1、第三章 函数极 限 1 函数极限概念 1 、按定义证 明下列极限: (1) ; 6 5 6 lim = + x x x(2) 2 ) 10 6 ( lim 2 2 = + x x x ; (3) ; 1 1 5 lim 2 2 = x x x(4) 0 4 lim 2 2 = x x ; (5) 0 cos cos lim 0 x x x x = 证: (1)当 0 x 时, x x x 5 6 5 6 = + , 于是对任给正数 , 只要取 5 = M , 当 M x 时, 有 x 时, x x x x x 4 1 1 4 1 1 5 2 2时, 便有 , 取 4 2 = , 则当 8 2
2、0 x , 即 2 1 x 时, 2 4 x , 故 0 4 lim 2 2 = x x . (5)因为 0 0 0 0 2 sin 2 sin 2 cos cos x x x x x x x x + = . 从而对任给正数 , 只要取 = , 当 0 0 x x 时, 就有 0 cos cos x x . 0 cos cos lim 0 x x x x = 故 0 cos cos lim 0 x x x x = . 2 、参照定义 2 正面陈述 A x f x x ) ( lim 0 . 解: 设函数 f 在点 0 x 的某空心邻域 ) , ( 0 0 x U 内有定义, A 是一个确定的常
3、数. 若存在某个 正数 0 , 使得对任意的正数 , 总存在 x , 满足 0 0 x x , 且 0 ) ( A x f 则称当 0 x x 时 ) (x f 不以 A 为极限, 记为 A x f x x ) ( lim 0 . 3 、 证明: ) ( lim ) ( lim 0 0 0 h x f x f h x x + = . 证明: 设 A x f x x = ) ( lim 0 , 则对任给正数 , 存在正数 , 当 0 0 x x 时, 有 A x f ) ( . 从而当 h 0 时, 有 + 0 0 ) ( 0 x h x , 于是 + A h x f ) ( 0 , 故 A h
4、 x f h = + ) ( lim 0 0 . 反之, 设 A h x f h = + ) ( lim 0 0 , 则对 任给正数 , 存在正数 , 当 h 0 时, 有 + A h x f ) ( 0 . 从而当 0 0 x x 时, 0 x x h = 满足 h 0 , 从而 = A x f ) ( + A h x f ) ( 0故 A x f x x = ) ( lim 0 . 4 、 证明 A x f x x = ) ( lim 0 , 则 A x f x x = ) ( lim 0 . 但反 之不真. 证: 设 A x f x x = ) ( lim 0 , 则对任给正数 , 存在
5、正数 , 当 = 0 , 1 0 , 0 0 , 1 ) ( x x x x f , 有 = = 0 , 0 0 , 1 ) ( x x x f 且 1 ) ( lim 0 = x f x x , 但 ) ( lim 0 x f x x 不存在. 5 、 证明定理 3.1 定理 3.1 A x f x x = ) ( lim 0 的充分必要条件是 ) ( lim ) ( lim 0 0 x f x f x x x x + = A = . 证: 必要性 设 A x f x x = ) ( lim 0 , 则对任给正数 , 存在正数 , 当 = 0 , 1 0 , 0 0 , 2 ) ( 2 x
6、x x x x f x解: (1) 当 0 x 时, 1 ) ( = = x x x f , 故 1 ) ( lim 0 = + x f x x . 当 0 x 时, ) ( x x f = 0 = , 故 0 ) ( lim 0 = + x f x x . 当 0 1 x 时, x x f 2 ) ( = , 故 1 2 lim ) ( lim 0 0 = = + + x x x x f . 当 0 M , 0 , 使得当 M x 时, 有 2 ) ( 1 , 从而由(1)知 2 ) 1 ( A x f . 于是当 x 0 时, 由(2)与(3)知 + B x f x f A B A ) 1
7、 ( ) 1 ( . 可见 B A , 由于 的任意性可得, B A = 8. 证明: 对黎 曼函数 ) (x R 有 0 ) ( lim 0 = x R x x , 1 , 0 0 x ( 当 0 = x 或 1 时, 考虑 单侧极限) 证: 0,1 上的黎曼函数定义如下: = = = 或无理数 当 时 当 1 , 0 , 0 , 1 ) ( x q p x q x R 仍取 1 , 0 0 x , 对任意给定的正数 , 满足不等式 1 n 的自然数 n 至多有有限个. 于是在0,1 中至多有有限个既约分数 q p , 使得 = q q p R 1 ) ( . 因而我们可取 0 , 使得 0 x 的空心邻域 ) , ( 0 0 x U 内不含这样的既约分数, 于是只要 0 0 x x ( 对 0 0 = x , 只要 x 0 ; 对 1 0 = x , 只要 x 1 0 ). 不论 x 是否为有理数, 有 ) (x R 故 0 ) ( lim 0 = x R x x , 1 , 0 0 x .
