1、,第5章 数字电路基础,本章主要内容,(1) 进位计数制 (2)不同进位制数之间的转换 (3) 二进制数的算术运算和逻辑运算 (4)数据在计算机中的表示形式 (5) 逻辑代数的基本原理与应用,5.1 进位计数制,计算机中全部信息（包括指令和数据）都是采用二进制数，为了书写方便，又经常采用十六进制。人们在日常生活中又广泛采用十进制。 二进制、十六进制、十进制都是进位计数制。,5.1.1 进位计数制及其基数和权,进位计数制：用一组固定的数字符号和特定的规则表示数的方法。 基数和权 在进位计数制中，一种进位制所允许选用的基本数字符号的个数称为这种进位制的基数。 同一个数字符号处在不同的数位时，它所代
2、表的数值是不同的，每个数字符号所代表的数值等于它本身乘以一个与它所在数位对应的常数，这个常数叫做位权，简称权（weight）。,不同进位制的基数不同 十进制：基数10，数字符号09二进制：基数2，数值符号0，1 同一进制，不同数位其权值不同。,5.1.2 几种常用的进位计数制,十进制 任何一个十进制数，都可以用一个多项式来表示：等式右边的表示形式，称为十进制数的多项式表示法，也叫按权展开式； 等号左边的形式，称为十进制的位置记数法。位置记数法是一种与位置有关的表示方法，同一个数字符号处于不同的数位时，所代表的数值不同，即其权值不同。,二进制 二进制数的基数为2，即它所用的数字符号个数只有两个（
3、“0”和“1”）。它的计数进位规则为“逢二进一”。二进制数只有两种数字符号，因而便于数字系统与电 子计算机内部的表示与存储。它的另一个优点是运算规则的简便性，而运算规则的简单，必然导致运算电路的简单以及相关控制的简化 。,八进制八进制数的基数R8，每位可能取八个不同的数字符号07中的任何一个，进位规则是“逢八进一”。1位八进制对应3位二进制 八进制： 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 二进制：000，001，010，011，100，101，110，111,十六进制 十六进制数的基数R16，每位用十六个数字符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F中的一个表示
4、，进位规则是“逢十六进一”。 与二进制转换时候，其每位对应4位二进制数。在编程时，为了书写方便，常用十六进制表示。,5.2 不同进位制数之间的转换,5.2.1 二进制数转换为十进制数 按权展开，例如 (101015.101)2 (252321202-12-3)10(328210.50.125)10(43.625)10 同样的方法也可将八进制数转换为十进制数。这种用以实现数制转换的方法，称为多项式替代法。,5.2.2 十进制数转换为二进制数（整数部分）,十进制数转换为二进制数：除2取余，例如十进制数29的转换。,2 9,2,1 4,余数1 （B0 ）,7,2,2,3,2,1,2,0,余数0 （B
5、1 ）,余数1 （B2 ）,余数1 （B3 ）,余数1 （B4 ）, 29D=11101B,采用“除8取余”或“除16取余”的方法，即可将一个十进制整数转换为八进制整数或十六进制整数。这种数制转换的方法称为基数除法或“除基取余”法。可概括为：“除基取余，直至商为0，注意确定高、低位”。,5.2.2 十进制数转换为二进制数（小数部分）,十进制小数转换为二进制小数 ：乘2取整,例5.1 把0.625转换成二进制数把0.625乘2取整,0.625 2 5.250 B-1=1,0.25 2 0.50 B-2=0,0. 5 2 5.0 B-3=1, 0.625=0.101B,在十进制小数转换成二进制小数
6、时，整个计算过程可能无限地进行下去，这时，一般考虑到计算机实际字长的限制，只取有限位数的近似值就可以了。 上述这种数制转换方法称为基数乘法或“乘基取整”法。可概括如下：“乘基取整，注意确定高、低位及有效位数。” 如果一个数既有整数部分又有小数部分，则用前述的“除基取余”及“乘基取整” 结合求解。,5.2.3 任意两种进位制数之间的转换,为实现任意两种进位制数之间的转换（例如从P进制转换成R进制），可以用“基数乘除法”或“多项式替代法”直接从P进制转换成R进制，此时如果熟悉P进制的运算规则就可以采用“基数乘除法”；如果熟悉R进制的运算规则就采用“多项式替代法”。 有时可能对P进制与R进制的运算规
7、则都不熟悉，那么一种方便的方法就是利用十进制作桥梁。首先将其转换为十进制，这里采用“多项式替代法”，然后将转换为所需目标进制，这里采用“基数乘除法”。,5.3 二进制的算术运算与逻辑运算,加法运算规则：逢二进一 减法运算规则：借一当二 乘法运算规则：000, 010 , 100 ,111例如：1101x1010=1101110二进制的乘法可以归结为： “加”与“移位” 除法运算：乘法的逆运算以二进制的乘法及减法规则实现,逻辑运算：或（逻辑加）、与（逻辑乘）、非（逻辑反）、异或（模2加） 移位运算逻辑左移：将操作数的所有位同时左移，最高位移出原操作 数之外，最低位补0。逻辑左移一位相当于无符号数
8、乘2。例 如，将01100101逻辑左移一位后变成11001010，相当于 （101）102202 。 逻辑右移：将操作数的所有位同时右移，最低位移出原操作数 之外，最高位补0。逻辑右移一位相当于将无符号数除以2。例 如，将10010100逻辑右移一位后变成01001010，相当于1482 74 。,循环左移：将操作数的所有位同时左移，并将移出的最高位送到最低位。循环左移的结果不会丢失被移动的数据位。例如，将10010100循环左移一位后变成00101001。 循环右移：将操作数的所有位同时右移，并将移出的最低位送到最高位。它也不会丢失被移动的数据位。例如，将10010100循环右移一位后变成
9、01001010。,算术移位算术移位是把操作数当作带符号数进行移位，所以在 算术移位中，必须保持符号位不变。否则将发生溢出。与逻辑移位类似，算术移位可分为算术左移、算术右 移、循环左移和循环右移。循环左移和循环右移的操作 与前述逻辑移位时的情况相同，都是不丢失移出原操作 数的位，而将其返回到操作数的另一端。,5.4 数据在计算机中的表示形式,电子计算机实质上是一个二进制的数字系统，在机器 内部，二进制数总是存放在由具有两种相反状态的存储 元件构成的寄存器或存储单元中，即二进制数码0和1是 由存储元件的两种相反状态来表示的。另外，对于数的符号（正号“”和负号“”）也只能 用这两种相反的状态来区别
10、。也就是说，只能用0或1来 表示。,5.4.1 机器数与真值,例1. 正二进制数N1=+1011001，在计算机中可表示为：,符号位,数值位,2. 负二进制数N1=-1011001，在计算机中可表示为：,符号位,数值位,定义：一个数（连同符号）在机器中加以数码化后的表示形式， 称为机器数；而把机器数所代表的实际值称为机器数的真值。,5.4.2 几种常见的机器数形式,1. 原码数码序列中的最高位为符号位，符号位为0表示该数为正数，为1表示该数为负数；其余有效数值部分则用二进制的绝对值表示。例如： 真值x x原0.1001 0.10010.1001 5.10011001 010011001 110
11、01,0 的原码有两种表示，以定点小数为例+ 0原= 0.000 0000 0原= 1.000 0000原码表示简单直观，但运算时符号位与数值位要区别对待，在原码表示中，符号位不是数值的一部分，它们仅是人为约定（“0为正，1为负”），所以符号位在运算过程中需要单独处理，不能当作数值的一部分直接参与运算。,2.补码 定点小数补码定义如下： 若定点小数的补码序列为X0 . X1Xn ，则式中，x 代表真值， 为补码表示的机器数。 若定点整数的补码序列为 ，则,正数的补码是其自身；负数的补码是用模数加上该负数。0的补码只有一种表示； 从原码转换为补码的变化规律为：“符号位保持不变（仍为1），其他各位
12、求反，然后末位加1”，简称“求反加1”。例5.2 x0.1010，则x原0.1010，x补0.1010例5.3 x0.1010，则x原1.1010，x补1.0110 容易看出，当x0时，若把x补除符号位外“求反加1”，即可得到x原。也就是说，对一个补码表示的数，再次求补，可得该数的原码。,3.反码 定点小数反码定义如下： 若定点小数的反码序列为X0 . X1Xn ,则式中，x代表真值，x反为补码表示的机器数。 若定点整数的补码序列为 ，则,反码与原码相比，两者的符号位一样。即对于正数，符号位为0；对于负数，符号位为1。在数值部分，对于正数，反码的数值部分与原码按位相同；对于负数，反码的数值部分
13、是原码的按位求反。0的反码有两种表示，分别为全0或者全1。由原码表示容易得到相应的反码表示。例如：x0.1001，x原0.1001，x反0.1001x0.1001，x原1.1001，x反1.0110,原码、反码、补码之间的转换转换规则如下图所示：,4. 移码设定点整数移码形式为 ，则其中 式中x为真值，x移为其移码。 把真值x在数轴上向正方向平移 单位，移码由此得名。又叫增码。,移码特点：1）移码是把真值映射到一个正数域，因此移码的大小可以直观地反映真值的大小。无论是正数还是负数，用移码表示后，可以按无符号数比较大小。2）移码的数值部分与相应的补码各位相同，而符号位与补码相反。在移码中符号位为
14、0表示真值为负数，符号位为1表示真值为正数。3）移码为全0时，它对应的真值最小。4）真值0在移码中的表示是唯一的，即：,四种机器数的比较和小结, 原码、补码、反码和移码均是计算机能识别的机器数，机器数与真值不同，它是一个数（连同符号）在计算机中加以数码化后的表示形式。 正数的原码、补码和反码的表示形式相同，负数的原码、补码和反码各有不同的定义，它们的表示形式不同，相互之间可依据特定的规则进行转换。, 四种机器数形式的最高位均为符号位。原码、补码和反码表示中，为0表示正数，为1表示负数；在移码表示中，为0表示负数，为1表示正数。 原码、补码和反码既可用来表示浮点数中的尾数，又可用来表示其阶码；而
15、移码则主要用来表示阶码。 0在补码和移码表示中都是唯一的，0在原码和反码表示中都有两种不同的表示形式。,5.4.3 二-十进制编码,用几位二进制码来表示一位十进制数的方法称为十进制数的二进制编码，简称BCD码(Binary Code Decimal)。常见的BCD码有8421码、余3码、格雷码等。平常说到BCD码，通常指的是8421码。,1. 有权码和无权码的概念有权码：代码中的各位有固定的权值（如8421码）。 无权码：只依靠某种规则进行编码（如“相邻代码只有一位不同”、“五中取二”等），而代码中的各位并无权值的大小）。,2. 组合BCD码和分离BCD码 组合BCD码(packed BCD)
16、：每个字节存放两个十进制数字。例如， (9502)10的组合BCD码格式为：1001 0101 0000 0010 分离BCD码(unpacked BCD)：每个字节存放一个十进制数字（占低四位，高4位无关紧要）,5.6 逻辑代数的基本原理及应用,5.6.1 逻辑代数的基本概念 逻辑代数的特点： 变量只能有“0”和“1”两种取值（ “0”和“1”表示两种对立状态的符号）。 变量之间的运算关系为“与”、“或”、“非”三种基本逻辑运算。,1. 基本逻辑运算(1) “或”运算（逻辑加，逻辑和；运算符号+，V）,真值表： 列出输入变量的全部可能取值及对应输出值所形成的表格，叫真值表（Truth Tab
17、le），也称全值表。真值表是进行逻辑等式证明的基本工具。,(2) “与”运算（逻辑乘，逻辑积； 运算符号 ）,(3) “非”运算（运算符号 ， ）,2. 逻辑函数的相等,设有两个逻辑函数：如果对应于逻辑变量A1,A2,An的任何一组取值的F1和F2都相等，则称F1F2。即，如果F1和F2有相同的真值表，则F1F2；反之，若F1F2，则它们的真值表一定相同。 这就告诉我们，可以用真值表法证明逻辑等式。,例5.4 设证明：列出F1和F2的真值表如下：,由表可见， F1F2,5.6.2 逻辑代数的基本公式利用前面给出的“与”、“或”、“非”运算规则及真值表证明方法，可以得到逻辑代数的一组基本公式：0
18、1律：,互补律：重迭律：交换律：,结合律：分配律：吸收律：,反演律：包含律：对合律：,5.6.3 逻辑代数的三个重要规则,1代入规则 “任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则此等式仍然成立”，称这一规则为代入规则。因为任何一个逻辑函数也和任一个逻辑变量一样，只有0和1两种取值，所以上述规则显然是成立的。 有了代入规则，就可以将前面已推导出的等式中的变量用任意的逻辑函数代替，从而扩大了等式的应用范围。,例5.5 已知A+A*=1，而函数F=BC，将等式中的A代之以F=BC，则有BC+(BC)*=1。值得注意的是，在使用代入规则时，一定要把等式中所有出现某个变
19、量(例如A)的地方，都代之以同一个逻辑函数。否则，代入后所得新的等式不能成立。,2. 反演规则“设F为一个逻辑函数表达式，如果将F中所有的变+，+变 ，0变1，1变0，原变量变反变量，反变量变原变量，那么所得到的新的逻辑函数表达式就是F*”。这就是反演规则。 反演规则是反演律的推广应用。利用反演规则，可以方便地求出一函数的“反”。 例5.6 已知 F=AB+C*D*，根据反演规则可得： F*=(A*+B*)(C+D),3.对偶规则 下面先给出对偶式的定义： 设F是一个逻辑函数表达式，如果将F中所有变+，+变 ，1变0 ，0变1，而变量保持不变，那么就得到一个新的逻辑函数表达式F，则称F为F的对
20、偶式。 例5.7 如 F=A(B+C*)则 F=A+BC*如 F=(A+B)(A*+C)(C+DE)则 F=AB+A*C+C(D+E),从上面的例子可以看到，如果F的对偶式是F，那么F的对偶式就是F，即F和F互为对偶式。对偶规则：如果两个逻辑函数表达式F和G相等，那么它们的对偶式F和G也相等。 例5.8 已知A*B+AC+BC=A*B+AC，则等式两端表达式的对偶式也相等,即：(A*+B)(A+C)(B+C)=(A*+B)(A+C),5.6.4 逻辑函数的代数化简法,1“与或”表达式的化简所谓最简的“与或”表达式，通常是指： (1) 表达式中的乘积项(与项)个数最少；(2) 在满足(1)的条件下，每个乘积项中变量个数最少。 例5.9,例5.10,2“或与”表达式的化简通过逻辑变量的逻辑加运算构成“或”项，再通过“或”项的逻辑乘运算即可构成“或与”表达式。和最简的“与或”表达式相对应，一个“或与”表达式是否为最简，可由下述两条标准来衡量： (1) 表达式中的“或项”最少；(2) 在满足(1)的条件下，每个“或”项的变量个数最少。,例5.10 F=A(A+B)(A*+D)(B*+D)(A+C)=A(A*+D)(B*+D) =AD(B*+D)=AD,第5章 作业,P149 5.1 5.2 5.3 5.7 5.12 5.16 5.17,
