1、第三章 简单优化模型,优化工程技术、经济管理、科学研究中的常见问题.,用数学建模方法解决优化问题的过程,简单优化模型归结为函数极值问题，用微分法求解.,材料强度最大,运输费用最低,利润最高,风险最小,优化目标与决策,模型假设与建立,数学求解与分析,属于数学规划的优化模型在第四章讨论.,3.1 存贮 模型 3.2 森林救火 3.3 倾倒的啤酒杯 3.4 铅球掷远 3.5 不买贵的只买对的 3.6 血管分支 3.7 冰山运输 3.8 影院里的视角和仰角 3.9 易拉罐形状和尺寸的最优设计,第三章 简单优化模型,3.1 存贮模型,问 题,配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准
2、备费，产量大于需求时要付贮存费. 该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.,已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元. 试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.,要 求,不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系.,问题分析与思考,每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元.,日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元.,10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元.,50天生产一次,每
3、次5000件, 贮存费4900+4800+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.,平均每天费用950元,平均每天费用2550元,10天生产一次,平均每天费用最小吗?,每天费用5000元,是一个优化问题，关键在建立目标函数.,显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.,目标函数每天总费用的平均值.,周期短，产量小,周期长，产量大,问题分析与思考,模 型 假 设,1. 产品每天的需求量为常数 r；,2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2；,3. T天(一周期)生产一次, 每次生产Q件，当贮存量降为零时，Q件产品立即生产出来 (生产时间不计)；,建 模 目
4、 的,r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小.,4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.,模 型 建 立,贮存量表示为时间的函数 q(t),t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以 需求速率r递减，q(T)=0.,一周期 总费用,每天总费用平均 值（目标函数）,离散问题连续化,一周期贮存费为,A,=QT/2,模型求解,求 T 使,模型解释,定性分析,敏感性分析,参数c1,c2, r的微小变化对T,Q的影响,T对c1的(相对)敏感度,c1增加1%, T增加0.5%,S(T,c2)=1/2, S(T,r)=1/2,c2或r增加1%, T减少0.5%,经济批量订货公式
5、(EOQ公式),用于订货供应情况:,不允许缺货的存贮模型,模型应用,回答原问题,c1=5000, c2=1，r=100,每天需求量 r，每次订货费 c1, 每天每件贮存费 c2 , T天(周期) 订货一次,每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货.,思考: 为什么与前面计算的C=950元有差别?,允许缺货的存贮模型,A,B,当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失.,原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货).,现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足.,周期T, t=T1贮存量降到零,一周期总费用,一周期贮存费,一周期缺货费,每天总费用 平均值
6、（目标函数）,一周期总费用,求 T ,Q,为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T, Q记作Q.,允许缺货的存贮模型,不允许 缺货 模型,记,允许缺货模型,允许缺货模型,注意：缺货需补足,Q每周期初的存贮量,每周期的生产量R （或订货量）,Q不允许缺货时的产量(或订货量),存 贮 模 型,存贮模型(EOQ公式)是研究批量生产计划的重要理论基础, 也有实际应用.,建模中未考虑生产费用, 为什么?在什么条件下可以不考虑?,建模中假设生产能力为无限大(生产时间不计), 如果生产能力有限(是大于需求量的常数), 应作怎样的改动?,3.2 森林救火,森林失火后，要确定派出消防队员的数量. 队员多，森林损失
7、小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小. 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.,分析,问题,记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).,损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定.,救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定.,存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小.,关键是对B(t)作出合理的简化假设.,分析,失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.,分析B(t)比较困难,转而讨论单位时间烧毁面积 dB/dt (森林烧毁的速度).,
8、模型假设,3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）,1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度).,2）t1tt2, 降为x (为队员的平均灭火速度).,4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 .,假设1）的解释,火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比.,模型建立,目标函数总费用,模型建立,目标函数总费用,模型求解,求 x使 C(x)最小,其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数,c2 x,c1, t1, x,c3 , x ,c1烧毁单位面积损失费, c2每个队员单位时间灭火费, c3每个队员一次性费用
9、, t1开始救火时刻, 火势蔓延速度, 每个队员平均灭火速度.,为什么?,结果解释, / 是火势不继续蔓延的最少队员数,模型应用,费用参数c1,c2,c3已知, ,由森林类型、队员能力等因素决定，可设置一系列数值备查.,模型可决定队员数量 x,开始救火时刻t1可估计,评注,在风力的影响较大时“森林烧毁速度dB/dt 与 t成正比”的假设需要重新考虑.,队员灭火速度应该与开始救火时的火势有关.,不平坦处满杯啤酒容易倾倒.,杯子中央稍下一点的位置.,重心有一个最低点 啤酒杯容易放稳的位置.,饮酒时重心先降低，再升高，回到中央.,建立数学模型描述啤酒杯的重心变化的规律，找出重心最低点的位置，讨论决定
10、最低点的因素.,重心太高！,满杯时重心在哪里？,空杯时重心在哪里？,与满杯时重心相同.,倒酒时重心先升高，再降低，回到中央.,3.3 倾倒的啤酒杯,问题分析与模型假设,s(x),最简单的啤酒杯 高度为1的圆柱体.,沿中轴线建立坐标轴x，倒酒时 液面高度从x=0到x=1.,假设：啤酒和杯子材料均匀.,w2 空杯侧壁质量 w3 空杯底面质量,空杯重心由w2和w3决定, 与x无关.,重心位置沿x轴变化，记作s(x).,w1 啤酒 (满杯) 质量, s1=x/2, s2=1/2,液面高度x时啤酒质量w1x, 啤酒重心位置 s1=x/2,问题分析与模型假设,s(x),w1 啤酒 (满杯) 质量 w2 空
11、杯侧壁质量, w3 空杯底面质量,空杯重心位置 s2=1/2,忽略空杯底面质量w3,啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯重心合成.,啤酒杯重心模型一, s1=x/2, s2=1/2,s(x),s=s(x) 液面高度x的啤酒杯重心,啤酒质量w1x,空杯质量w2,啤酒重心s1,空杯重心s2,力矩平衡,s1=x/2,s2=1/2,a=w2/w1,啤酒杯重心模型一,啤酒杯重心s(x)只与质量比a有关,a = w2/w1,w1 啤酒质量 w2 空杯质量,a=0.3, x=0.35左右 s最小, 即重心最低.,对于每个a, s(x)有一最小点.,x =0.35,s(x)= 2 + 2(+),啤酒杯重心模型一
12、,a = w2/w1,微分法求解s极值问题,液面高度为x时啤酒杯重心处于最低位置.,x 由质量比a决定,s(x)= 2 + 2(+),结果分析,半升啤酒杯w1=500g,空杯质量w2取决于材料 (纸杯、塑料杯、玻璃杯).,一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！,设w2=150g,w2 a x ,空杯越重,重心最低时的液面越高.,s(x)= 2 + 2(+),重心最低位置x由比值a决定,结果分析,= x,啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.,意料之外?,情理之中!,直观解释,x=0时s=s2=1/2,结果分析,啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.,数学分析,ds/dx与 (x-s) 同号.
13、,xs时ds/dx 0s,xs时ds/dx 0s,x=s时ds/dx =0, s达到最小值.,x,啤酒杯重心模型二, s1=x/2, s2=1/2,s(x),s3=0 ,考虑空杯底面质量w3,底面厚度杯子高度,力矩平衡,s1=x/2,s2=1/2,a=w2/w1,b=w3/w1,b=0时与模型一相同.,啤酒杯重心模型二,a = w2/w1 b = w3/w1,=s(x),啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.,与模型一 a=0.3时 x=0.3245比较,设侧壁和底面的厚度和材质相同, 侧壁高度h, 底面直径 d, h=2d,小结与评注,对于一个饶有生活情趣的现象建立数学模型：,对杯子作适当的简
14、化假设.,用基本物理知识构造优化模型.,用导数、极限、作图等方法给出求解结果.,对结果作数学分析并给予实际解释.,啤酒杯重心模型二,啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.,啤酒杯重心模型一,既在意料之外又在情理之中的结果.,函数s=s(x)的最小点x*是不动点，即x*=s(x*),有趣的现象: 只要啤酒杯是旋转体(如圆台或球台), 上述结果就成立！,旋转体侧壁由任意曲线绕中轴线旋转而成.,小结与评注,3.4 铅球掷远,铅球掷远起源于14世纪欧洲炮兵推掷炮弹的游戏和比赛.,男子铅球早在1896年第1届奥运会上就被列为比赛项目.,影响投掷距离的因素：,找出最佳出手角度.,定量分析投掷距离与这些因素的
15、关系.,研究这些因素的微小改变对投掷距离的影响.,常识判断,初始速度,出手角度,出手高度,问题分析,x,男子铅球直径11至13cm, 重量为16磅(合7.26kg).,在短暂的飞行中所受的阻力可以忽略.,将铅球视为一个质点，以一定的初始速度和出手角度投出后，在重力作用下作斜抛运动.,影响投掷距离的因素：,初始速度v,出手角度,出手高度h,模型一,不考虑铅球出手高度, 初始速度v与x轴的夹角,g 重力加速度,t=0时铅球从坐标原点O投出.,s 投掷距离,斜抛运动的基本定律,模型一,出手角度=/4时,最佳出手角度/4与初始速度v无关.,“物体以45度角抛出的距离最远”,对任何出手角度，投掷距离s与
16、v2成正比.,初始速度的提高能使投掷距离大幅度地增加.,结果分析,投掷距离 最大.,模型二,铅球出手高度为h,t=0时铅球从 (0, h) 投出,h=0 时与模型一 相同.,模型二,直接用 求最佳出手角度计算太繁.,最佳出手角度,最远投掷距离,模型二,最佳出手角度,最远投掷距离,最佳出手角度/4,大致上 s v2 s h1/2,提高v对s的增加远比提高h有效.,v ,h ,模型二的最佳出手角度及最远投掷距离,h身高+20cm,v 810m/s(普通人) v 1013m/s(运动员),最佳出手角度约400,模型二s比模型一约增2m.,正是一个出手高度h.,敏感性分析,v, , h的微小改变对s的
17、影响,模型一,数值计算,v提高5%,=1.1025s,s增加约10%,变化5%,45042.750(47.250),s仅减少约0.3%,模型一,理论分析,v/v v的相对微小改变,s/s s的相对微小改变,v dv,s ds, =42.750,敏感性分析,v, , h的微小改变对s的影响,/ 的相对微小改变, d,v的微小改变对s的影响比大得多.,微分法,s增加0.2m(1.5%),s提高2m以上(15%),模型二,数值计算,h增加0.2m(10%),v提高1m/s(10%),模型二,理论分析,v=12m/s，h=2.0m,v的微小改变对s的影响比h大得多.,敏感性分析是数学建模的重要环节.,
18、对于模型y=f(x), x通常难以控制到设定的数值x0.,微分法,g(x0)越大, x改变dx/x引起y改变dy/y越大(x=x0附近).,研究x的微小改变对y的影响(x =x0附近).,用物理定律建模,对影响投掷距离的主要因素(初始速度、出手角度和出手高度)作定性和定量研究.,小结与评注,3.5 不买贵的只买对的,“不买贵的，只买对的”！,在琳琅满目的市场里选购商品.,哪些商品、买多少才是“对的”？,“消费者追求最大效用”经济学的最优化原理.,用数学建模方法帮助决定商品的选择效用函数.,效用函数,U(x) 吃x片面包获得的满足程度(面包产生的效用).,U(x)=U(x) -U(x-1) 吃1
19、片面包所产生效用的增量.,U(x)递增, 增长渐慢, 曲线上凸.,U(x)0, 递减, 曲线下降.,定量描述吃下面包、缓解饥饿、满足生理和心理需求程度的变化.,效用函数 (utility function),效用人们在商品或服务消费中获得的生理、心理上的满足程度.,效用函数U(x) 数量为x的某种商品产生的效用.,dU(x)/dx x增加1个单位U(x)的增量.,边际效用,典型的效用函数,U(x)0, 递增渐慢,dU(x)/dx 0, 递减,dU(x)/dx,“边际效用递减” 经济学中普遍、重要的法则.,效用函数和边际效用特性的数学表述：,dU(x)/dx,效用函数 U(x),现实生活中的诸多
20、表现.,效用递增,边际效用递减,无差别曲线,U(x, y) 两个变量x, y的效用函数,x片面包和y根香肠的组合,几种组合的效用函数相等,A1 1片面包加4根香肠,A2 4片面包加1根半香肠,A37片面包加1根香肠,A1, A2, A3连成一条曲线,U(x, y)=u1 (u1 常数),无差别曲线 效用函数的几何表示.,等效用线,无差别曲线,B1(2片面包加5根香肠), B2, B3连成无差别曲线.,效用函数 U(x, y)=u的几何表示,U(x, y)=u2 (u2 u1),C1(1片面包加2根香肠), C2连成无差别曲线.,U(x, y)=u3 (u3 u1),效用函数值u增加,无差别曲线
21、 U(x, y)=u,典型的效用函数,a=1, =1/3, =1/2,效用递增,边际效用递减,一元函数U(x),二元函数U(x,y),无差别曲线的特性,下降,几何直观,下凸,互不相交,“下降”的数学解释,无差别曲线上效用函数U(x, y)=u不变,隐函数U(x, y)=u,求导公式,无差别曲线斜率为负,“下降”的经济学解释,(x0, y0）,边际效用U/x, U/y,用x替代y后效用不变,2种可以相互替代的商品x, y,0,无差别曲线的特性,下降,下凸,互不相交,无差别曲线的特性,“下凸”的经济学解释,y2/x2 (P2的替代率) y1/x1 (P1的替代率),P1 x少, y多,2种可以相互
22、替代的商品x, y,P2 x多, y少,x2=x1,( y2)( y1),“物以稀为贵”,下降,下凸,互不相交,无差别曲线的特性,“互不相交”的解释,下降,下凸,互不相交,如果无差别曲线U(x, y)=u1与U(x, y)=u2 相交于P.,则交点P的效用函数将取2个不同的数值u1, u2 .,不可能!,u1 u2,效用最大化模型,p1, p2甲乙商品的单价,x, y 购买甲乙商品数量,已知甲乙两种可替代商品的效用函数, 用一定数额的钱购买多少甲、多少乙？,问题,由效用函数最大确定购买数量.,U(x, y) 效用函数,效用最大化原理,s 准备付出的钱,效用最大化模型,模型求解几何分析,U(x,
23、 y)=u 下降、下凸、互不相交的无差别曲线.,AB必与一条无差别曲线l 相切于Q点消费点,效用最大化模型,消费点Q (x, y)的U(x, y)最大,AB与l1交点Q1, U(x1, y1) U(x, y),模型求解二元函数条件极值,效用最大化模型,效用函数最大,边际效用之比=价格之比,效用最大化模型,几何分析与条件极值结果的一致,无差别曲线 l U(x, y)=u,AB与l相切于Q,购买两种商品费用之比等于参数与之比，与商品价格无关., 两种商品效用或消费者偏爱的度量.,效用最大化模型,效用最大化模型,推广到n种商品,p1, p2, pn n种商品单价,各种商品单位金额的边际效用相等时效用
24、函数最大.,s 准备付出的钱,U(x1, x2, xn) 效用函数,x1, x2, xn购买商品数量,效用最大化模型的应用,怎样才能“不买贵的，只买对的”？,草莓、芒果和桔子每千克价格为15元,10元和5元, 准备花100元采购, 怎样分配这笔钱？,p1, p2, p3 3种水果价格,问题,分析,x1, x2, x3 购买数量,效用最大化模型,需确定3种水果的效用函数U(x1, x2,x3)或边际效用.,确定效用函数U(x1, x2,x3)或边际效用的办法,采用现成的效用函数表达式,办法一,按照 : 分配100元,60元买4kg草莓, 10元买1斤kg芒果, 30元买6kg桔子.,3种水果的效
25、用或偏爱,怎样才能“不买贵的，只买对的”？,给出每买1kg草莓,1kg芒果,1kg桔子效用函数的增加值(边际效用).,办法二,p1=15, p2=10, p3=5,计算3种水果单位金额的边际效用,怎样才能“不买贵的，只买对的”？,3种水果单位金额的边际效用,办法二,按照3种水果单位金额边际效用从大到小的顺序，每次增加1kg购买量，直到花完准备付出的100元.,p1=15 p2=10 p3=5,15,12,7,6,6,5+,5+,5+,5+,15+,15+,5+,15+,15+,10+,5,=100,4kg草莓, 1kg芒果, 6kg桔子.,怎样才能“不买贵的，只买对的”？,对办法一和办法二的分
26、析,办法一,按照 : 分配s元,购买量x1, x2, x3连续,36元买2.4kg草莓, 6元买0.6kg芒果, 18元买3.6kg桔子.,s =60 , =6/10, =1/10, =3/10,边际效用在离散点x1, x2, x3=1, 2, 得到.,办法二,芒果比桔子贵，但芒果买的比桔子少.,芒果(单位金额的边际)效用比桔子小.,效用最大化的结果,3种水果单位金额的边际效用,p1=15 p2=10 p3=5,100元买4kg草莓, 1kg芒果, 6kg桔子.,怎样才能“不买贵的，只买对的”？,利用无差别曲线可以通过图形直观, 定性地讨论效用最大化原理以及实际应用中的问题.,效用函数把对商品
27、主观、感性的偏爱提升为满足生理、心理需求的效率, 将效用转化为经济行为.,效用最大化原理一定程度上刻画了消费的合理性.,小结与评注,对于效用是否是一个数值函数仍有争论，一些人主张用“偏爱”代替“效用”，偏爱只有顺序的先后，没有数值大小的区分.,3.6 血 管 分 支,背景,机体提供能量维持血液在血管中的流动.,给血管壁以营养.,克服血液流动的阻力.,消耗能量与取决于血管的几何形状.,在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则.,研究在能量最小原则下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度.,问题,模型假设,一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面.,血液流动近似于黏性流体在刚性管
28、道中的运动.,血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚度d近似与血管半径r成正比.,q=2q1,r/r1, ?,考察血管AC与CB, CB,黏性流体在刚性管道中运动, pA,C压力差， 黏性系数,克服阻力消耗能量E1,提供营养消耗能量E2,管壁内表面积 2rl,管壁体积(d2+2rd)l,管壁厚度d与r成正比,模型假设,模型建立,克服阻力消耗能量,提供营养消耗能量,机体为血流提供能量,模型求解,模型解释,生物学家：结果与观察大致吻合,大动脉半径rmax, 毛细血管半径rmin,大动脉到毛细血管有n次分叉,观察：狗的血管,血管总条数,推论,n=？,3.7 冰山运输,背景,波斯
29、湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑.,专家建议从9600km远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水.,从经济角度研究冰山运输的可行性.,建模准备,1. 日租金和最大运量,2. 燃料消耗（英镑/km）,3. 融化速率（m/天）,建模准备,建模目的,选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较.,模型假设,航行过程中船速不变，总距离9600km.,冰山呈球形，球面各点融化速率相同.,到达目的地后,每立方米冰可融化0.85m3水.,建模分析,目的地水体积,运输过程融化规律,总费用,第t天融化速率,模型建立,1. 冰山融化规律,船速u (km/h) 与
30、南极距离d(km) 融化速率r(m/天）,r是 u 的线性函数 d4000时u与d无关,航行 t 天, d=24ut,1. 冰山融化规律,冰山初始半径R0，航行t天时半径,冰山初始体积,t天时体积,总航行天数,选定u,V0, 航行t天时冰山体积,到达目的地时冰山体积,2. 燃料消耗,燃料消耗 q1(英镑/km),q1对u线性, 对lgV 线性,选定u,V0, 航行第t天燃料消耗 q (英镑/天),燃料消耗总费用,3. 运送每立方米水费用,冰山初始体积V0的日租金 f(V0)（英镑）,航行天数,总燃料消耗费用,拖船租金费用,冰山运输总费用,冰山到达目的地后得到的水体积,3. 运送每立方米水费用,
31、冰山运输总费用,运送每立方米水费用,到达目的地时冰山体积,模型求解,选择船型和船速,使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低,V0只能取离散值,经验公式很粗糙,结果分析,由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于V(u,V0).,有关部门认为，只有当计算出的Y(u,V0)显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性.,大型拖船V0= 107 (m3),船速 u=45(km/h), 冰山到达目的地后每立方米水的费用 Y(u,V0)约0.065(英镑).,虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本0.1英镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙.,模型来自实际问题的可行性研究.,收集数
32、据是建模的重要准备工作.,根据数据得到的经验公式是建模的基础.,冰山形状的球形假设简化了计算, 这个假设的合理性如何?如果改变它呢?,小结与评注,前排座位？,后排座位？,中间座位？,前后排主要差别：视角和仰角,视角眼睛到屏幕上、下边缘视线夹角.,视角大画面看起来饱满.,仰角眼睛到屏幕上边缘视线与水平线夹角.,仰角太大头部过分上仰.,总体上使观众视角尽可能大.,影院设计,对仰角加一定限制.,3.8 影院里的视角和仰角,垂直于屏幕和地面的影院纵向剖面示意图,影响和 的因素:,简化问题,c,h, q, c基本固定.,排数n固定, d改变不大.,b和可在一定范围内调整.,h,b,d,q,影院设计,某一
33、排观众的视角和仰角,眼睛至地板距离,简化问题,1. 观众视角平均值尽量大, 各排视角分散程度尽量小.,2. 各排座位仰角基本不超过300(允许12排例外).,3. 前排观众不遮挡后排观众的视线.,h, d, q, c,n固定, 确定b和 , 使全体观众满意程度最高.,视角，仰角,问题分析,座位号k(=1,2, n) ,观众视角平均值取1到n排视角的均值.,视角分散程度用n个视角均方差度量.,观众满意程度定义为各排视角均值与均方差之比.变异系数,b, 优化问题的决策变量,越大越好,越小越好,问题分析,仰角300，允许12排不满足.,优化问题的约束条件,前排观众不遮挡后排的视线.,条件：设眼睛到头
34、顶的高度c1，使后排观众眼睛到屏幕下边缘的视线在前排观众头顶之上.,只需最后一排满足条件.,模型假设,固定参数,2mb 3m,决策变量,100 200,模型假设,下仰角 眼睛到屏幕下边缘视线与水平线夹角.,= - ,当下边缘视线在水平线之下时取负值.,上仰角 眼睛到屏幕上边缘视线与水平线夹角.,模型建立,确定b, 使v()最大 (h, d, q, c, n为常数),第k排视角,视角均值,视角均方差,目标函数,模型建立,约束条件: 仰角,约束条件: 前排观众不遮挡后排的视线.,n,对最后一排：,模型分析,b和的改变对目标函数的影响,图形直观,数学分析,k,k ,模型分析,b和的改变对目标函数的影
35、响,数学分析,约束条件: 前排观众不遮挡后排的视线.,约束条件: 仰角,k300容易满足.,模型分析,b和的改变对约束条件的影响,b, ,模型求解,设h=2.5m, d=6m, q=0.8m,c=1.1m, c1=0.1m, n=16,求b(2mb3m), (100 200)使v()最大.,满足 及n ( ).,微分法难以求解，转向数值搜索法.,模型求解,最大值位于b=3.0m.,取b, 离散值计算目标函数v(),3.5748,最大值在=130达到.,3.0,130,模型求解,计算b=3.0m, =130的仰角k,除1, 2外k300,= -2.7685,= -6.0433,b=3.0m, =
36、130确是整个模型的最优解.,模型求解,计算最优解b=3.0m, =130的视角k,均值m()=12.3135,均方差s()=3.4445,随着k的增加, k下降很快, k变化不大.,观众不妨选择仰角下降变缓的第10排左右.,结果分析,最优解b=3.0m, =130的敏感性分析,b=3.0m处, b=0.1m时v0.05,=130处, =10 时v =0.0007,3.5748,b对目标函数的影响比的影响大上百倍.,小结与评注,影院屏幕和座位设计中的简化问题：视角均值和均方差为决策目标, 高度b和夹角为决策变量, 仰角和视线遮挡限制为约束条件, 建立优化模型.,模型定量结果与定性分析的相互印证
37、,决策变量的敏感性分析, 以及对各排座位仰角和视角的讨论,丰富了建模的成果, 拓广了模型的应用.,定性分析决策变量的变化对目标函数和约束条件的影响,结论与直观和常识相符合, 是模型检验一部分.,2.5 易拉罐形状和尺寸的最优设计,全国大学生数学建模竞赛2006年C题,以发表在工程数学学报2006年增刊上学生优秀论文和评述文章为基本材料, 介绍建模过程.,赛题原文,我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的
38、钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。,现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：,赛题原文,1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。,2. 设易拉罐是一个正圆柱体, 什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。,赛题原文,赛题原文,3. 设易拉罐的中心纵断面如图所示
39、, 上面部分是一个正圆台,下面部分是一个正圆柱体. 什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。,4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力,做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计.,5. 用你们做本题及以前学习和实践数学建模的亲身体验,写一篇短文(不超过1000字,你们的论文中必须包括这篇短文),阐述什么是数学建模, 它的关键步骤及难点.,问题分析,导数应用中的极值问题,设计一个容积固定、有盖的圆柱形容器, 若侧壁及底、盖厚度都相同, 问容器高度与底面半径之比为多少, 所耗材料最少？,侧壁及底、盖厚度相同,r底面半径. h 高度. S 表面积. V 容
40、积,V固定, 求r，h满足什么关系使S最小.,问题分析,导数应用的极值问题,容器高度与底面直径相等时所耗材料最少.,r底面半径. h 高度. S 表面积. V 容积.,微分法求解,问题分析,容器高度与底面直径相等时所耗材料最少.,通常易拉罐的高度比底面直径大得多.,如果只考虑节省材料,罐底、盖厚度比侧壁大,题目要求测量数据,正圆柱体利用简单几何知识建模.,圆柱体上面有一个小圆台.,小圆台改为小球台.,数据测量,易拉罐各项尺寸(mm),5只罐子的平均值,从罐的外部进行测量,罐高约为圆柱直径的2倍，与日常所见相符.,圆柱模型,小圆台近似于圆柱，直径相同,r圆柱半径. h 圆柱高度. b 侧壁厚度.
41、 kb 罐底厚度. k1b 罐盖厚度.,所耗材料的体积=侧壁、底、盖面积厚度,SV1 材料体积. V1 罐的容积,b, k, k1已知,V1固定, 求r, h满足什么关系使SV1最小.,注 br, h，模型中略去b的二次、三次项.,圆柱模型,极值问题微分法求解,测量数据底、盖厚度约为罐壁的3倍.,与测量数据和日常所见不符.,厚度测量存在较大误差.,实际加工制作存在节省材料之外的其他原因.,圆台模型,b 侧壁厚度. kb 罐底厚度. k1b 罐盖厚度.,SV2 材料体积. V2 罐的容积.,顶部小圆台下面与圆柱相接,b, k, k1已知,V2固定, 求r, h, r1, h1满足什么关系使SV2
42、最小.,圆台模型,V2固定, 求r, h, r1, h1满足什么关系使SV2最小.,约束极小问题的数值解,b, k, k1, V0已知,LINGO软件编程计算,r=31.43，h=108.34, r1=0, h1=28.10 (mm),圆台退化为圆锥.,为节省材料需尽量减少罐盖面积.,圆台模型,圆台退化为圆锥.,假定圆台侧壁厚度=b, 罐盖厚度k1b =3b.,结果分析,罐盖要安装拉环及工艺、美观等因素.,r=31.62, h=104.52, r1=20, h1=17.29(mm),改进,求解,球台模型,顶部小圆台改为球台,b侧壁厚度. kb罐底厚度. k1b罐盖厚度.,SV3 材料体积. V3 罐的容积.,V2固定, 求r, h, r1, h1满足什么关系使SV2最小.,对半径r1加以限制, 求数值解.,即使像易拉罐形状和尺寸设计这样简单的问题,单靠数学也不能得到圆满解决,要考虑工艺、美观及使用方便等因素,才能满足人们的需要.,从日常生活中发现与数学课本类似问题的结果有不同之处,在实践(测量数据)基础上给以分析和解决,有利于培养数学建模的意识和能力.,建模经过了从圆柱到圆台和球台、从材料厚度相同到不同、从解析解到数值解的过程,对于学习数学建模方法有启示和指导意义.,小结与评注,
