1、AHP(层次分析法)示例说明11AHP（层次分析法）示例说明(The Analgtic Hierarachy Process-AHP)一. AHP 预备知识为了更好地理解 AHP，需要准备一些矩阵方面的知识，以下知识都可以从线性代数中找到。1.1 特征根与特征向量设 为 n 阶方阵，若存在常数 和非零 n 维向量 ，使得mijaA),(21ngg(1)gA则称， 是矩阵 A 的特征根（或特征值） ，非零向量 是矩阵 A 关于特征根 的特征向量。 1.2 特征根的求法由(1)得 ，这是一个 n 元一次线性齐次方程组，该方程组如果00Eg有非零解，则其充分必要条件为：系数行列式为零，即(2)A称(
2、2)式为矩阵 A 的特征方程，它是一个一元 n 次方程，由线性代数基本定理知，该方程有且只有 n 个根。1.3 重量模型设 为 n 个物体，重量分别是 。但是，我们并不知道物体的重量，只u,21 ng,21知两两之间重量比的比值： jiija设准则 C 为比较重量，问题是：已知 ，在准则 C 下对元素 排序，也就是按其重量大小排序已知。),(njiaijnu,21nnnmnij ggggaA 212211对于以下三个特性： （1） 0ija（2） jiija（3） ikjia显然满足（1）与（2） ，但是， （3）式通常不被满足（因为统计或构造这么完整的数据很ij难） ，满足（1） 、 （2）
3、的矩阵 A 为正互反矩阵；满足（1） 、 （2）并且（3）也成立时的矩阵 A 称为一致性判断矩阵。问题是：已知判断矩阵 A，在准则 C 下对 n 个物体排序。即按重量大小排序。AHP(层次分析法)示例说明12如果， 是， ， 是重量的精确值，此时（3）式必定成立，即 A 是一致性判断矩jiijgaij阵。令 Tng21则带入计算， 。显见 n 是方阵 A 的特征根，g 是 A 的与 对应的特征向量；事实gA n上此时不难验证：n 是方阵 A=(aij)的最大特征根，其余 n-1 个特征根全为零，而 g 是 A 的与最大特征根 n 对应的特征向量。 （证明见附录）g 的 n 个分量是物体的相对重
4、量，因此，可按此对排序。u,21如果对矩阵 A 有一个小的扰动，即 不再是真实重量的比值，这时显然 A 不满足一致性条件，ij此时 A 的最大特征根 不再是 n；因扰动很小，自然 离 n 不远，这时 对应的特征向量maxmaxmax虽然不会是 n 个物体的真实重量 ，但是，变动也不会太大。我们设想：如果Tngg,21扰动不大，则 离 n 就不远，此时 对应的特征向量 与 差不多，如果 不改变 g 的各分axmaxg量的大小次序，则 同样给出 n 个物体 按重量大小的真实排序。 u,这样，对不满足一致性的正互反矩阵 ，我们求其最大特征根 ，再求与 对nijA)( maxmax应的特征向量 g，则
5、可按 g 对 n 个物体 按重量大小排序。但是，这一番理论有几个疑,21点：当 A 不满足一致性时， A 还有没有最大正的特征根；既使 A 有最大特征根，那么，这个最大特征根 对应的特征向量的全部分量能否还是正数（重量不可能为负数）？这两个问题可以用max矩阵代数中 PerroFrobineus 定理回答。Perro-Frobineus 定理：正矩阵存在重数为 1 重的正特征根，其它特征根的模均小于这个正特征根，该正特征根对应的特征向量可以全部由正分量组成，经“归一化”处理后该特征向量是惟一的。 （证明见 itac 的 ecmp平台文档库中 Proof_Of_PF_Theorem.pdf）Pe
6、rron 定理明白地告诉我们，对正互反矩阵 A，既使它不满足一致性，也一定存在最大正的实特征根，它对应的特征向量的各个分量都可以是正数，并且“归一化”后是惟一的。但是，我们能否按这个“归一化”后是惟一的特征向量对 n 个物体按重量大小排序呢？或说这个“归一化”后的特征向量是否会改变扰动前的一致性矩阵 A 的最大特征根 =n 对应的特征向量的各分量间大小max的排序呢？这个问题太难了，人们简直难于正面明确地回答，而只能给出一个并不是十分令人满意的简接回答。那就是对判断矩阵 的一致性满意程度进行检验：ija我们说过，由于对 A 不大的扰动，最大特征根离 n 不应太远，所以一致性检验自然与 n 有关
7、。我们可以证明：只要 A 的一致性不被满足，那么 A 的最大特征根 一定比 n 大，即 maxmaxn0。 （对于正互反矩阵最大特征根随扰动的变大而变大的证明没有找到，忘补充）令 1.maxnIC显然，我们希望 尽量小；但是， 小到什么程度，才能使 与 n 对应的特征向量.I. max“归一化”后各分量大小次序不被破坏呢？这仍是一个非常非常困难的问题，可以说，人们难以正面回答这个问题。为此，AHP 发明者 Saaty 给出了平均一致性检验值 。我们重复 1000 次，对.IR随机判断矩阵 A 的最大特征根进行计算后求取算术平均值得到如下平均随机一致性检验指标如下：AHP(层次分析法)示例说明1
8、3阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15R.I. 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59令 IRC当 时，认为判断矩阵 A 的一致性是可以被接受的。亦即当1.RC时，就是说，当给定的判断矩阵 的一致性指标 C.I.不超过平.0. II即 )(ijaA均随机一致性指标 R.I.的 0.1 倍时，认为判断矩阵 的一致性是可以被接受的。言外之意：ij此时的 A 的 对应的特征向量“归一化”后，能给出 n 个物体 按重量大小的真实排max nu,21序。明显看出这个回
9、答不是正面的，也有些令人难以置信。但是，这已是目前为止最好的回答了，这也是 AHP 理论上不够严谨的问题。不过，从应用角度讲，当 C.R.0.1 时，AHP 不再适用，这时，只能回头考虑，变更递阶层次结构，或对判断矩阵 A 重新赋值。二. AHP 基本步骤用 AHP 解决问题，有四个步骤：1. 建立问题的递阶层次结构；2. 构造两两比较判断矩阵；3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重；4. 计算各层元素组合权重，并进行一致性检验。下面通过一个应用实例说明 AHP 的每个步骤的实施。例：某闹市区一商场附近交通拥挤。目标 G：改善该街区交通环境。有三种方案可供选择：修天桥或修高架桥； ：修地道；
10、：商场搬迁。1A2A3选择方案的准则有 5 个： ：通车能力； ：方便市民； ：改造费用； ：安全性； ：1c2c3c4c5c市容美观。决策步骤：A. 建立问题的递阶层次结构：AHP(层次分析法)示例说明14递阶层次结构中，每一层的每一个元素均是下一层中每个元素的准则。B. 构造两两比较判断矩阵构造判断矩阵 ，在单准则下分别构造，即在 G 下对 ，构造判断矩阵；nijaA)( 1c2345分别在 下对 构造判断矩阵。1c2345123在单一准则下，如何具体构造两两比较判断矩阵 呢？即如何具体确定比值 呢？在)(ijaAijaAHP 中比较常用的是1-9 比例标度法。关于 1-9 比例标度法的说
11、明:n 个元素 ，两两比较其重要性共要比较 次。第 i 个元素 与第 j 个元素nu,21 2)1(niu重要性之比为 。通过使用标度比重，确定 ，一下是标度值：juijaija1 表示 与 重量相同，或重要性相同；ij ij3 表示 比 稍重；ij iuj5 表示 比 明显重；ijaij7 表示 比 强烈重；ij ij9 表示 比 极端重；ij iuj数 2、4、6、8 则为上述判断的中值。两两比较两个元素的重要性，总是在某种准则（准则层比较是以总目标 G 为准则，方案层比较，分别以准则层中各元素为准则）下进行的。至于为什么取 1-9 比例标度，而不取别的，是因为人们直觉最多只能判断出 9
12、个等级的差异，再细的差异，人的直觉是分辨不出来的，而两两比较判断矩阵是领域专家靠感觉去分辨和构造的。从理论上讲，用 1-15 比例标度也未尝不可，只是人的直觉分辨不出。对 n 个物体，两两比较其重要性得判断矩阵 ，显然 满足：nijaA)(ij2. 准则层3. 方案层1. 目标层：通车能力1c：方便市民2c：改造费用3c：安全性4c：市容美观5c方案 1A方案 2A方案 3A最高层：目标层 G：改变交通环境AHP(层次分析法)示例说明15， ，0ijajiija1i共计 个判断，所以 A 是正的互反矩阵，且对角线上元素为 1，这样的 n 阶矩阵可表)1(2n示为上三角或下三角矩阵。但 A 的元
13、素 通常不具有传递性，即:ijaikjia这是由事物的复杂性和人的认识的局限性造成的。如果式： ikji成立，则称 A 是一致性矩阵。从判断矩阵 A 出发到导出元素在某种准则 C 下按重要性大小的排序，矩阵 A 的一致性起着至关重要的作用。按着 19 比例标度的上述说明，具体构造应用举例的六个准则下的两两比较判断矩阵分别为：G通车 1c方便 2费用 3c安全 4市容 5c通车 1c1 3 5 3 5方便 21/3 1 3 1 3费用 3c1/5 1/3 1 1/3 3安全 41/3 1 3 1 3市容 5c1/5 1/3 1/3 1/3 1通车能力 1c1A23方便 2c1A23天桥 1A1
14、1 5天桥 11 3 5地道 1 1 5 地 1 1 2AHP(层次分析法)示例说明162A道 2A/3搬迁 31/51/5 1搬迁 31/51/2 1费用 3c1A23安全 4c1A23天桥 1A1 4 7天桥 111/21/3地道 21/4 1 4地道 2A2 1 1搬迁 3A1/71/4 1搬迁 33 1 1市容 5c1A23天桥 1A1 1/2 1/3地道 22 1 1搬迁 3A3 1 1C. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重对给出的共 6 个正互反矩阵，分别求:（1） max（2）与 对应的特征向量并归一化得排序相对权重向量（3）每个矩阵求 后，都要进行一致性检验。max例如以 作准
15、则的判断矩阵为：1cAHP(层次分析法)示例说明1715/A因阶数低，可直接求出最大特征根。由于 A 是一致的，知 =3，其它的特征根均为 0。下面max来验证这一点： 15/)(15/15/1|EA030)2()(02max22再例如以准则 的判断矩阵为：2c 12/53A显然 A 不满足一致性，因为 。63231aa2/153由 12/)(12/5312/3|EA)2(301)()(/22AHP(层次分析法)示例说明18031)2()(32由于 A 出现一个小的扰动而不满足一致性，此时不能再有 =3，而是 3。这时，通常maxmax用迭代算法（乘幂法）求解出 与对应的特征向量，关于乘幂法可
16、 baidu 一下。maxD. 计算各层元素组合权重，并进行一致性检验（1）设准则层元素 C 相对于总目标 G 的排序权重向量为：（本例中 m=5）Tma),(121（2）方案层各方案 A 对准则层各元素 j 的排序向量为：（本例中 n=3，m=5）),21(),(221bbjjj nj 令 (m=5),2B则方案层的 n(n=3)个方案相对于总目标的组合权重向量为 ：12aB*最后得到的 就是方案 A、 B、 C 在总目标 G 下的排序向量。T*,（3）对于递阶层次组合判断的一致性检验我们要逐层计算 ，设得到准则层针对目标层的计算结果为： ， ，.IC1.IC.R1.方案层针对目标层的相应指
17、标为： 12212.,., aIIIm2RR本例中 m=5，则 （为什么使用加法）212.IC上面 和 分别是方案层针对准则层的第 i 个准则下判断矩阵的一致性指标和平均iIC2.i.随机一致性指标。当 时，认为递阶层次在 2 层水平上整个判断有满意的一致性。1.0.2RAHP(层次分析法)示例说明19附录：关于（n 是方阵 A=(aij)的最大特征根，其余 n-1 个特征根全为零，而 g 是 A 的与最大特征根 n对应的特征向量）的证明：证明 1：对于一致性正互反举证： nnnWA 2122111很容易看出，每行成比例，因此矩阵的秩=1，非零特征根有 1 个。并且 I a ii ，因此 n = I=证明 2：设两两比较相对重量的精确测度为： nnnWA 2122111则特征方程 ，有一重实根 及 n1 重 0 根。0|EA证明： nnnnn Wf 21 2211|)(1 1212211 )( n nnnfBfW AHP(层次分析法)示例说明11011211210 nnnWWB 21221 nnnnnn fff1f 12212 nnnnWfnf01n故 为一重特征根， 为 n1 重特征根。
