1、1一1111098765一一一一一一 一一一一一一一一一2019 年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷考生注意：1本试卷共 25 题2试卷满分 150 分，考试时间 100 分钟3答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效4除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1下列运算正确的是（ ）A. ； B. ； C. ； D. 235x3x326x23x2如
2、果 ，那么下列结论错误的是（ ） mnA. ； B. ； C. ； D. nmnmn3下列函数中，函数值 y 随自变量 x 的值增大而增大的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. xy33yx3yx4甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)成绩如图 1 所示，下列判断正确的是（ ）A.甲的成绩比乙稳定；B.甲的最好成绩比乙高；C.甲的成绩的平均数比乙大；D.甲的成绩的中位数比乙大5下列命题中，假命题是（ ）A.矩形的对角线相等； B.矩形对角线交点到四个顶点的距离相等；C.矩形的对角线互相平分； D.矩形对角线交点到四条边的距离相6.已知A 与B 外切，C 与 OA、B 都内切
3、，且 AB=5，AC=6，BC=7 ，那么C 的半径长是（ ）A. 11； B. 10； C. 9； D.8.二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】2l2一5一4一3AB CDEABCD l1FEDCBA1一一一一一 一一一20%一一一一5%一一一60%7计算： 32()a8计算： ,那么 1fx()f9如果一个正方形的面积是 3，那么它的边长是 10如果关于 的方程 没有实数根,那么实数 的取值范围是 20xmm11一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是 1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷得的点数之和大于 4 的概率是 12
4、 九章算术中有一道题的条件是:“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛。 ”大致意思是:有大小两种盛米的桶，5 大桶加 1 小桶共盛 3 斛米，1 大桶加 5 小桶共盛 2 斛米，依据该条件，1 大桶加 1 小桶共盛 斛米(注：斛是古代一种容量单位) 13在登山过过程中，海拔每升高 1 千米气温下降 6，已知某登山大本营所在的位置的气温是 2，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高 千米时，所在位置的气温是 ，xy那么 关于 的函数解析式是 yx14小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放惜况，他随机调查了该校区 50 户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这 50 户家庭各类生活垃圾的投放
5、总量是 100 千克，并画出各类生活垃圾投放量分布的扇形图（如图 2 所示） ，根据以上信息，估计该小区 300 户居民这一天投放的可回收垃圾共约 千克15如图 3，已知直线 ，含 30角的三角板的直角顶点 C 在 上，30角的顶点 A 在1l2 1l上，如果边 AB 与 的交点 D 是 AB 的中点，那么1 度2l 16如图 4，在正六边形 中，设 ， ，那么向量 BDEFBAabF17如图 5，在正方形 ABCD 中，E 是边 AD 的中点，将ABE 沿直线 BE 翻折，点 A 落在点F 处，联结 DF，那么EDF 的正切值是 18在 和 中，已知 =90， ， ， ，点ABC1=C1=C
6、13=4B12C、D3分别在边 AB、 上，且 ，那么 AD 的长是 1D1ABCD1A三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）19 （本题满分 10 分）计算： 233126820 （本题满分 10 分）解方程： 281x21 （本题满分 10 分，每小题满分各 5 分）在平面直角坐标系 中(如图 6)，已知一次函数的图像平行于直线 ，且经过xOy 12yx点 A（2，3） ，与 x 轴交于点 B（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点 C 在 y 轴上，当 AC=BC 时，求点 C 的坐标图 61 xyO422 （本题满分 10 分，每小题满分各 5 分）图 7-1 是某小型汽车的
7、侧面示意图，其中矩形 ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖 ADE 可以绕点 A 逆时针方向旋转，当旋转角为 60时，箱盖 ADE 落在的位置(如图 7-2 所示 ).已知 AD=90 厘米，DE=30 厘米，EC =40 厘米ADE（1）求点 到 BC 的距离；（2）求 E、 两点的距离23.(本题满分 12 分,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 7 分)已知:如图 8，AB、AC 是O 的两条弦，且 AB=AC，D 是 AO 延长线上一点，联结 BD并延长交O 于点 E，联结 CD 并延长交O 于点 F.（1）求证: ；BDC（2）如果 ，求证：四边形 ABDC
8、 是菱形.2AEDAB CDEEDCBA图 7-2图 7-1OFEDCBA图 8524.(本题满分 12 分，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 3 分，第(2)小题满分 5 分)在平面直角坐标系 中(如图 9)，已知抛物线 ，其顶点为 A.xOy2yx（1）写出这条拋物线的开口方向、顶点 A 的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”.试求抛物线 的“不动点”的坐标；2yx平移抛物线 ，使所得新拋物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点”其对称轴与 x 轴交于点 C，且四边形 OABC 是梯形，求新抛物线的表达式.图 91 xyO
9、625.(本题满分 14 分，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 4 分，第(3)小题满分 6 分)如图 10，AD、BD 分别是ABC 的内角BAC 、ABC 的平分线，过点 A 作 AEAD，交 BD 的延长线于点 E.（1）求证: ；12C（2）如图 11，如果 AE=AB，且 BD:DE=2:3，求 cosABC 的值；（3）如果ABC 是锐角，且ABC 与ADE 相似，求 ABC 的度数，并直接写出SADES ABC 的值.图 10 图 11AB CDE EDCBA7参考答案一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正
10、确的】1下列运算正确的是（ ）A3x+2x5x 2 B3x2xx C3x2x6x D3x2x【知识考点】整式的混合运算【思路分析】根据整式的运算法则即可求出答案【解题过程】解：（A）原式 5x，故 A 错误；（C）原式6x 2，故 C 错误；（D）原式 ，故 D 错误；故选：B【总结归纳】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型2如果 mn，那么下列结论错误的是（ ）Am+2n+2 Bm 2n2 C2m 2n D2m2n【知识考点】不等式的性质【思路分析】根据不等式的性质即可求出答案【解题过程】解：mn，2m2n，故选：D【总结归纳】本题考查不等式的性质，解题的
11、关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型3下列函数中，函数值 y 随自变量 x 的值增大而增大的是（ ）Ay By Cy Dy【知识考点】正比例函数的性质；反比例函数的性质【思路分析】一次函数当 a0 时，函数值 y 总是随自变量 x 增大而增大，反比例函数当k0 时，在每一个象限内，y 随自变量 x 增大而增大【解题过程】解：A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y 随 x 的增大而增大，故本选项正确B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y 随 x 的增大而减小，故本选项错误C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，故本选项错误D、该函数图象是
12、双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，故本选项错误8故选：A【总结归纳】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键4甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是（ ）A甲的成绩比乙稳定 B甲的最好成绩比乙高C甲的成绩的平均数比乙大 D甲的成绩的中位数比乙大【知识考点】算术平均数；中位数；方差【思路分析】分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案【解题过程】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，则其中位数为 8，平均数为 8，方差为 （78） 2+3（88） 2+（98） 20.4
13、；乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，则其中位数为 8，平均数为 8，方差为 （68） 2+（78） 2+（88） 2+（98）2+（108） 22，甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，故选：A【总结归纳】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好也考查了中位数5下列命题中，假命题是（ ）A矩形的对角线相等 B矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C矩形的对角线互相平分 D矩形对角线交点到四条边的距离相等【知识考点】命题与定理【思路分析】利用矩形的性质分别判断后
14、即可确定正确的选项【解题过程】解：A、矩形的对角线相等，正确，是真命题；B、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；C、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；D、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，9故选：D【总结归纳】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的性质，难度不大6已知A 与 B 外切，C 与 A、B 都内切，且 AB5，AC6，BC7，那么C的半径长是（ ）A11 B10 C9 D8【知识考点】圆与圆的位置关系【思路分析】如图，设A，B ，C 的半径为 x，y，z构建方程组即可解决问题【解题过程】解：如图，设A ，B ，C 的半径为
15、x，y，z由题意： ，解得 ，故选：C【总结归纳】本题考查两圆的位置关系，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7计算：（2a 2） 2 【知识考点】幂的乘方与积的乘方【思路分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可【解题过程】解：（2a 2） 22 2a44a 4【总结归纳】主要考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键8已知 f（x）x 21，那么 f（1） 【知识考点】函数值【思路分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案【解题过程】解：当 x1 时，f（1）（
16、1） 210故答案为：0【总结归纳】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键9如果一个正方形的面积是 3，那么它的边长是 【知识考点】算术平方根【思路分析】根据算术平方根的定义解答【解题过程】解：正方形的面积是 3，它的边长是 故答案为：【总结归纳】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的性质和算术平方根的定10义10如果关于 x 的方程 x2x+m0 没有实数根，那么实数 m 的取值范围是 【知识考点】根的判别式【思路分析】由于方程没有实数根，则其判别式0，由此可以建立关于 m 的不等式，解不等式即可求出 m 的取值范围【解题过程】解：由题意知14m 0，m 故填空答案：m
17、 【总结归纳】总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根（3）0方程没有实数根11一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是 1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于 4 的概率是 【知识考点】列表法与树状图法【思路分析】先求出点数大于 4 的数，再根据概率公式求解即可【解题过程】解：在这 6 种情况中，掷的点数大于 4 的有 2 种结果，掷的点数大于 4 的概率为 ，故答案为： 【总结归纳】本题考查的是概率公式，熟记随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键12 九章算术
18、中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛 ”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5 大桶加 1 小桶共盛 3 斛米，1 大桶加 5 小桶共盛 2 斛米，依据该条件，1 大桶加 1 小桶共盛 斛米 （注：斛是古代一种容量单位）【知识考点】二元一次方程组的应用【思路分析】直接利用 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛米 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛米 2 斛，分别得出等式组成方程组求出答案【解题过程】解：设 1 个大桶可以盛米 x 斛，1 个小桶可以盛米 y 斛，则 ，故 5x+x+y+5y5，则 x+y 11一一一一一 一一一20%一一一一5%一一一60%答：1 大桶加
19、1 小桶共盛 斛米故答案为： 【总结归纳】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键13在登山过程中，海拔每升高 1 千米，气温下降 6，已知某登山大本营所在的位置的气温是 2，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高 x 千米时，所在位置的气温是 y，那么 y 关于 x 的函数解析式是 【知识考点】函数关系式【思路分析】根据登山队大本营所在地的气温为 2，海拔每升高 1km 气温下降 6，可求出 y 与 x 的关系式【解题过程】解：由题意得 y 与 x 之间的函数关系式为：y6x+2故答案为：y6x+2【总结归纳】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某
20、处的气温地面的气温降低的气温14小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区 50 户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这 50 户家庭各类生活垃圾的投放总量是 100 千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示） ，根据以上信息，估计该小区300 户居民这一天投放的可回收垃圾共约 千克【知识考点】用样本估计总体；扇形统计图【思路分析】求出样本中 100 千克垃圾中可回收垃圾的质量，再乘以 可得答案【解题过程】解：估计该小区 300 户居民这一天投放的可回收垃圾共约 10015%90（千克） ，故答案为：90【总结归纳】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图
21、是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数也考查了用样本估计总体15如图，已知直线 11l 2，含 30角的三角板的直角顶点 C 在 l1 上，30角的顶点 A 在 l2上，如果边 AB 与 l1 的交点 D 是 AB 的中点，那么1 度【知识考点】平行线的性质；直角三角形斜边上的中线【思路分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到DADC，则DCADAC30，再利用三角形外角性质得到260，然后根据平行线的性质求1 的度数【解题过程】解：D 是斜边 AB 的中点，12DADC，DCADAC30，2DCA+DAC60 ，1 1l 2，1+2180，118060120故答案
22、为 120【总结归纳】本题考查了直接三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 也考查了平行线的性质16如图，在正边形 ABCDEF 中，设 ， ，那么向量 用向量 、 表示为 【知识考点】*平面向量【思路分析】连接 CF利用三角形法则： + ，求出 即可【解题过程】解：连接 CF多边形 ABCDEF 是正六边形，ABCF，CF 2BA， 2 ， + ， 2 + ，故答案为 2 + 【总结归纳】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型17如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AD 的中点将
23、ABE 沿直线 BE 翻折，点 A 落在点F 处，联结 DF，那么EDF 的正切值是 【知识考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题） ；解直角三角形【思路分析】由折叠可得 AEFE，AEBFEB，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到AEBEDF，进而得到 tanEDFtan AEB 2【解题过程】解：如图所示，由折叠可得 AEFE，AEBFEB AEF，正方形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，13AEDE AD AB，DEFE，EDFEFD，又AEF 是DEF 的外角，AEFEDF+ EFD，EDF AEF，AEBEDF，tanEDFtan AEB 2故答案为：2【总结归纳】本题主要考
24、查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等18在ABC 和A 1B1C1 中，已知CC 190，ACA 1C13，BC 4，B 1C12，点D、D 1 分别在边 AB、A 1B1 上，且ACDC 1A1D1，那么 AD 的长是 【知识考点】全等三角形的性质【思路分析】根据勾股定理求得 AB5，设 ADx，则 BD5x，根据全等三角形的性质得出 C1D1ADx，A 1C1D1A，A 1D1C1CDA，即可求得C 1D1B1BDC，根据等角的余角相等求得B 1C1D1B，即可证得C 1B1DBCD，根据其性质得出 2，解得求出 AD
25、的长【解题过程】解：如图，在ABC 和A 1B1C1 中，CC 190，ACA 1C13，BC 4，B 1C12，AB 5，设 ADx，则 BD5x，ACDC 1A1D1，C 1D1ADx，A 1C1D1 A，A 1D1C1CDA ，C 1D1B1 BDC，B90A，B 1C1D190A 1C1D1，B 1C1D1 B，C 1B1D BCD， ，即 2，14解得 x ，AD 的长为 ，故答案为 【总结归纳】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，证得C 1B1D BCD 是解题的关键三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19 （10 分）计算：| 1| +
26、8【知识考点】实数的运算；分数指数幂【思路分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可【解题过程】解：| 1| + 8 12 +2+ 43【总结归纳】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用20 （10 分）解方程： 1【知识考点】解分式方程【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解题过程】
27、解：去分母得：2x 28x 22x，即 x2+2x80，分解因式得：（x2） （x+4）0，解得：x2 或 x4，经检验 x2 是增根，分式方程的解为 x4【总结归纳】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验21 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中（如图） ，已知一次函数的图象平行于直线 y x，且经过点 A（2，3） ，与 x 轴交于点 B（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点 C 在 y 轴上，当 ACBC 时，求点 C 的坐标15【知识考点】待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题【思路分析】 （1）设一次函数的解析式为 ykx+b，解方程即可得到结
28、论；（2）求得一次函数的图形与 x 轴的解得为 B（4，0） ，根据两点间的距离公式即可得到结论【解题过程】解：（1）设一次函数的解析式为：ykx+b，一次函数的图象平行于直线 y x，k ，一次函数的图象经过点 A（ 2，3） ，3 +b，b2，一次函数的解析式为 y x+2；（2）由 y x+2，令 y0，得 x+20，x4，一次函数的图形与 x 轴的解得为 B（4，0） ，点 C 在 y 轴上，设点 C 的坐标为（4，y） ，ACBC， ，y ，经检验：y 是原方程的根，点 C 的坐标是（0， ） 【总结归纳】本题考查了两直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题
29、的关键22 （10 分）图 1 是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖 ADE 可以绕点 A 逆时针方向旋转，当旋转角为 60时，箱盖ADE 落在 AD E的位置（如图 2 所示） 已知 AD 90 厘米，DE 30 厘米，EC 40 厘米（1）求点 D到 BC 的距离；（2）求 E、E 两点的距离16【知识考点】矩形的性质；解直角三角形的应用【思路分析】 （1）过点 D作 DHBC，垂足为点 H，交 AD 于点 F，利用旋转的性质可得出 ADAD90 厘米，DAD60，利用矩形的性质可得出AFD BHD90，在 RtADF 中，通过解直角三
30、角形可求出 DF 的长，结合 FHDC DE+CE 及 DHD F+FH 可求出点 D到 BC 的距离；（2）连接 AE，AE，EE ，利用旋转的性质可得出 AEAE，EAE60，进而可得出AEE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出 EEAE ，在 RtADE中，利用勾股定理可求出 AE 的长度，结合 EEAE 可得出 E、E两点的距离【解题过程】解：（1）过点 D作 DHBC，垂足为点 H，交 AD 于点 F，如图 3 所示由题意，得：ADAD90 厘米，DAD60四边形 ABCD 是矩形，ADBC，AFD BHD90 在 Rt ADF 中，DF AD sin DAD90sin6045
31、厘米又CE40 厘米，DE30 厘米，FHDC DE+CE70 厘米，DHDF+FH（45 +70）厘米答：点 D到 BC 的距离为（45 +70）厘米（2）连接 AE，AE，EE ，如图 4 所示由题意，得：AEAE，EAE60，AEE是等边三角形，EEAE 四边形 ABCD 是矩形，ADE 90 在 Rt ADE 中，AD90 厘米，DE30 厘米，AE 30 厘米，EE30 厘米17答：E、E 两点的距离是 30 厘米【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出 DF 的长度；（2）利用勾股定理求出 A
32、E 的长度23 （12 分）已知：如图，AB、AC 是O 的两条弦，且 ABAC，D 是 AO 延长线上一点，联结 BD 并延长交 O 于点 E，联结 CD 并延长交O 于点 F（1）求证：BDCD；（2）如果 AB2AOAD，求证：四边形 ABDC 是菱形【知识考点】菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质【思路分析】 （1）连接 BC，根据 ABAC，OBOAOC，即可得出 AD 垂直平分BC，根据线段垂直平分线性质求出即可；（2）根据相似三角形的性质和判定求出ABOADBBAO ，求出 BDAB，再根据菱形的判定推出即可【解题过程】证明：（1）如图 1，连接
33、BC，OB，OC，AB、AC 是O 的两条弦，且 ABAC ，A 在 BC 的垂直平分线上，OBOAOC，O 在 BC 的垂直平分线上，AO 垂直平分 BC，BDCD ；（2）如图 2，连接 OB，18AB 2AOAD， ，BAODAB，ABOADB，OBAADB，OAOB，OBAOAB，OABBDA，ABBD ，ABAC ，BDCD，ABAC BDCD，四边形 ABDC 是菱形【总结归纳】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键24 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中（如图）
34、，已知抛物线 yx 22x，其顶点为 A（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点 A 的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” 试求抛物线 yx 22x 的“不动点”的坐标；平移抛物线 yx 22x，使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点” ，其对称轴与 x 轴交于点 C，且四边形 OABC 是梯形，求新抛物线的表达式【知识考点】二次函数综合题【思路分析】 （1）a10，故该抛物线开口向上，顶点 A 的坐标为（1，1） ；（2） 设抛物线 “不动点”坐标为（t，t ） ，则 tt 22t，即可求解； 新抛物线顶点 B为“不动点”
35、，则设点 B（m，m） ，则新抛物线的对称轴为：xm，与 x 轴的交点19C（m，0） ，四边形 OABC 是梯形，则直线 xm 在 y 轴左侧，而点 A（1，1） ，点B（m，m ） ，则 m1，即可求解【解题过程】解：（1）a10，故该抛物线开口向上，顶点 A 的坐标为（1，1） ；（2） 设抛物线 “不动点”坐标为（t，t ） ，则 tt 22t，解得：t0 或 3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3） ；新抛物线顶点 B 为“不动点” ，则设点 B（m，m ） ，新抛物线的对称轴为：xm ，与 x 轴的交点 C（m，0） ，四边形 OABC 是梯形，直线 xm 在 y 轴左侧，BC
36、 与 OA 不平行，OCAB ，又点 A（1，1） ，点 B（m ，m ） ，m1，故新抛物线是由抛物线 yx 22x 向左平移 2 个单位得到的，新抛物线的表达式为：y（x+1） 21【总结归纳】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可25 （14 分）如图 1，AD、BD 分别是ABC 的内角BAC、ABC 的平分线，过点 A 作AEAD ，交 BD 的延长线于点 E（1）求证：E C；（2）如图 2，如果 AEAB ，且 BD：DE2：3，求 cosABC 的值；（3）如果ABC 是锐角，且ABC 与ADE 相似，求A
37、BC 的度数，并直接写出的值【知识考点】相似形综合题【思路分析】 （1）由题意：E90ADE，证明 ADE90 C 即可解决问20题（2）延长 AD 交 BC 于点 F证明 AEBC，可得AFBEAD90， ，由BD：DE2：3，可得 cosABC （3）因为ABC 与ADE 相似，DAE90，所以ABC 中必有一个内角为 90因为ABC 是锐角，推出ABC90接下来分两种情形分别求解即可【解题过程】 （1）证明：如图 1 中，AEAD ，DAE 90 ，E 90ADE ，AD 平分BAC，BAD BAC，同理ABD ABC ，ADE BAD+DBA， BAC+ABC180C，ADE （ AB
38、C+ BAC）90 C，E90（90 C） C （2）解：延长 AD 交 BC 于点 FABAE，ABEE，BE 平分ABC，ABEEBC，ECBE，AEBC，AFB EAD90， ，BD：DE2：3，cosABC （3）ABC 与ADE 相似，DAE90，ABC 中必有一个内角为 90ABC 是锐角，ABC90当 BACDAE90时，E C，21ABCE C ，ABC+C90，ABC30，此时 2 当 CDAE90时， C 45，EDA 45 ，ABC 与ADE 相似，ABC45，此时 2 综上所述，ABC30或 45， 2 或 2 【总结归纳】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
