试卷 第 2 页（共 4 页）543211gxfxabxcd2123m所以 ， ，2414xxxf 25216m644f，所以 ，选 D1625124654f m5f二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 8 分，共 48 分。91。解：由知得 sincosinsicos3sintatant1100。解：原方程可化为 55 0xyxyx114400。解：因为 1,1025fnfn125267f f 所 以 4nff所 以 的 最 小 值 为120，1。解：由已知得 101,1, ,;2xffxfxf所 以 当 时 值 为10,;,0;0
9、,22fxf当 时 值 为 当 时 值 为 所 以 值 域 为13 内的任一实数。解：由题意当 时， ；, 1,xmin2axfxf当 时， 不存在；0min012ma0,fxfxf当 时， ，不存在；1i234401ff mxff当 时， ，022in101ax2f ff 所以这时 ；1m当 时， ，122in1022max1fxf mff 所以这时 ；综上所述 。高一数学竞赛试卷 第 3 页（共 4 页）144。解：由数表推得，每一行都是等差数列，第 n 行的公差为 ，12n记第 n 行的第 m 个数为 ,则nf,1,fff2,121, 24nnf算得 12, 1nfmf mnN 答案为
10、4。2 43056n当 时 符 合 。三、解答题：本大题共 3 小题，共 54 分。15解:（1）取 AB、AC 的中点 E、F，则 2 1()24COABEABCBCAab 分同理 ；21ac所以 8 分2（2） 2 sinsitantcosi 12inicoco16BCAABCABbac 分分16解：（1）因为21 32111, ,xfxffxf ffxx f，fff , 220934为 周 期所 以 迭 代 函 数 以（5 分）设 ，10,xxgx则所以 （9 分）1,0,gx图象如右：CA BOFE高一数学竞赛试卷 第 4 页（共 4 页）（2）因为 ；（12 分）,0,0abmab又
11、因为 ，所以 （否则 ，矛盾）10,ma当 11,(,fx bA则 在 上 是 减 函 数 由 题 意所以 有两个不同实根，21, ,0,1abmxxm是 方 程 的 两 不 同 实 根 在 21401015412gm 分 110,(,0),. mbaabfx 当 时 则 在 上 是 增 函 数 由 题 意不 合综上所述 。-19 分。104m17 （1）解：因为 2 2112 2111nnnnnnaaa当 也成立，所以 ；-5 分；12,n（2）因为 112121nnnnn 所以 ，-9 分；12aa因为 为奇数，所以对任意的 均互质。-12 分。n 121,nnaa与 前 面 项（3）解：因为 ，所以 ，又因为 ，12nn1nnn12nnba所以 ，-16 分；12nnba所以 ，所以 的整数部分为 1。-19 分。2012091201S209S
