1、20 福建中学数学 2016年第10期 即证明ln( 1) ( 1) ( 1)24 4k k k kkk+ ， 即证ln 1xx有32k = ， 定点00()Px y，（此处不妨设000xy ） 若弦MN以P为中点，设11()Mx y，22()Nx y， 则有2211221xyab=，22221xyab= 两式相减得2012212 0bxyyxx ay=， 故可以得到直线200020: ()bxMN y y x xay= 万方数据2016年第10期 福建中学数学 21 由2222200020()1xyabbxyy xxay= =，得22 2 2 20422000420()2bxxx xayxy
2、bx a + 220022)2(bxxxaba+=， 即42 43200022 2202202)( )bx bxbxay aybx x+ 4422002202 2 2202 0aybxbx aayb+ = 上述关于x的方程应有两个不同的根， 因此42022043 42200022 222 2 220222442200220( ) 4( )()02 .022bxaybxbbxbxay aybxbxayb ayba= +，即点P不能在双曲线的渐近线上（原点除外）且43 4220002222 22( ) 4( )202bx bxbxay ayb， 两端同乘以241ab，得22 22200 0022
3、22()xy xyab ab ， 故 2200220xyab 当P在y轴上或在x轴上且在双曲线内部时，显然存在以P为中点的弦，因此得到 定理1 双曲线22221( 0 0)axyabb= ，中存在以00()Px y，为中点的弦当且仅当02020( ) |P xyxa=， 2020yb或(0 0)， 同时也不难验证前面题目中(1 1)P，未落在对应的区域内，但(2 1)Q，在此区域内 定理2 双曲线22221( 0 0)axyabb= ，中以0(Px， 0)y（不为坐标原点）为中点的弦所在直线方程为 220 0 002 2 22xx yy x ya b ab=，当P与坐标原点重合时，中点弦不唯一
4、，方程为()bby kx kaa= ，中点弦为直线0xx=，符合上式 （2）若点P在y轴上且不与原点重合时，即0x 0=，00y ，中点弦为直线0yy=，符合上式 （3）若点P不在坐标轴上，且中点的弦MN存在时，设11()Mx y，22()Nx y， 则有2211221xyab=，22221xyab=， 两式相减得2012212 0bxyyxx ay=， 故可以得到直线200020: ()bxMN y y x xay= ， 即220 0 00() ()ay y y bx x x= ， 两端同除以22ab，0 00 022( )( )yy y xx xba=， 即220 0 002 2 22=xx yy x ya bab （4）若点P为坐标原点，中点弦不唯一，由双曲线的对称性知，直线簇()bby kx kaa= 均与双曲线左右两支各有一个交点，且中点为坐标原点定理得证 （本文为重庆市教育科学“十二五规划课题基于促进学生理解数学本质的中学数学核心概念及思想方法的教学实践与评价研究（课题批准号2014-00-021）的阶段性研究成果） 万方数据
