1、第2课时习题课指数函数及其性质,类型一比较两数的大小【典例1】比较下列各题中两个值的大小: (3)0.20.3,0.30.2.,【解题指南】利用指数函数的单调性、图象或中间量比较大小.,【解析】(1)因为0-2.5,所以,(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y= 与y= 的图象,如图所示.当x=-0.5时,由图象观察可得,(3)因为00.20.31,所以指数函数y=0.2x与y=0.3x在定义域R上均是减函数,且在区间(0,+)上函数y=0.2x的图象在函数y=0.3x的图象的下方(类比于题(2)图),所以0.20.20.30.2.又根据指数函数y=0.2x在R上是减函数可得0.20.30
2、.20.2,所以0.20.3f(n),则m,n的大小关系是_.,【解析】由题意a= 1,所以f(x)=ax在R上是增函数,又因为f(m)f(n),故mn.答案:mn,【补偿训练】比较下列各组数的大小:,【解析】因为y= 是减函数且-1.8-2.5,所以 因为 =0.80.4,又因为y=0.8x是减函数且0.50.4,所以0.80.50.80.4,即0.80.50.60=1, 所以0.6-2,类型二简单的指数不等式【典例2】(1)解不等式 2.(2)若a-3xax+4(a1),求x的取值范围.,【解题指南】(1)将不等式左端利用分数指数幂的运算性质化为以2为底的指数式,然后利用指数函数y=2x的
3、单调性即可求解.(2)利用指数函数y=ax(a1)在R上是增函数,将原不等式化为一元一次不等式来求解.,【解析】(1)原不等式2-2x+12-2x+11x0,故原不等式的解集为0,+).(2)因为f(x)=ax(a1)是R上的增函数,且a-3xax+4,所以-3xx+4,即x-1,故x的取值范围是x1”换为“0a-1.,2.若把本例(2)中的“a1”换为“a0且a1”,其他条件不变,则结果又是什么呢?,【解析】当a1时,原不等式-3xx+4x-1,故当a1时,x的取值范围是x-1.,【方法总结】af(x)ag(x)(a0且a1)型的指数不等式的解法(1)a1时,af(x)ag(x)f(x)g(
4、x).(2)0ag(x)f(x)b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助y=ax的单调性求解.(2)形如axbx的不等式,可借助图象求解,也可转化为 1来解.,【补偿训练】函数y= 的定义域是_.【解析】由32x-1-3x0得32x-13x,所以2x-1x,即x1.答案:1,+),类型三指数函数性质的综合应用【典例3】(2017大庆高一检测)已知定义在R上的奇函数f(x)= (1)求a,b的值.(2)判断并证明f(x)在R上的单调性.(3)求该函数的值域.,【解题指南】(1)利用奇函数的定义列出a,b的方程组,求解a,b的值.(2)利用增函数、减函数的定义去判断.(3)采用恰当的
5、方法将分式型函数变形为只有分子(或分母)含有未知数的形式更容易求值域.,【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数,(2)f(x)在R上是增函数,证明如下:由(1)知f(x)= .设x1,x2R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=,因为y=2x是R上的增函数,且x10,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0,得2x+11,所以0 2,所以-11- 1,即-1f(x)0,且a1)的函数的单调性的求法(1)定义法,即“取值作差变形定号”.其中,在定号过程中需要用到指数函数的单调性.(2)利用复合函数的单调性的规律来判断.,2.由指数函数构成的复合函数的值域求法一般用换元法即可,但应注意在变
6、量的值域和指数函数的单调性的双重作用下,函数值域的变化情况.,3.判定函数奇偶性要注意的问题(1)坚持“定义域优先”的原则:如果定义域不关于原点对称,可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数.(2)正确利用变形技巧:耐心分析f(x)和f(-x)的关系,必要时可利用f(x)f(-x)=0来判定.,(3)巧用图象的特征:在解答有图象信息的选择、填空题时,可根据奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,进行快速判定.,【补偿训练】1.(2017杭州高一检测)函数f(x)=ka-x(k,a为常数,a0且a1)的图象过点A(0,1),B(3,8).(1)求函数f(x)的解析式.(2)若函数g(
7、x)= 试判断函数g(x)的奇偶性,并给出证明.,【解题指南】(1)要求f(x)的解析式,只需将A(0,1),B(3,8)的坐标代入f(x)=ka-x,列出k与a的方程组,解方程组即可.(2)要判断g(x)的奇偶性,只需判断g(-x)与g(x)的关系.,【解析】(1)由已知得 所以k=1,a= ,所以f(x)=2x.(2)函数g(x)为奇函数,证明如下.g(x)= 其定义域为R,又g(-x)= 所以函数g(x)为奇函数.,2.已知函数f(x)= (a1),(1)判断函数的奇偶性.(2)求该函数的值域.(3)利用定义法证明f(x)是R上的增函数.,【解题指南】(1)先求定义域,再判断f(-x)与
8、f(x)相等或互为相反数.(2)采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子(或分母)含有未知数的形式更容易求值域.(3)定义法证明函数单调性的基本步骤:设元、作差、变形、判号、下结论,可用其证明f(x)在R上是增函数.,【解析】(1)因为定义域为x|xR,且f(-x)= =-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)f(x)= 因为ax+11,所以 所以-11- 1,即f(x)的值域为(-1,1).,(3)任取x1,x2R,且x11时,y=ax为R上的增函数,由x1x2得 ),所以f(x)是R上的增函数.,拓展类型:指数型复合函数的单调性【典例】(1)函数y=( -1)(x+1)(3-x)的单调递增
9、区间是()A.(1,+)B.(-,1)C.(1,3)D.(-1,1)(2)求函数y= 的单调区间,并证明.,【解题指南】(1)根据复合函数的单调性只需求t=(x+1)(3-x)的单调递减区间.(2)要求函数y= 的增区间,只需求u=x2-2x的减区间.同理,要求y= 的减区间,只需求u=x2-2x的增区间.,【解析】(1)选A.由定义域为R,令t=(x+1)(3-x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,此函数在(-,1)上为增函数,在(1,+)上为减函数,又0 -11,y=( -1)t在R上为减函数,故函数y=( -1)(x+1)(3-x)在(1,+)上为增函数.,(2)函数y= 的单调递减区间为1,+),单调递增区间为(-,1).证明如下:设u=x2-2x,则y= 对任意的1x1y2,所以y= 在1,+)上是减函数.对任意的x1u2,又因为y= 在R上是减函数,所以y11时,函数y=af(x)的单调性与f(x)的单调性相同.(2)当0a1时,函数y=af(x)的单调性与f(x)的单调性相反.,
